Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

П е р е х о дя к определений

скоростей

в пограничном

слое

при смешении потоков,

выберем систему координат

х—у

следующимобразом .

Ось х

делит

вертикаль ВС

пополам; уп = ус- Ось у (как и линия

ВС)

перпендикуляр ­

лельных

потоков.

/ и 2 — границы пограничного

слоя; / „ и 2 _ — границы пуль­

саций.

оси х до

поверхности соприкосновения потоков — ут.

Вместо

ординаты

у удобно ввести в расчет безраз ­

мерную ординату

г\=у/в.

Решение задачи

д а д и м в приближенной

постановке,

используя

п р и б л и ж е н и о е в ы р а ж е н и е

д л я к а с а ­

жений в пограничном слое спутных потоков

представлен

на рис. 4-6.

Н а

границах т = 0

м а к с и м а л ь н а я

величина т

достигается

на

поверхности

соприкосновения

потоков.

Ордината сечения, где х=хт;

Цт=Ут1в, зависит

от отно­

смотрен

ниже,

а

пока

т),п

будем считать

известным.

В н а ч а л е найдем -закон касательных напряжений для

случая

т)с = 0

(симметричная

эпюра

н а п р я ж е н и й ) .

Д л я

этой

цели

запишем:

1„.

=

1 +

M s

+

с 4 V -

(1 ~ сй

- с«) т,\

(4-39)

Формула записана таким образом, чтобы на границах

зоны смешения, т. е. при

т ) = ± 1 ,

касательные

н а п р я ж е ­

ния

о б р а щ а л и с ь

в нуль, а

на оси

(т) = 0)

т = 1 . Постоян­

ные

сг

и

с/, найдем

из

граничных условий: дл я т]= 1

dr/dri = 0 и

дл я т] = — 1 дх/дц

= 0.

В

итоге получим

при­

ближенный

закон

касательных напряжений в

виде

т ~ = ( 1 — г]2 )2 .

(4-40)

(4-41)

Верхний

з н а к дл я т ) > т ) т ,

нижний

для

г\<г\т-

потоков

Определение

отношения

eje

при смешении

произведено

в

следующем

п а р а г р а ф е ,

а

пока

примем

eje

« 1 , 7 5 .

П р и н и м а я

закон

длины

пути

перемешивания (4-3)

и

подставляя

в ы р а ж е н и е

д л я т

из

(4-41) в

формулу

П р а н д т л я , получим - закон скоростей

в

виде

A ^ =

l

^

i _

= A l

Г

\

+

"

: J

dn,

(4-42)

- 1

(

т

г

у

т

А

, =

=

.* ~

(~^~) 7 1 "' .

( \ = %

dw

dw

1 —

dAw

dt]

dAw

dt]

Комплекс

A t

определяется из граничного

условия:

д л я

т) = 1 Aw = 1.

Г р а н и ц а

р а з д е л а

п о т о к о в ,

определяемая коор­

динатой т)т, находится из очевидного условия:

уменьше­

ние

количества

д в и ж е н и я

верхнего

потока (с

большей

него

потока.

П р и записи условия равенств отданного и приобретен­

ного

количеств

движения

учтем,

что

в общем

случае

в

потоках

встречного

д в и ж е н и я

(Wi<0)

имеется

область

обратного

течения. О б о з н а ч а я

через г\о координату луча,

на

котором скорость

равна

нулю,

запишем:

j" р (шш, — шг ) di} =

— ^

pw-d-ri -4-

'm

j

-f-

pw'dii

— J"

ршда,^т).

(4-43)

Учитывая далее, что

Aw =

и

что, следовательно,

ffi'2

—

w,

w = Wi + Aw

(w2—wi),

и вводя обозначение m=wi/w2,

легко

привести

соотно­

шение

(4-43) к следующему

виду:

1

1.

2 т 2

+

2 т (1 -

т )

j— l Awdt\ + . ( 1 -

tnf

j— iАйЩ

-

2 т э

(TJ, +

1) -

4 т (1 -

т )

j" Awd-ц -

2 (1 - tnf

X

г

,

X (1 + Ъп) + m (1 - /и)1 J

Awd-^.

(4-44)

— i

j

1

1

Дн~а«Г»1 =

j

ДШч|.

(4-45)

Уравнение (4-44) служит

дл я определения коорди­

наты т]7„. В н а ч а л е приходится

принять г\т

ориентировоч­

но, найти закон скоростей и д а л е е воспользоваться

фор­

мулой (4-44) для определения

г)7„. Если

предварительно

принятые и найденные значения г)„, заметно

отличаются,

расчет необходимо повторить,

примяв новое

значение Tim-

Нетрудно найти

и з а к о н

н а р а с т а н и я ш и р и н ы

з о н ы с м е ш е н и я

в. Д л я этой

цели воспользуемся ин­

тегральным соотношением К а р м а н а , принимающим

в рас­

сматриваемом случае простую форму:

do**,

т,„

dx

р и ,а

Л дш у

/ - , дШ \ 2

.

. „

дв

(О,156/1,)3 (1 — т)-

(4-46)

dx.

[

Г w

df\

J

В качестве примера найдем распределение скоростей и закон на­

растания ширины зоны

смешения

для з а т о п л е н н о й

с т р у и

ьг

W

1,0

*

0,8

•

0,6

0,4

0,2

У

Ча.

О

-1,0

-0,8

-0,6 -0,4 -0,2

О

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Рис.

4-7. Опытные и расчетные

значения скорости

в по­

граничном слое

затопленной

струи.

О Д

Д — о п ы т ы АльСсртсопа

и

др . на

разных

расстояниях

от

среза

сопла

(от .v/o0=2 до х/в0=8)

[Л.

П;

расчет

по

формуле (-I-12) аля 11 =0,2 и

о

/а=1,75.

т=0).

Примем

ориентировочно

г),„=0,2 и

с

помощью

формулы

4-42)

найдем закон скоростей.

Вычисления

дают

значения скорос­

тей,

приведенные

в табл. 4-2 и на рис. 4-7.

Вычисления дают также значения Ai=0,7.

значении

скоро­

сти

На рис. 4-7 приведено сопоставление

расчетных

с

опытными

данными Альбертсона [Л. 1]. По оси абсцисс

отло­

жено

отношение

Дг|а/Дт|с.'

*Ъ = W » = 0 . 9 - W » =0 . ! 1

4 7 , « =

'

( 1 % М > , 5 '

Рисунок 4-7 показывает вполне удовлетворительное совпадение

опытных и расчетных значений скоростей.

Зная распределение скоростей,

легко

уточнить

координату т) т .

Т а б л и ц а

4-2

Безразмерные

скорости

при

смешении

плоскопараллельных

потоков

для т—0

— 1

—0,9

—0,8

—0,7

—0,6

Aw

0

0,008

0,029

0,060

0,100

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Aw

0,449

0,517

0,588

0,658

0,730

Продолжете

табл.

4-2

—0,5

—0,4

—0,3

—0,2

—0,1

0

Aw

0,147

0,199

0,256

0,317

0.382

0,449

0,5

0,6

0.7

0.8

0,9

1,0

Aw

0,796

0,858

0,913

0,957

0,988

1,00

Нетрудно также найти закон нарастания ширины зоны смеше­

ния потоков. Используя

формулу (4-4R) н вычислив предварительно

значение интеграла

Г w

(

w \

:0,1,

находим:

de

(0,156-0,7)=

dx

0,1

0,12.

Согласно опытным данным величина производной de/dx весьма

близка к расчетной. Так, согласно

опытным данным

Альбертсона,

приведенным

в [Л. 1], можно

принять

rfe/dx=0,12.

В а ж н о подчеркнуть,

что изложенная методика

позво­

соотношения

К а р м а н а

без

привлечения каких-либо

до­

полнительных

гипотез.

Исключение

составляют

лишь

случаи близких значений

скоростей

спутных потоков