Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

нимать совпадающей

с границей

начального

участка.

Д р у г и м и словами, можно

отказаться

от рассмотрения

переходного участка,

полагая, что за начальным

участ­

ком следует основной участок струп.

Тогда

хп

= хш=в0

Ctg-фц,

причем угол q>i образован

внутренней

границей

струи и

вектором скорости w2

(рис. 4-9).

Поскольку

& т

dx

у

2

то при м а л ы х

углах ср можно

принять:

ctg? ,

1 — т)0 de/dx

и соответственно

* п = ^ = г 4 - ^ -

С4 "5 2 )

dx

В частном

случае

дл я

затопленной

струи

согласно

формуле (4-52)

ж д = 1 2 , 3 .

З а м е т и м ,

что согласно

опытам

Ф е р т м а н а дл я

затоп­

ленной струи

я ц = 1 1 .

Р а з л и ч и е м е ж д у

опытным

и рас­

Отметим,

что по мере

увеличения

отношения

скоро­

стей

m = Wi/w2

точность

определения

х в снижается . Это

связано, во-первых, с

неточностью

определения

произ­

водной de/dx

и, во-вторых,

с влиянием начальной

нерав­

номерности

поля скоростей.

т на величину

Представление

о влиянии

п а р а м е т р а

х п

д а е т рис. 4-11.

Опытные

значения

х а

получены

Г. Н. Абрамовичем

методом

экстраполяции

опытных

данных Фертмана, Вайнштейна и др. С п л о ш н а я

к р и в а я

рассчитана

по методике

Г. Н. Абрамовича

с

учетом

начальной

неравномерности

поля

скоростей,

а

штрихо­

в а я — по формуле

(4-52). К

сожалению,

о

совпадении

опытных и расчетных

значений х п м о ж н о

говорить толь ­

ко при малых

величина

п а р а м е т р а т .

О

0,2 0,4 0,6 0,8

Учет неравномерности

поля

скоростей,

выполненный

по методике Г. Н . Абрамовича,

с б л и ж а е т

расчетные и

опытные значения

хп-

4-7. ПЛОСКАЯ СТРУЯ В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И з л о ж е н н а я

выше

методика расчета

струй

легко

обобщается

« а случай струи в

ограниченном простран­

стве. Хотя

з а д а ч а

может

быть

решена в самом

общем

текает

в

пространство,

ограниченное

п а р а л л е л ь н ы м и

стенками,

причем

ось

струи

п а р а л л е л ь н а

стенкам.

П р и б л и ж е н н о е решение аналогичной задачи для осе-

симметричиой

струи

в

цилиндрической

трубе

дано

Г. Н.

Абрамовичем [Л. 1]. Решение Г. Н.

Абрамовича

удовлетворительно

согласуется

с

опытными

данными,

однако

основано

на допущении,

которое

теоретически

обосновать

нельзя.

Р а с с м о т р и м приближенное

решение

з а д а ч и

о

струе

м е ж д у

п а р а л л е л ь н ы м и

стенками,

основанное

на

единст­

венном

допущении: д а в л е н и е

в

п о п е р е ч н ы х

с е ч е ­

н и я х

с т р у и

п о с т о я н н о

(др/ду

= 0).

Это

допущение

можно

р а с с м а т р и в а т ь

к а к

хорошо

п о д т в е р ж д а е м ы й

экспериментами факт.

В первом

приближении

п р е н е б р е ж е м

в л и я н и ­

е м т р е н и я

о с т е н к и ; это

влияние легко

учесть ме­

тодом

последовательных

приближений .

Схема течения представлена на рис. 4-12. Во входном

сечении поля

скоростей

спутного

и основного

потоков

равномерны

и

характеризуются

скоростями

соответст­

венно ад»н

и

wZH.

В д о ль струп скорость

спутного

потока

возрастает,

а давление уменьшается .

Текущее

значение

скорости

начального участка w2

т а к ж е

возрастает.

Связь м е ж д у

скоростями

iayL и w2 легко устанавлива ­

ется с помощью

уравнения Бернуллн . Поскольку течение

н

а

бб

г

н

а

б В

г

Рис.

4-12.

Схема ограниченном струн.

,

9

О

Щ«

Ш 2

Р=Ри+9—

Р - о -

2

2

Р = р

н +

Р

- ^ -

- Р

^ - .

(4-53)

Следовательно,

w22

— w2l = w23tt

— w2la

=

const.

(4-54)

Р а з у м е е т с я

зависимость

(4-54)

справедлива

только

в пределах начального участка.

Формула (4-53) позво­

ляет

найти давление

во

всей

области существования

струи, т. е. до сечения

г—г.

Рисунок 4-12 позволяет заключить,

что в общем слу­

чае

необходимо

р а с с м а т р и в а т ь

пять

участков

течения:

ной и область выравнивания

потока.

Н а ч а л ь н ы й

у ч а с т о к

с т р у и отличается

от

на­

чального участка

струи

в

безграничном

пространстве

только тем, что скорости в

ядре течения Wi и

спутного

•потока

и>2 изменяются

вдоль

струи. Согласно

прибли­

ж е н н о м у решению это обстоятельство не сказывается

н а

законе

распределения

относительной

избыточной ско­

рости:

, —

w — W,

&ги=:——zl.

ш2

— а),

в поперечном сечении струи. Д р у г и м и

словами,

зависи­

мость iAw=f(r)) является универсальной.

Однако переменность

скоростей Wi

и

w2 приводит

к изменению

границ

струи, которые, вообще говоря, пе­

рестают

быть

прямолинейными .

Д л я

определения

границ

струи воспользуемся

интег­

р а л ь н ы м соотношением

К а р м а н а :

^

+ ^

(

2

+ - £ - ) 8 " ^ :

( * » )

=

( - 5 г т - ^ У ( 1 - Л ) Я -

П о с т о я н н а я

Ai

имеет тот

ж е

смысл,

что

и в § 4-5.

Напомним,

что

в

диапазоне отношений

/ п = 0 - ь 0 , 5 ^ i = 0 , 7 .

Поскольку д л я

к а ж д о г о значения ei

легко

подсчитать

интегралы

в

в ы р а ж е н и я х

д л я

б**

и

б*,

то можно

принять:

Н а м

осталось

найти зависимость

между

скоростями

Wi и ш 2

и шириной в„. Д л я этой

цели

достаточно вос­

пользоваться

уравнением

неразрывности

н

j " wdti -f- б2 ша

- f (5

— в2

— 2ва)

(

5

~ Т о ) ?»,1Н

0 \ = * . Ю . я +

и

формулой

(4-54).

в2~во—ви,

Если

принять

приближенную

зависимость

то уравнение

неразрывности легко приводится

к

следую

т е м у виду:

(ш2 —ы >2п) [в0—вп

(1 — Аа)

] +

(Шг-ш,,,) [В—ЙО +

вм (1 — А „) ] =

= в а (1 —-Лп ) (Wzn—Win)

•

(4-56)

В формуле

(4-56)

—1

Величина

Л и

зависит

от

отношения

скоростей

m = wl/w2.

Так,

например,

увеличение

т

от

0 до

0,5 вы­

зывает возрастание Л н

от 0,93 до 0,976.

Поскольку

Л н

мало

отличается от единицы, 2 в

первом

приближении в левой части уравнения

(4-56)

можно пре­

небречь

слагаемыми,

с о д е р ж а щ и м и множитель

1—Аи .

Тогда уравнение

неразрывности

упростится:

e0(wz—Ш2п)

+ (В—в0)

(Wi—Wte)

« е и ( 1 — Л н )

( ш 2 и — w i B ) .

Уравнение неразрывности позволяет заключить, что

разности

скоростей ш 4 — w i B и ш 2

— ® 2 и

м а л ы

в

сравнении

с

разностью

скоростей

да2н—ш1н.

Это обстоятельство поз­

воляет упростить

ф о р м у л у

(4-54), приведя ее

к виду

О), — Ш 1 Н ^

т

(4-57)

П о д с т а в л я я

это в ы р а ж е н и е в уравнение

неразрывно ­

сти, получаем

формулу, у с т а н а в л и в а ю щ у ю

зависимость