Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

м е ж ду скоростью ш 2

и шириной

вн:

Щ - wM «

( 1 ~ ^ ц ) а

"

{waH

-

ш1 Н ).

(4-58)

Формула

показывает, что

д а ж е

в

конце

начального

участка

(где e H « s e 0 )

разность

скоростей

ад2—та2н

весьма

мала . Так,

например,

если принять

т — 0,5

и 80

= 0,5 В,

то согласно

формуле

(4-58)

Ю я

_ Ш м

1 — 0.976( 1

_

0,5) =

0,004.

' + - 0 . 5 -

Итак,

в

начальном

участке

струи в

ограниченном

ние

постоянным.

Если ж е

соотношения

размеров и

скоростей

таковы,

что

возрастанием

скорости wt пренебречь нельзя, то

формул а (4-58) позволяет найти производную

dwzldeB,

после чего легко

найти производную

dw„

dw2

de„

дх

дви

дх '

подставить

это

в ы р а ж е н и е в интегральное уравнение

К а р м а н а и найти

закон изменения ширины вн

вдоль оси

струи.

В п е р в о м о с н о в н о м

у ч а с т к е

с т р у и

продол­

жаетс я увеличение скорости

спутного

потока

wh

причем

в ряде случаев пренебречь влиянием возрастания

скоро­

сти

Wi нельзя.

Зависимость

между

скоростью

и шириной зоны

смешения в

и здесь устанавливается с помощь ю

уравне ­

ний .неразрывности и Бернулли . Уравнение

неразрывно ­

сти

записывается

так :

1

в j wdr[ - f (В - в) wK=

eaw№

+ (В -

в0) ш 1

Я

= Q

(4-59)

о

или

eAwm=2(Q—B,Wi).

(4-60)

171

Теперь wm-—максимальная

скорость

(на

оси струи),

a

Awm=wm—

Бернулли

теперь

может

быть

записано

Уравнение

только для спутного потока:

2

2

Р-ра

=

Р-*Т-^-

(4-61)

Кроме этих уравнений, понадобится уравнение коли­

честв движения и уравнение

движения .

Уравнение

количества

движения

т а к ж е запишем для

произвольного

и входного

сечений:

1

р - Р„ = (i - -7г)рЧ,+

р < -

j Р^о ^ -

рад'.

о

(4-62)

Вводя в это уравнение разность скоростей Aw = w—

—Wi

и учитывая,

что

Г

^

Ы

1 _

^1 =

0,5;

(

(

-

5

^

^

^ 1 =

0,37,

J

wm

— ш,

J

^

ш т

—

к»,

у

о

о

окончательно

получаем:

| - р а / , Д 1 0 т

— 0 , 3 7 ^ р Д а £ —ра/^.

(4-63)

Wi

= wi(e);

Awm=Awm(e)

и

адт=ш,„(в).

Однако практически удобнее выразить все искомые

величины

через

W\\

e—Fi{Wi);

Awm=F2(wi);

wm=Wi+F2(wi).

Л е г к о

убедиться, что д л я

функций F\(wi)

и

Fz(wi)

получаются следующие в ы р а ж е н и я :

^ . К ) = | / ^ ; f2(^) =

/ v 7 ;

si =

2(Q—Bwi)\

0,675В

(Q-BwiY-

— - g - ( Q - B a , i )

2 ~

З а к о н и з м е н е н и я с к о р о с т и W\ и ш и р и н ы с т р у и в д о л ь

о с и . н а х о д и т с я с п о м о щ ь ю у р а в н е н и я

д в и ж е н и я

др

dw.

З а м е н и м в у р а в н е н и и

д в и ж е н и я

Н а п о м н и м ,

ч т о

д л я

я ^ / в =

1,5

и

x i =

0 , 1 8 ,

Ci =

— 0 , 0 9 5 .

П о с к о л ь к у

о£ =

( д а ,

+

Ддат)г -=w] +

2 о » , F

,

( ш , )

+ ^

2

(

« О .

т о п о с л е п о д с т а н о в о к в у р а в н е н и е

д в и ж е н и я

п о л у ч а е м

д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

у р а в н е н и е

{F2 ( д а , ) + [ д а , + F 2 ( д а , ) ] F ' ( д а , ) }

=

С - J

^

- .

( 4 - 6 5 )

Р а з у м е е т с я ,

у р а в н е н и е

( 4 - 6 5 )

н е о б х о д и м о

р е ш а т ь

ч и с л е н н ы м и

м е т о д а м и .

П о с л е у с т а н о в л е н и я

з а в и с и м о с т и

W\

=

wi(x)

н е т р у д н о

н а й т и и ш и р и н у с т р у и в.

О т л и ч и т е л ь н о й

о с о б е н н о с т ь ю

р а с ч е т а

в т о р о г о

о с н о в н о г о

у ч а с т к а

с т р у и

я в л я е т с я

н е о б х о д и м о с т ь

у ч е т а и з м е н е н и я

п о с т о я н н о й

П р а н д т л я % и

о т н о ш е н и я

eje.

О т н о ш е н и е

eje

и з м е н я е т с я

в

п р е д е л а х

о т б ^ / в

=

1 , 5

в « а ч а л е у ч а с т к а

д о eje

= 1

в к о н ц е

у ч а с т к а ,

ч т о

с о ч е ­

в и д н о с т ь ю с л е д у е т и з р и с . 4 - 1 2 .

П о с к о л ь ку во входном участке пульсации

скорости

достигают твердой границы, то во всем входном

участке

(и далее) необходимо принять вместо xi=0,1

8

к = 0,36.

это

обстоятельство,

однако

практической

необходи­

мости

в этом

нет

ввиду

слабого

влияния

отношения

eje

на закон

скоростей.

П р и расчете второго

основного

участка

отчетливо

проявляется

схематичность

принятого закона длины

подходе

слева

необходимо

принять

x i = 0,18,

а

при

под­

ходе справа

« = 0,36.

По-видимому,

происходит

плавное

изменение и, и поэтому расчет второго основного

участ­

ка не может

отличаться

большой

точностью.

О б л а с т ь в ы р а в н и в а н и я

п о т о к а

будет

рас­

считываться,

как уж е

отмечалось,

без

учета

трения

о стенки.

При определении закона скоростей необходимо при-

пять х = 0,36

и

eje

= \.

Следовательно,

dw

.

(4-6G)

2

П р и выражени и

закона

т = т ( г | )

теперь

необходимо

учесть

дополнительное

граничное

условие:

для

г| = 1

дН/дц2=0.

Это

граничное

условие

следует

из

анализа

формулы

(4-66)

и

очевидного

условия:

дл я

г | = 1

дт/д-ц

— О. Л е г к о

убедиться,

что с учетом

дополнительно­

го граничного

условия

вместо закона (4-25)

получим:

• = = — а - = с 1 ч ( 1 - т , у .

П р и р а в н и в а я

оба

в ы р а ж е н и я

для

т,

находим

закон

скоростей:

Дм; =

1 _

Л

[ ] Л ] ( 1 - О r f - i j ,

(4-67)

причем

6

что дл я

и = 0,36

дает

величину

постоянной

Ci=—0,143.