Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

1 - 4 ^ +

3 ^

(4-75)

Переходя к закону скоростей,

п р е ж д е всего найдем

стеночного

пограничного

слоя. Как и дл я

пограничного

слоя на стенке,

примем, что и п = 17,3 и | 3 П = П (Зи = 82.

Число Re по - прежнему определяется скоростью wm —

— we на границе

пристеночного пограничного слоя <и тол­

щиной слоя б:

Такое

определение

vv

и г)'п не

учитывает

влияние

турбулизации

потока

вне пристеночного

пограничного

слоя. По-видимому, действительные

значения

vB т т)'п

Используя

д а л е е

закон

касательных

н а п р я ж е н и й

Л . П р а н д т л я

(3-5)т

переходя

к

безразмерной

скорости

v = w/wt

и п р и н и м а я

формулу дл я длины

пути переме­

шивания (3-14), получаем закон скоростей

в пограничном

слое:

J

0.36т|-0.45т|» +0.125т,»

•

^ '°>

Если под коэффициентом

трения по - прежнему

подра­

зумевать

в ы р а ж е н и е

то формула

остается справедливой и в рассматриваемом

случае.

Приведенные ф о р м у л ы позволяют найти распределе ­

ние скоростей в пограничном слое струи, если

известны

толщина

струи в и

отношение

скоростей

W i / w m

= v j v m .

Д л я струи без спутного потока

определяется

отношение

скоростей

w/wm=v/vm.

струи и скорости

wm

по длине струи рассмотрена

ниже.

Расчет

скоростей

по ф о р м у л е

(4-76)

з а т р у д н я е т с я тем

обстоятельством,

что постоянная

с

(координата г\е) за­

ранее неизвестна.

Поэтому

з а д а ч у

приходится

решать

методом последовательных

приближений .

В первом

приближении

м о ж н о

принять,

что

безраз ­

мерная скорость

v m

не зависит

от

координаты

П с , если

г)е <?с1. Действительно, при условии т><С1 можно

принять

простые в ы р а ж е н и я

дл я I и т:

I ' =

- L « H - f

= x V =

0,36V;

7 с к 1 - ^ - V 2 .

П е р в а я

из

этих

ф о р м у л

очевидна;

она получается из

закона (3-14), если

принять т ) 2 ~ 0 и

ц3~0.

Вторая

формула

получается

из

общего

в ы р а ж е н и я

(4-74). При

малых

значениях

т]

третьим

слагаемым

в ф о р м у л е

(4-74)

м о ж н о пренебречь.

З а м е н я я ,

кроме

того,

Д а л е е исключим постоянную

с, использовав гранич­

ное условие дл я т)'=1.(т]=т1е)'г==0.

Тогда

При значении т|е порядка 0,1

вполне м о ж н о

принять

более .простой закон дл я т:

х~

1 —т)1 '2 .

(4-77)

Переход к последней ф о р м у л е сопровождается ошиб­

кой такого ж е порядка,

как и

вероятная погрешность

методики. Так, например,

если принять т | е = 0 , 1 , то макси ­

м а л ь н а я погрешность при о п р е д е л е н и и ! ^

составит

4%, а средняя — менее 2%.

лучаем

формулу,

у с т а н а в л и в а ю щ у ю

закон скоростей

в пристеночном пограничном

слое:

vm

— v = -

ln

1 + V\ — Y 8

-

у 2

•

(4-78)

Эта

ф о р м у л а

позволяет

найти

зависимость

между

числом

Рейнольдса

Re = oym 6/v

и безразмерной

скоро­

стью vm.

Согласно формуле

(4-78)

У т - У 0 . . = 4 " ( 1 П Х Г ~ 1

) = 5 ' 5 -

Повторяя выкладки, позволившие получить зависи­

мость (3-31), теперь

находим:

«.., = 5 , 7 5 I g - £ - - 0 , 3

н, следовательно,

y m

=

5,75 l g - £ ~ f 5,2.

(4-79)

По существу

ф о р м у л а

(4-79)

в ы р а ж а е т

закон

трения

при течении струи вдоль поверхности, поскольку

безраз ­

мерная

скорость

vm

однозначно

с в я з а н а

с

коэффициен­

том трения С/ .

Д л я

удобства

расчетов

на рис. 4-14

представлен вспо­

могательный

график

зависимости

коэффициента

с ш раз ­

ности скоростей ve—tii

от координаты ч\е.

Кроме

того, на

рис. (4-15)

и з о б р а ж е н а

графически

зависимость,

выра­

ж е н н а я

(4-79).

Методика

определения

скоростей

при известных вели­

чинах wm

и aii сводится

к

следующему .

Оценив

число Re = aym 6/v

(разумеется,

с последующим

уточнением),

по

рис. 4-15

находят

vm

и

вычисляют и( :

v t

=

(4-80)

З а т е м

по

разности

vm—vi

и рис. 4-14

находят

с и г\и

(напомним, что vm=ve).

З а к о н скоростей

находят

по за­

висимости

(4-76).

50

7

1

¥0

№

1

за

20

10,

Iffffe

/ 0,15 0.?.

ч

7

S

Я

Рис. 4-14. Вспомогательны!!

Рис. 4-15. Зависимость

максимальной

график для определения по­

безразмерной

скорости

vm

от

числа

стоянной с и

разности

ско­

Рейнольдса

для полузатопленной

ростей

0„—V\.

струи.

Поскольку

a>i = 0, ve—y1

= om =25; .по этому значению

и графику

рис. 4ч14 находим с = 140 и г)е =0,09.

Распределение скоростей в пристеночном пограничном слое на­

ходим с помощью формулы (4-78). Например, координате 11=0,045

соответствует:

,

71 _0,045

ц.

0,09

и согласно (4-78)

о = 25-

1

1 + V

1 — 0,5а

У 1 - О ,52

23,74;

0,35

0,5

v

23,74

• 0,95.

25

условие т = 0 на г р а н и ц е

пристеночного слоя не очевидно.

Р а н ь ш е

это условие было, следствием наличия

максиму ­

ма

скорости. А

теперь

м о ж н о

л и ш ь у т в е р ж д а т ь что

в точке

В (в которой з а к а н ч и в а е т с я начальный

участок

струи)

dw/dy=0

и тг=0. По - видимому, эти условия бу­

дут

сохраняться

еще на

некотором расстоянии

от точки

В вдоль границы

пристеночного

слоя.