Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

Pi

"

Pa

_ Р _ .

р__

P l ~RJ ' р 2

~R~T '

(4-98)

Рг ~" '

Зависимость (4-98) понадобится в дальнейшем .

Теперь з а п и ш е м уравнение массопереноса

д л я веще­

ства, из которого состоит •спутнын

поток. Д л я этого вы­

делим в потоке элементарный прямоугольник

со сторо­

нами dx и dy. Поскольку общее

количество

вещества,

из которого первоначально состояла струя,

поступив­

шего в выделенный элемент, равно

изменению

количест­

лекулярного чмассопереноса),

то можно записать:

^-(РР)+^-(РР«»Х) +

- | Г ( Р Р % ) = 0 .

&

+

Я

г

М + ъ № У )

= ° -

.

(4-99)

При

выводе

(4-99)

учтено, что pi/p2 = const.

Характерно,

что

по внешнему

виду

зависимость

(4-99)

совпадает

с

общим уравнением

неразрывности

(4-95).

Совместное

решение уравнений

(4-95),

(4-96)

и (4-99)

(концентрации) в струе. ,

З а д а ч а существенно

упрощается

в случае

и з о б а р и ­

ч е с к о й и з о т е р м и ч е с к о й

с т р у и .

В

этом

част­

ном случае уравнение

(4-99)

совпадает

с

уравнением

неразрывности несжимаемой жидкости:

^ L - [ _ * g _ =

0 ,

(4-100)

а совместное р е ш е н и е этого уравнения с

(4-95)

приво­

дит к д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м у уравнению

до

,

до .

до

А

Таким образом,

в случае изобарической

струи

з а д а ч а

жения и неразрывности

при p = const и r=cons<t

не со­

д е р ж а т плотности,

то и

распределение

скоростей

в

по­

перечном сечении струи не зависит от концентрации

сме­

си и совпадает с ранее установленным

д л я

однородной

жидкости.

Д а л ь н е й ш и й

путь р е ш е н и я

з а д а ч и сводится к следую ­

щему.

Переходя от мгновенных значений скорости и плот­

ности к осредненным и пульсационным

с л а г а е м ы м :

р =

р +

р";

w x =

w x +

w'x;

Wy

=

wy+w'y,

подставляя эти

в ы р а ж е н и я

в

(4-95)

и

производя

осред­

нение во времени,

получаем:

ЬТ Ср ^

+

i r

Ср ®У)

-

-

( Р

7 ^ )

-

(№'у)-

13*

195

У ч и т ы в ая

д а л е е ,

что в соответствии

с теорией

погра­

ничного слоя

id

<

-ft (руу),

w

и используя

уравнение

неразрывности

(4-100), получаем

д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

уравнение, позволяющее найти

р:

wx =

f . +

W y & =

ду

(4-Ю1)

дх

1

J ду

В дальнейшем,

как обычно,

з н а к

осреднения

будет

н о й п у л ь с а ц и е й

с к о р о с т и

w'v.

Эта связь

уста­

навливается на основании следующих

соображений .

Перенос примесей жидкости и тепла в направлении,

перпендикулярном оси струи,

обусловлен

поперечными

пульсациями

скорости. Поскольку пульсация скорости

w'y физически

означает перенос частиц

в поперечном на­

правлении, то

пульсации плотности (или

температуры)

д о л ж н ы

быть

пропорциональны

пульсациям скорости

W'y.

Таким образом,

р ' = c o n s t

w'y.

Н о чтобы эта зависимость носила универсальный ха­

рактер,

коэффициент

пропорциональности

д о л ж е н

быть

сации плотности и скорости

к разности м е ж д у

значения­

ми этих величин в данной точке и какой-либо

фиксиро­

ванной точке.

И н а ч е говоря, предлагается следующий вероятный за­

кон связи м е ж д у пульсациями

скорости и

плотности:

— 9

— = const

w ' y

(4-102)

( p m и wm — значения

плотности и скорости

на оси струи) .

Аналогичный закон был предложен автором

в р а б о т е

[Л. 53] д л я пульсаций

температуры:

-=.—^-=-=——— const.

(4-103)

Тт

— T w m

— w

1

ханизмов переноса тепла

и импульса.

Формулы

(4-102)

и

(4-103) следует

рассматривать

как

в ы р а ж е н и я гипотезы, н у ж д а ю щ е й с я

в

эксперимен ­

тальной проверке.

w'x

По аналогии с пульсацией скорости

пульсацию

плотности р '

можно

считать пропорциональной градиен­

ту

плотности:

P ' = / ' p f -

(4-Ю4)

/'

— а н а л о г

длины

пути

перемешивания .

^

=

^

т

( ' - * ) " •

< 4 - 1 0 5 >

Условно принято,

что

р т > ' Р ;

в этом

случае

положи -

• тельной

пульсации скорости

w'v

соответствует положи ­

тельная

пульсация

плотности

(частица,

о б л а д а ю щ а я

большей

плотностью,

попадает

в

среду

с

меньшей

плот­

ностью) .

Д л и н а пути перемешивания

/ р не совпадает

с

/ ' р , по­

скольку

включает

постоянную.

Д а л ь н е й ш и м

выражением

аналогии

Рейнольдса

яв­

ляется предположение

о

том,

что законы

изменения

/

и / с х о д н ы :

'

-

( v -

i

V

(4-106)

р

Коэффициент

р

ментов.

Опыты

что

м о ж н о принимать

показывают,

х , = 0,24.

Ширина области

смешения

потоков

/

заметно боль­

ше ширины собственно струи в (области,

в пределах

ко­

торой происходит

изменение скорости). Опыты

Г. Н . А б -

сматривать

как

иллюстрацию;

величина

в /в

д о л ж н а

определяться

теоретически.

Единственной

дополнитель­

ной константой

является величина

и .

24.

Итак,

з а д а ч а

о струе

в спутном потоке при различ­

ной

плотности

сред

сведена

к

решению

уравнения

до

,

до

д

(4-107)

йу)

J

при

условии

1

Д л я

затопленной

струи,

у которой

границы

прямоли -

нейны,

возможно

строгое

решение

уравнения

(4-107).

В общем

случае з а д а ч а решается

таким ж е 'Методом, как

и з а д а ч а

о поле

скоростей

в струе.

П р и б л и ж е н н о е о п р е д е л е н и е з а к о н а и з ­

м е н е н и я

п л о т н о с т и

производится

следующим

об­

разом.

Рассмотрим

произведение

Вследствие

симметрии

на

оси

струи

s = 0;

dpldy

= Q,

кроме того, на границах струи для у=±1ртакже

д о л ж н о

быть

5 = 0.

Очевидно

т а к ж е ,

что

на

границах

ds/dy

= 0,

поскольку

распределение

плотности

(как

и

скорости)

д о л ж н о

быть

асимптотическим.

Д р у г и м и

словами,

гра­

сательных напряжений т. Поэтому

по аналогии

м о ж н о

записать:

я = - 4 - =

с1 -п (1

~ff

. Р — Pi = 1 — А

Y-ч

•dt],

(4-108)

' Рг — Pi