Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

ный на

следующих

с о о б р а ж е н и я х [Л. 11]. Если

в урав ­

нениях

д в и ж е н и я

и

энергии

произвести

з а м е н ы :

Wx = V7wx;

Wy=Yp~wy

и Q =

pwcpAT,

то эти уравнения примут такой

лее вид, к а к

и д л я

несжи ­

маемой

жидкости

(при условии

др/дх=0).

Совпадение уравнений позволяет приближенно принять

универсальность

профилей pw2

и pWxCpAT

или

отношения

V?wx

Д р у г и м и словами, м о ж н о

принять:

j ^ L ^ j s - , 1 .

-

(6.1)

(РИФ»

V « W b

Jfe&_f_&T\-.

( 6 . 2 )

И н д е к с

«н»

относится

к

п а р а м е т р а м

н е с ж и м а е м о й

жидкости .

М е т о д и к а расчета, основанная на универсальности

профилей

рдо2. и Y~pcpAt,приведена

в монографии (Л . 11].

Сопоставление

расчетных

д а н н ы х

по

методике

Л . А. Вулиса, выполненное его сотрудниками

(например,

Н . Н. Терехиной), с опытными

д а н н ы м и

дает

удовлетво ­

свести

уравнение

неразрывности

к

уравнению

д л я

не­

с ж и м а е м о й жидкости . Этот

недостаток, по-видимому,

не

очень

существен,

поскольку

в

п р и б л и ж е н н ы х

методах

уравнение неразрывности

вообще не используется (в д и ф ­

ференциальной

ф о р м е ) . Во-вторых, ф о р м а л ь н о е

сведение

уравнений д в и ж е н и я

и энергии к

соответствующим у р а в ­

нениям

д л я несжимаемой

жидкости

еще не означает

по­

добия

профилей

pw2

и ] / р с р А Т .

В этом легко убе­

диться,

переходя

к осредненным

величинам .

Р а з у м е е т с я ,

оба

эти

недостатка

хорошо

известны

Р я д

исследователей

при решений

з а д а ч о

турбулент­

ном сечении газа используют ф о р м у л у

П р а н д т л я ,

справедливую д л я несжимаемой жидкости, и,

следова­

тельно,

пренебрегают

влиянием

пульсаций

плотности.

В частности, А. С. Гиневский решил

р я д з а д а ч

о

газовых

струях,

используя

ф о р м у л у

П р а н д т л я .

Однако

справедливость ф о р м у л ы П р а н д т л я

д л я течения

газа

не

д о к а з а н а ; отсутствует

т а к ж е оценка

возможной

погреш­

ности,

связанной с применением

ф о р м у л ы П р а н д т л я .

6-2. ЗАКОНЫ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

И ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА ТЕПЛА ДЛЯ

ГАЗОВ

В §

1-5 найдены

в ы р а ж е н и я

д л я

рейиольдсовых

на­

-

т т =

р w'xw'y +

j

^

V^ydy-y

(б-З)

З а м е т н о е

упрощение в ы р а ж е н и й

д л я

q? и

т т

связано

с тем, что

д л я пограничного

слоя

м о ж н о

принять

K>2//^a:<Cl и,

кроме

того, пренебречь

с л а г а е м ы м ,

завися ­

щим от тройной

корреляции .

Однако

решение

з а д а ч и

остается весьма

с л о ж н ы м ,

скорости не

установлена .

По - видимому, м о ж н о

воспользоваться зависимостью,

аналогичной

(5-6):

- S H

( 6 ' 5 )

но эта зависимость

н у ж д а е т с я

в экспериментальной про­

верке.

В первом приближении влиянием вторых с л а г а е м ы х

правой части зависимостей (6-3)

и (6-4)

м о ж н о пренеб ­

речь. Ч т о б ы

убедиться

в

этом,

найдем

производные

дт.

д

,

;

г >

, -;—т

dw-

скольку

т а м 5шд ./Зг/ = 0 и

dio/di/ =

0.

Д л я

пограничного

слоя вблизи стенки т на

внешней

границе

слоя т а к ж е

вторые

с л а г а е м ы е •

о б р а щ а ю т с я

в нуль,

ибо вблизи

стенки малы

пульсации,

а на внеш­

ней границе dwxfdy

— 0 и д10[ду = 0.

Т а к и м образом,

в

приближенных методах

расчета

тодов вместо

(6-3) и (6-4) м о ж н о принимать простые за­

висимости:

хт

=

— pw'yw'x;

(6-6)

qT =

pw'yi'0.

(6-7)

Поскольку

в книге

рассматриваются только

прибли­

ж е н н ы е методы, в дальнейшем будут использованы

зави ­

симости (6-6)

и (6-7).

Д а л е е необходимо

остановиться

на

связи

м е ж д у

пуль­

сациями энтальпии г'о и скорости

w'v.

Эта

связь

м о ж е т

быть у с т а н о в л е н а ' и с х о д я

из того

очевидного ф а к т а , что

механизм турбулентного

переноса

тепла в

с ж и м а е м о й и

несжимаемой

с р е д а х

совершенно

одинаков.

Поэтому,

о б о б щ а я зависимость

(5-6), примем:

=

const

(6-8)

В заключение необходимо отметить, что при

больших

скоростях и особенно при больших перепадах

темпера ­

тур необходимо учитывать изменение физических

х а р а к ­

теристик жидкости: ц,

с р , X; этот

учет особенно

в а ж е н

в пристеночной области.

6-3. ГАЗОВЫЕ СТРУИ

Н а и б о л е е

прост учет влияния с ж и м а е м о с т и в

газовых

касательных н а п р я ж е н и й т

(п.)

от э ф ф е к т а

сжимаемости

не зависит . Так, например,

д л я

основного

участка плос­

кой струи согласно ф о р м у л е

(4-25)

условия дх/дц—'О.

Р а з у м е е т с я ,

постоянная

Cj в

общем случае

зависит

от э ф ф е к т а сжимаемости, однако величина

Ci не

влияет

на закон распределения скоростей в поперечном

сечении

струи.

Р а с с м о т р и м

методику

определения

с к о р о с т е й

в поперечном

сечении струи

на

п р и - м е р е

п л о с к о и

Согласно ф о р м у л е

П р а н д т л я

или

(здесь

приняты такие

ж е

обозначения, к а к

и в гл.

4) .

Соответственно

д л я

несжимаемой жидкости:

in

причем

в ы р а ж е н и я

д л я т

и Тн отличаются

только

вели­

пути перемешивания независящей от эффекта

с ж и м а е ­

мости, получим:

d

m

- ^

Y — V

—dbWa.

(6-9)

Отношение ci/cin

находится

из

очевидного

условия:

на границе струи

Агд =

Шп=0.

К а к показано

ниже,

в р а м к а х приближенного

метода

расчета отношение температур в поперечном

сечении

струи м о ж е т быть

найдено простым

образом; знание ско­

плотности

в струе м о ж н о

считать

известным (при

м а л ы х

числах

М а х а ) , что позволяет произвести интегрирование

(6-9),

например, графически.

О д н а к о практически

более

удобно

воспользоваться

простой

зависимостью

м е ж д у

скоростями

и температурами,

установленной классиче-

скоп теорией [Л. 1]:

Тогда

Ра _

7\_

Т

1 _ j _ AJH

т/дгГ;а .

(6-10)

Р

7\>

~" 7'г

* 1

Подставля я вто выражени е

в (6-9) и производя

инте­

грирование, получаем

простую

зависимость:

о

Г. , &Tm

2

г А Т т

•

. —

3/2

4

_

5

+

15

Ащ=

_2_ /7V\5/ 2

2_ / 7\ _ \ 3 / 2

,

5

V . W

3

V • /

1 5

(6-11)

Кроме

того,

2

А 7% \ 5

' 2

для несжимаемой жидкости; в общем случае т}а соответствует

поло­

вине ширины

струн.

Рисунок 6-3 позволяет сделать

следующие выводы. Влияние по­

догрева струи на распределение скоростей

весьма

существенно л им

пренебрегать

нельзя. Для горячих струй в холодном спутном

потоке

изложенный

метод и метод Л. А. Вулиса

дают близкие результаты

(штриховая

кривая на рис. 6-3, T2/Ti=3).

К аналогичным выводам

приходит и А. С. Гиневский, решавший

задачу

на основе

новой

теории Прандтля [Л. J3].

•Однако для холодных

струй в горячем

спутном потоке профили

скоростей по излагаемой

методике

и по Л. А. Вулису

отличаются

существенно

(кривые а и в для 7У7Л=0,3).

Сравнение профилей

скоростей

лри

различных

отношениях

T 2 /Ti на рис. 6-3 произведено при одинаковой ширине

струи. Если

же по оси абсцисс откладывать отношение r\lr\a,

причем г)а

— абс­

цисса точки,

где разность

скоростей равна половине максимальной

разности для каждой струи, то отличие в профилях

сравнительно

невелико (рис. 6-4).