Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.06.2024

Просмотров: 185

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3-2. ГИПОТЕЗА ПРАНДТЛЯ

Р а с ч ет турбулентных течений возможен только при

условии, что будет установлена связь

м е ж д у

пульсация­

ми скорости

и

характеристиками

осредиеиного движе ­

ния. Т а к а я связь

установлена Прандтлем .

 

 

П р а н д т л ь

полагает, что если

вследствие

поперечных

пульсаций жидкий комок из точки А

(рис.

3-2,а) дви­

жется вверх, то, пройдя путь 1\ и попав в точку В,

этот

комок приобретет скорость жидкости

а этом

сечении

wB.

Рис. 3-2. К определению дополнительных касательных напряжении.

а — двухмерное течение: б — трехмерное течение.

Если средняя скорость в точке А равнялась wa, то пуль­ сация скорости w'x равна или пропорциональна разности скоростей:

 

 

 

W'x = —C\

{Wx„—Wxn)

 

 

 

 

или

приближенно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w ' ^ - c j ^ .

 

 

 

(3-1)

Расстояние /ь которое проходит жидкий комок да

столкновения (вызывающего

потерю

индивидуальности

к о м к а ) ,

названо

П р а н д т л е м

длиной

пути

перемешива­

ния. Очевидно, длина пути перемешивания

аналогична

длине'свободного пробега молекул в кинетической

тео­

рии

газов.

 

 

 

 

 

 

Поперечные пульсации скорости w'y

П р а н д т л ь

при­

нимает

пропорциональными продольным

пульсациям

w'x:

 

 

 

ш'„ = — c 2 w ' x .

 

 

 

(3-2)

Здесь принят знак «минус», поскольку

положитель­

ным

поперечным

пульсациям

скорости

w'v

(движению

от стенки) соответствуют отрицательные

пульсации

w'x.

3*

 

 

 

 

 

 

 

35

Строго говоря, следует считать продольные пульса­ ции скорости зависящими от поперечных, ибо они вызы­ ваются поперечными пульсациями. Более того, вне по­ граничного слоя продольные пульсации скорости отсут­

ствуют

(нет градиента скорости),

а поперечные — су­

ществуют.

 

 

 

Вопрос о соотношении пульсаций требует дальней­

шего

изучения. Вероятно, коэффициент

сг в

формуле

(3-2), принимаемый постоянным, в

действительности за­

висит

от

координат точки. Отметим

лишь,

что

не всякие

продольные пульсации скорости д о л ж н ы приниматься во внимание. Если пульсации скорости вызваны движе ­ нием молей вдоль оси х (в направлении основного те­ чения), то это не приводит к изменению количества дви­ жения в слое и, следовательно, не приводит к появле­ нию дополнительных напряжений . Математически это

условие

в ы р а ж а е т с я

в

отсутствии

корреляции м е ж д у

пульсациями

скорости

w'x

и

w'v.

 

 

 

 

Теперь

легко

определить

дополнительные

касатель ­

ные н а п р я ж е н и я :

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведение

llcl |

с,

обозначают

через

/:

 

 

а / т а к ж е

называют

длиной

пути

перемешивания,

что,

вообще

говоря, неверно.

 

 

 

 

 

 

С учетом

принятого

обозначения

закон

касательных

напряжений

принимает простой вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-3)

Формула (3-3) получена

Л . П р а н д т л е м

и

носит

его

имя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула

П р а и д т л я

качественно верно

учитывает

влияние скорости. Действительно, согласно этой фор­

муле н а п р я ж е н и я пропорциональны

квадрату

скорости,

что хорошо согласуется с опытными

данными .

 

Основной недостаток формулы ГТрандтля обнаружи ­

вается в

случае

турбулизованного

внешнего

потока.

Согласно

формуле

П р а н д т л я при отсутствии градиента

скорости

всегда т = 0 , в то время как

в действительности

36

в турбулпзоваппом Потоке касательные напряжения су­ ществуют.

Поэтому формула П р а н д т л я и основанный на ее ис­ пользовании метод расчета турбулентных течений спра­ ведливы только при невозмущенном внешнем потоке, впрочем этот недостаток присущ всем полуэмпирическим методам расчета турбулентного пограничного слоя.

Формула П р а н д т л я послужила основой для построе­ ния полуэмпирических теории турбулентных течений. Первоначально эта формула была применена П р а и д т л е м д л я расчета течения в цилиндрической трубе и при про­ дольном обтекании пластинки. Впоследствии К. К. Фе-

дяевский применил ее к расчету поля

скоростей

и потерь

в турбулентном пограничном

слое с

большим

продоль­

ным градиентом давления [Л.

47, 48].

 

 

Чтобы иметь представление о характере распределения пульса­ ций скорости в пограничном слое, обратимся к опытным данным.

На рис. 3-3 приведено распределение осредненных пульсаций скорости

в пограничном слое при продольном обтекании пластины по опытам Клебанова [Л. 51]. Ось х выбрана вдоль течения; ось у—перпенди-

0

0,01

0,02

О

0,2 0,4 0,8 0,8 1,0 1,2 1,4

Рис. 3-3. Распределение пульсации скорости в пограничном слое на пластине по опытам Клебанова.

X X X - = j /

; в в • -

w'2/Wm; О О О - . х = | / *'z2/wm.

кулярно пластине. Вблизи степки продольные пульсации ех сущест­ венно больше поперечных пульсаций еи . По мере, удаления от степки величины пульсаций сближаются и на границе слоя пульса­ ции одинаковы (и, по-видимому, равны степени турбулентности в внешнего потока).

37

В непосредственном близости к пластинке пульсации скорости резко уменьшаются (гасятся силами вязкости).

Характерно, что пульсации скорости не прекращаются на границе слоя.

Более четкое представление о положении границы пульсаций при обтекании пластины дает рис. 3-4, на котором приведено распределе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q,fr­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\и,г

 

О

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Рис. 3-4. Турбулентные

напряжения

н

коэффициент корреляции

 

в

пограничном

 

слое

па

пластине.

 

О О

О — о п ы т

 

2т

 

 

 

 

 

 

расчет

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W' ш'

 

(но измерениям

Клебанова).

 

 

 

 

 

 

 

 

У -

 

 

 

 

 

 

 

ние в пограничном слое турбулентных

напряжений

 

 

 

2т,

_

 

2

<

^

 

 

и коэффициента

корреляции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

(3-4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по измерениям

Клебанова [Л.

 

5]. В

то

же

 

время как касатель­

ные напряжения на границе слоя близки к нулю, коэффициент кор­

реляции

исчезает на

расстоянии

(//6—1,2. Таким

образом,

согласно

1,2

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0

о

 

{

 

 

 

 

 

 

 

 

0,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\\<

 

 

 

 

 

 

 

 

0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

0,4

 

 

 

 

Рис. 3-5. Распределение коэффи­

0,2

 

 

 

 

циента перемежаемости

в

погранич­

 

 

ч

 

ном

слое

па пластине

(по опытам"

 

 

 

 

 

 

 

Клебанова).

 

 

 

 

0,4

0,8

1,2{

 

 

 

 

 

 

 

ф

X

О — опытные

точки,

 

полученные

 

 

 

 

 

 

 

тремя

различными методами .

38

опытам Клебанова граница пульсации при обтекании пластины ха­ рактеризуется безразмерной координатой 6_Jfis»l,2.

Измерения коэффициента перемежаемости у, выполненные Кле­ бановым в пограничном слое на пластине, также дают значение 5^,/6~'1,2. Об этом свидетельствует рис. 3-5, на котором приведены опытные данные Клебанова.

0,20

 

 

 

 

0,16

w0

то

Wg

 

0,12

 

 

 

 

 

0,08

 

 

 

 

0,04

и *

Мш'и

+—

Ил

 

 

w0

 

-0,12

-0,08 -0,04

0,04

0.08 0,12

0,16

Рис. 3-6. Распределение пульсаций скорости в пограничном

слое начального

участка осесимметричной струн по опытам

 

Л. И. Илизаровой

[Л. 17].

 

 

/ /

D M 4 0

мм; О ® — х=Ш мм;

О * — а'= 550 мм.

 

 

/ /

На рис. 3-6 приведено распределение осредненных пульсаций скорости в пограничном слое начального участка осесимметричной струи по опытам Л. И. Илизаровой [Л. 17]:

Индексами /• п и снабжены

соответственно радиальные

и окруж­

ные составляющие

пульсаций

скорости;

— скорость

истечения

струя; координата у отсчнтывается от

кромки

сопла

по

радиусу.

При у—0 пульсации

скорости

примерно

одинаковы

и

достигают

максимальной величины. По

мере

увеличения

у

(приближения

к наружной границе

слоя) пульсации

уменьшаются, однако сниже­

ние продольных пульсаций скорости происходит значительно медлен­

нее, чем поперечных.

И здесь в среднем продольные

пульсации при­

мерно вдвое больше

поперечных.

 

 

О б о б щ е н и е

г и п о т е з ы П р а н д т л я .

Гипотеза

Прандтл я и соответствующая ей формула

(3-3)

спра­

ведливы дл я двухмерного течения. Попытаемся

обоб­

щить гипотезу Прандтл я на случай трехмерного

течения

при условии, что продольные градиенты скорости суще­ ственно меньше поперечных:

dwjdx_

. dwjd%_

,

dwx'dy ^

dwxidz ^

'

Смотрите также файлы