Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

тельное допущение о

длине пути перемешивания. При­

мем, что длима пути

перемешивания не

зависит

от на­

правления . Очевидно,

что это допущение

можно

считать

Продольные

пульсации

скорости

w'x

определяются

так же, как и в методе

П р а н д т л я .

Если

жидкий

моль

попадает из точки А в точку В

(рис. 3-2,6), то

его

ско­

рость изменится

на величину

Двд* =

ш я в -

ш з д — sfby+sr

А?-

Расстояние между точками А и В Л по-прежнему

равно длине пути перемешивания .

Поскольку A// =

/ i sin и и Лг = /4 cos а, то

Лш*= '« (%:'-slnа c o s я ) •

Пульсация

скорости

w'x

численно равна

разности

скоростей

>\wx:

w'x = -

Люд- =

— /, (j^-

sin a-f^g-

cos

aj.

При определении

поперечных

пульсаций

скорости

т а к ж е воспользуемся гипотезой

П р а н д т л я

о

пропорцио­

нальности

между

продольными

и поперечными

пульса­

циями скорости, однако при этом учтем

особенности

пространственного

течения.

Д е л о

в том,

что

согласно

последней

зависимости

пульсация

скорости w'x

может

быть

представлена

в ви­

де суммы двух

слагаемых:

w'x

= w'xy +

w'xz

w'xy — — Iг - ^ - sina ;

w'xz

= —

cosaj .

коэффициенты, как и длину пути

перемешивания h,

можно считать зависящими от геометрии к а н а л а

и поло­

жения точки в канале .

В газовых

струях вне

границ

струи (как их . обычно

определяют)

поперечные

пульса­

цами струй с = 0 , что лишает

возможности

пользоваться

последними формулами . Это обстоятельство

необходимо

учитывать, в

частности

при

изучении

поля

температур

в струях.

Переходя

к определению

касательных

напряжений,

примем, что

осреднение

во

времени

может

быть заме ­

рости равновероятны во всех направлениях .

Исключения

составляют лишь области, непосредственно

примыкаю ­

щие к стеикам. Поэтому можно принять:

2

и

о

зависит только от геометрии канала и

положения

точки

в канале . Характер этой

зависимости

установлен

ниже.

Н. И. Булеев решал

поставленную

задачу исходя из

вихревой вязкости, и получил другие, существенно

более

сложные зависимости для %х у и т Х 2

[Л. 8].

3-3. ЗАКОН ДЛИНЫ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

Гипотеза П р а н д т л я о связи пульсации скорости

с гра­

диентами скоростей осредненного

движения, в ы р а ж е н н а я

в виде зависимости (3-3), д о л ж н а

быть дополнена

гипо­

Д в у х м е р н ы е

т е ч е н и я .

З а д а ч а

о

длине пути

перемешивания

сравнительно

подробно

изучена

д л я

двухмерных течений.

П р а н д т л ь предположил,

что

вблизи

стенки

длина /

пропорциональна расстоянию до

стенки:

1 = ку.

(3-6)

Многочисленные

опыты

показали,

что

формулу

П р а н д т л я

(3-6)

можно

применять

на

сравнительно

не­

большом

удалении

от

стенки

до

расстояний

порядка

£//6 = 0,2^-0,25.

Было

т а к ж е установлено,

что

коэффи­

циент пропорциональности х

практически

не

зависит

ни

ления др/дх, и поэтому у. имеет

характер

универсальной

постоянной. П о данным различных исследований

вели­

чина

коэффициента х

колеблется в пределах

и =

0,36н-

0,4.

Н и ж е постоянная

П р а н д т л я

принята

равной

0,4:

у. = 0,4.

Это значение получено путем

сопоставления

опытных

обтекании

плоской стенки.

Недавно М. А. Гольдштнку и С. С. К у т а т е л а д з е

уда­

лось найти

теоретическое решение задачи о

постоянной

П р а н д т л я

% [Л. 25]. В основу решения задачи

был

поло­

В дальнейшем формула П р а и д т л я (3-6) будет

ис­

пользована в виде

.

( £ ) - . = * •

< " >

причем производная

берется на

границе вязкого

под­

слоя. П р а в д а , последняя оговорка

практически несуще-

Рмс. 3-7. К определению длины

пути

перемешивания.

я — развитое

турбулентное течение

в

канале;

б — погранич­

ный

слон па

стспке; в — турбулентная

струя;

/ — граница

струп; 2 — граница

пульсаций;

а — y.=tg a = 0 , 3 6 ; « _ / e = I;

б — v.=lg а=0,36;

Xi = lg а,=<0,18; в _ ^/о=1,2;

в — x.,=tg ai=»

«0,18; в ^ / в = !,5.

ственна,

поскольку

толщина

вязкого

подслоя

обычно

пренебрежимо мала .

1 = 1 {у)

При определении

закона

необходимо

разли­

чать три

случая: а) развитое

турбулентное течение

принятые обозначения

показаны на рис. 3-7.

В

случае

р а з в и т о г о т у р б у л е н т н о г о

т е ч е ­

н и я

(схема

а рис. 3-7) известны производные

dljdy на

обеих

границах турбулентного

ядра:

t g a ' = ( | - ) ^ = K ;

( ж \ ^ г ~ к

-

Поэтому

в простейшем случае можно принять:

l^ay'

+ czy'2

(у'=у—8в)