Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
Произведем дифференцирование по |
ли |
|
|||||
dy _ |
к + 1 |
■1 -f кх |
- 1 |
( « - 1)л'‘ |
(5-24) |
||
dx |
к — 1 |
к |
|||||
|
|
|
|
||||
При ,ѵ = 0 функция |
dy |
= 0. Определим знак производной |
d2y |
||||
|
|
И х 2 : |
|||||
|
d2y |
|
= к (к -|- 1) |
х к"2 (1 — х). |
(5-25) |
||
І х 2 |
|||||||
Так какх>1, то |
-^— -всегда меньше нуля. Это доказывает спра |
ведливость неравенств (5-25) и (5-21).
Вследствие выполнения неравенства (5-19) значение квадрат ной скобки в уравнении (5-20) всегда больше единицы и поэтому при ударном сжатии Д5>0, т. е. при ударном сжатии энтропия всегда возрастает.
Увеличение энтропии в результате ударного сжатия объяс няется необратимым характером изменения состояния газа. В ре зультате такого процесса часть кинетической энергии газа необра тимо переходит в тепло. При отсутствии теплообмена с внешней средой внутренняя энергия, а значит и температура, возрастает. Графики изменения плотности и температуры при изоэнтропичеокоім т ударном сжатии для газа к= 1,4 приведены на рис. 5-5.
При формальном распространении ударной адиабаты (5-6) на
случай разрежения ( — < 1 и — <1) на основании уравнения (5-20)
• Р о Ро 1
происходит процесс, идущий самопроизвольно с уменьшением энтропии. Это противоречит второму закону термодинамики. Следо вательно, уравнение ударной адиабаты к случаю разрежения не применимо. Иными словами, скачков разрежения в газовом тече нии быть не может. Это положение известно под названием теоре мы Цемпелена. Однако, как было показано выше, волна разреже ния с непрерывным падением давления представляет собой вполне реальное и устойчивое явление как для сверхзвукового, так и для дозвукового течения. Энтропия при переходе через такую волну остается неизменной.
Рассмотрим уравнение ударной адиабаты для слабой ударной
волны. В уравнении |
(5-6) положим |
рп = р; рф = Р -г dp\ р0=р; рф = |
|||||
= Р + dp: |
(« + |
1) (р + |
dp) + |
(к - |
1) р |
|
|
р + dp |
(5-60 |
||||||
р |
(к — 1) (Р + |
dp) + |
(к + |
1) р |
|||
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
dp _ |
|
dp______ |
|
(5-6") |
||
|
р — |
, к — 1 , |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
' |
кр 4----- dP |
|
|
|
59
Пренебрегая в уравнении (5-6") бесконечно малой величиной второго порядка, получаем уравнение пзоэнтропнческого процесса
dp _ rfp
Р ~ К~ '
Таким образом, изменение состояния в ударной волне беско нечно малой интенсивности является нзоэнтропнческим.
В связи с особенностями ударного сжатия необходимо отметить, что ударные волны представляют собой парадоксальное явление. Они парадоксальны в том смысле, что, не вводя никаких предпо ложений о диссипативных силах (вязкости и теплопроводности), мы из фундаментальных законов сохранения получаем законы удар ных волн, в которых заключено возрастание энтропии, т. е. законы, в которых заключена необратимость процессов, происходящих в ударных волнах.
Замечательно также то, что все основные соотношения для удар
ных волн |
были установлены |
из рассмотрения |
уравнений |
газовой |
||
динамики |
более 75 лет тому назад, когда не было |
еще |
никакого |
|||
опытного |
материала до того, |
как |
ударная волна |
была |
изучена |
|
экспериментально. По образному |
выражению |
Э. Жуге |
«ударные |
|||
волны впервые появились на кончике пера теоретиков». |
|
§ 5-6. Ударная волна в атмосфере
Как отмечалось выше, при взрыве взрывчатых веществ в той или иной среде образуется ударная волна, представляющая собой
60
резкое и значительное сжатие среды, распространяющееся со сверх звуковой скоростью. Было установлено, что устойчивой формой движения в этом случае является такая, при которой имеется фронт ударной волны, на котором происходит скачкообразное изме нение всех параметров. Мы изучили основные особенности фронта ударной волны.
Рис. 5-6.
Рассмотрим теперь параметры за фронтом ударной волны. За фронтом ударной волны, распространяющейся в атмосфере, как
правило, снижаются давление, скорость частиц и температура |
воз |
||||
духа. Характер |
изменения давления |
в фиксированной точке |
про |
||
странства при |
прохождении |
через |
нее ударной волны |
показан |
|
на рис. 5-6. В волне наблюдается |
область избыточного |
давле |
|||
ния Ар = р —ро>0 длительностью т |
и область разрежения с мини |
||||
мальным давлением Дрм < 0 |
длительностью т_. Величинах |
назы |
вается временем действия избыточного давления, или просто вре менем действия ударной волны (временем фазы сжатия в ударной волне). Время действия пониженного давления т_ (длительность
фазы разрежения) обычно -в несколько раз более длительности фазы сжатия.
Пространственное распределение давления в ударной волне для некоторого момента времени имеет вид, аналогичный рис. 5-6, но на оси абсцисс отложено расстояние от центра взрыва (рис. 5-7). Точка А соответствует положению фронта ударной волны, а точ ка В — концу фазы избыточного давления. Отрезок AB называют длиной ударной волны и обозначают К. Расстояние от В до А фронт проходит за время т+, поэтому
A= DT+. |
(5-26) |
При взрывах обычных взрывчатых веществ величина т+ поряд
ка 1 |
мсек и %— 0,5—1,5 м. Такие |
волны называются короткими. |
При |
'взрывах ядерных зарядов |
величина т+ получается поряд |
61
ка 1 сек и л — нескольких сотен метров. Такие ударные волны на зываются длинными.
Ударная волна представляет собой сложное неустановнвшееся явление, которое характеризуется рядом параметров, изменяю щихся с увеличением расстояния от центра взрыва. Изучению ударных воли в воздухе были посвящены обширные теоретические и экспериментальные исследования, которые дают возможность оценить их параметры.
Избыточное давление во фронте ударной волны при воздушном взрыве заряда взрывчатого вещества может быть определено по эмпирической формуле М. А. Садовского:
^ = 0 , 7 6 ^ - 2 , 4 7 ^ - , 6>5 ~ \кГ,см*\, (5-27)
где G — вес заряда тротила, кГ\
R — расстояние от центра взрыва, м.
Для взрыва других веществ за G принимается вес тротила, эквивалентный по выделяющейся при взрыве энергии рассматри ваемого заряда. Выражение (5-27) было получено в результате обработки опытных данных.
Время действия положительной фазы давления может оцени ваться по эмпирической формуле
Ч = К О Ѵ'Я-ІОГ3 \сек]. |
(5-28) |
При взрыве в атмосфере вся энергия взрыва равномерно рас пределяется во всем пространстве. В случае взрыва на поверхности земли (наземный взрыв) почти вся энергия взрыва распростра няется в полупространстве. Поэтому взрыв на поверхности земли по ударной волне в воздухе оказывается эквивалентным взрыву удвоенного заряда в безграничной атмосфере и давление во фронте ударной волны при наземном взрыве может быть вы
числено по уравнению |
(5-20) с удвоенным зарядом или |
по зави |
|
симости |
|
|
|
ДР* = 0,96 ^ |
+ 3,9 ^ |
- 13-^ \кГ;см*\. |
(5-29) |
62
Важной характеристикой ударной волны, определяющей сило вое воздействие на поверхности, является импульс давления в фазе сжатия
"+ |
|
|
Л = \ |
Apd^. |
(5-30) |
о |
|
|
Для его определения может быть использована эмпирическая формула .
І+ = А ^ - , |
(5-31) |
где І +— импульс фазы Ожатия, кГ • сек/см2;
R — расстояние от центра взрыва, л/; G — вес заряда тротила, кГ;
А — постоянный коэффициент, для тротила равный 35.
'Подробные данные о параметрах ударной волны получены
втеории точечного взрыва.
§5-7. Некоторые сведения из теории точечного взрыва
ватмосфере
Постановка задачи о точечном взрыве состоит в |
следующем. |
В начальный момент времени при т = 0 в покоящейся |
среде с за |
данными начальными параметрами в точке мгновенно выделяется конечная энергия ДоПри этом возникает резкий скачок парамет ров газа, вызывающий движение, распространяющееся в простран стве симметрично во все стороны. Требуется определить возникаю щее при этом движение, т. е. определить все параметры на любом расстоянии и в любой момент времени. Для идеального газа при условии адиабатичности движения за фронтом ударной волны за дача сводится к интегрированию системы уравнений в частных производных. В Г946 году Л. И. Седовым было получено решение задачи о сильном точечном взрыве без учета противодавления. Это
решение |
хорошо согласуется |
с результатами |
экспериментов и |
с успехом |
используются для |
описания ранней |
стадии развития |
взрыва, когда давление во фронте ударной волны еще достаточно
велико. |
. |
При |
дальнейшем развитии взрыва давление в ущарной волне |
падает и влияние давления невозмущенного воздуха перед фрон том ударной волны становится все более существенным. Учет цротнводавления сильно усложняет задачу. Ее решение в точной по становке приводит к необходимости интегрирования системы урав нений в частных производных на основе использования численных методов на ЭВМ. Решение задачи о сильном точечном взрыве с учетом противодавления дано в работах [4, 6, 10, 11, 12, 13 и др.]. Их результаты хорошо согласуются между собой. Результаты рас четов приводятся в этих работах в виде таблиц и графиков. Все
63
■величины, характеризующие движение, представляются в фукнции толькр от трех безразмерных параметров. В качестве таковых в ра боте [6] приняты:
|
к — показатель адиабаты; |
|
с = |
R |
|
—j—j— ■— относительное расстояеие от центра взрыва; |
||
= —» - • 3-—j2-----z-------0 |
относительное время от момента взрыва. |
|
Е |
РоРо |
|
Здесь R — абсолютное расстояние от центра взрыва;
т— абсолютное время от момента взрыва;
Е— энергия взрыва по ударной волне;
Ро |
и |
Р о |
— начальные давление |
и |
плотность |
невозмущеипого |
||||||
|
|
|
воздуха. |
Для |
расчета было |
приня |
||||||
|
|
|
то |
|||||||||
|
|
|
|
Е = 10,03 -ІО12 |
кГм\ |
р 0 — |
||||||
|
|
|
= |
10321 к Г /.«*■ р0=О, 125кГ ■ се^/м' |
||||||||
|
|
|
и к= 1,4. |
При этом |
важно |
отме |
||||||
|
|
|
тить, что при численном реше |
|||||||||
|
|
|
нии задачи о точечном взрыве |
|||||||||
|
|
|
достаточно |
произвести |
|
расчет |
||||||
|
|
|
только |
для |
одного |
конкрет |
||||||
|
|
|
ного |
случая |
|
(для |
определен |
|||||
|
|
|
ных |
|
Ро, |
Ро и к). Затем |
пу |
|||||
|
|
|
тем |
пересчета |
можно |
получить |
||||||
|
|
|
зависимость |
всех |
величин |
от |
безразмерных параметров 5 и т для данного к, после чего для того же значения к можно определить характеристики дви жения, вызванного взрывом при
любых Ео, Ро и fv
Из значений относительного расстояния и относительного времени следует, что для двух взрывов при одинаковых началь ных параметрах указанные опре деляющие величины будут равны при следующих условиях:
2=Л_ |
- ^ |
|
|
Рис. 5-8. |
Rj_ |
\Е 2 |
(5-32) |
Я, |
|
||
|
'Е, \~5 |
4 |
(5-33) |
|
т2 |
||
|
|
|
6 4