Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

ка сумме скоростей среды и и скорости звука а в данной точке. Чем больше давление в рассматриваемой области, тем больше и + а. Давление среды в точке 1 больше, чем в точке 2. Поэтому «i + a i> ti2+ Ö2 - Если рассматриваемая волна сжатия является зву­ ковой и амплитуда ее очень мала, то разница скоростей движения возмущения от точек 1 и 2 также невелика и форма волны по мере'

Рис. 5-3.

ее распространения меняется незначительно. Однако уже для силь­ ных звуковых волн эта деформация становится ощутимым. Области большего сжатия — гребни волн — распространяются быстрее, а области меньшего сжатия, наоборот, отстают. Волна постепенно изменяет свою форму: участки нарастания давления становятся все

сама себя. Это явление аналогично тому, которое наблюдается-при набегании морских волн па пологий берег, когда основание волн тормозится трением о грунт, а гребни движутся с большей ско­ ростью. Для сильных звуковых волн выбегание гребней вперед при­ водит к изменению тембра звука: появляются гармоники более высоких частот. Чем больше амплитуда волны сжатия, тем больше разница величин и + а для различных точек волны и тем быстрее происходит такое изменение ее формы. Выбегание гребней вперед и отставание впадин не может продолжаться бесконечно, иначе форма волны должна была бы принять вид, изображенный кри­ вой с на рис. 5-3. Пунктирная кривая, соответствующая этому слу­ чаю, определяет неоднозначную зависимость давления в волне, т. е. в одной и той же точке пространства должно одновременно наблюдаться несколько значений давления. Это физически невоз­ можно. Поэтому изменение формы волны сжатия заканчивается тем, что участок кривой, соответствующий подъему давления, пре­ вращается в вертикальный отрезок, т. е. образуется резкая перед­ няя' граница зоны сжатия или фронт ударной волны, распростра­ няющаяся со скоростью, большей скорости звука в невозмущенном газе. При дальнейшем распространении волны ее структура с рез-

50

RUM фронтом остается устойчивой. Если даже по какой-то причине фронт ударной волны разрушится, например повышение давления от р ] до р2 произойдет не одним, а двумя скачками, то второй ска­ чок, движущийся в среде, сжатой и приведенной в движение пер­ вым скачком, догонит его и снова образует единый фронт.

Такая устойчивость фронта ударной волны приводит к тому, что фронт будет сохраняться на всем пути движения волны до тех пор, пока ударная волна не ослабнет и не превратится в звуковую. Чем сильнее волна, тем больше скорость фронта превышает ско­ рость звука в невозмущенной среде. При ослаблении ударной волны по мере ее удаления от источника скорость движения фронта уменьшается и на больших расстояниях, где ударная волна на­ столько слаба, что мало отличается от звуковой, скорость фронта приближается к скорости звука.

Сверхзвуковая скорость движения границы волны сжатия воз­ можна только при условии, если у этой границы резко изменяются параметры среды. В противном случае при плавном изменении параметров среды, у границы волны начальный участок подъема давления должен был бы распространяться со скоростью звука. Ударные волны имеют большое значение в различных областях, особенно в последние годы в связи с бурным развитием техники (космические полеты, сверхзвуковые летательные аппараты, тепло­ вые двигатели, ядерное оружие и др.). Одновременно они представ­ ляют значительный теоретический интерес. Там, где попытки интегрирования уравнений газовой динамики без введения разры­ вов (ударных волн) приводят к парадоксам и к невозможности ре­ шения уравнений, теория ударных волн разрешает парадоксы и позволяет сконструировать режим движения при любых условиях.

Перейдем к изучению соотношения параметров на фронте удар­ ной волны.

§5-2. Основные уравнения для фронта ударной волны

'Рассмотрим картину движения фронта ударной волны (рис. 5-4). Пусть невозмущенная среда характеризуется давлением р0, массо­ вой плотностью Ро, температурой Т0 и скоростью Uо=0. Параметры газа «а фронте ударной .волны обозначим соответственно рф, рф,

иПф, а скорость фронта по отношению к иевозмущенной среде D. За время Ат фронт волны перемещается на расстояние ПДт, а ча­ стицы газа, находившиеся в начальный момент времени то во фрош те волны, — на расстояние Е7фДт. Среда, занимавшая при т0 слой

от 0 до £/ф. Будем записывать соотношения для единицы площади фрощ*а волны. Масса среды в слое, толщина которого изменилась от ПДт до (D — Ц,) Дт, осталась неизменной:

p0DA~ = рф (D — Uф) Д т.

Таким образом, имеем уравнение сохранения массы или нераз­ рывности:

Масса вовлеченного в движение газа составляет р0/Мт, а при­ обретенное этой массой количество движения вследствие увеличе­ ния скорости от нуля до 0ф равно р0£)Дт£Уф. Это изменение коли­ чества движения произошло под действием разности давлений рф— р о за время Дт. Поэтому уравне­

Яние изменения количества дви­

52

Изменение энергии слоя произошло в результате работы внеш­ ней /?ф Силы на расстоянии 1 7 . Поэтому будем иметь уравне­ ние энергии в виде

Подставляя в последнем уравнении к = — и производя неслож­ ные преобразования, получаем

Уравнения неразрывности (5-1), количества движения (5-2) и энергии (5-3) содержат четыре величины, характеризующие фронт ударной волны: рф, рф, І7ф и D. Задание любой из этих величин однозначно определит остальные с помощью этих трех уравнений. Таким образом, между газодинамическими параметрами на фронте существует однозначная связь, выражающаяся в виде алгебраи­ ческих соотношений.

§ 5-3. Основные соотношения между параметрами на фронте ударной волны

Произведем некоторые преобразования выведенных уравнений. Определяя £7ф из уравнения (5-1) и подставляя его значение

Эти выражения дают связь между параметрами на фронте, но такая связь дана в виде неявных функций.

53