Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

Введя в

(5-3") отношение

и*

из (5-1)

н сделав

преобразова-

ния, найдем

D

+

1 _ Р

ф

ф

( К

—

рѵ _

к

Р

_

( к + 1 ) Р ф +

1)

/С—

1

Р ^ "

( К — 1 ) р ф 4 - \ К + 1 ) Ра ~ Р *

к + 1

рф н

Рм

' К

1

Уравнение

(5-6),

связывающее

р|(1

в

процессе

сжатия

в ударной волне, носит название уравнения

Погонно,

или

уравне­

ния ударной адиабаты.

Определим значение скорости распространения фронта ударной

волны D. Подставим

рфр„

из

(5-6)

в уравнение

(5-4). После

не­

сложных преобразований

о ’ - ' У р . Ч

* > + « £

(5-7)

и далее

°п = ,\ / / К +

1 .

2

(5-8)

2 р ,

легко определяются

І7ф

и

Гф:

, ,

Р ф — Po

(5-9)

Po D

'■

Р ф

Р ф Р о

'

Р ф

IC -}- 1

'

Ф

"

К

1

Р о

(5-10)

" Р ф Р о

"""

Р о

К +

1

Р ф

Ь

К ~ \

Р о

рф, D . и

С1ф

Уравнения

(5-6),

(5-8) и (5-9) дают

зависимость

1

Рф

6/^ф

р Р(\

(5-60

Рч

Р ф

+

бР о 5

£> =

3421/1 +0,822 (рф - р п);

(5-80

t f * = 8 n 0 ^ ^ ;

(5-90

Гф “

°

Рф ■

(5-100

решении различных задач,

в частности

при изучении течения

; в ударных трубах.

Найдем отношение Рф'рй. Для этого запишем уравнение (5-7)

в вице

D2 =

к + 1 „ Рп

Po

(5-70

Подставим

Po

2к

р„ Po

)

Р

к ---

ао2

и решим уравнение относительно

----Ф .

Тогда

Po

Ро

Рф _ к — 1 / 2к D2

(5-11)

~РІ~ к + \ W — 1 ' ^

Получим другое выражение для І7ф. Запишем выражение

(5-2)

следующим образом:

D U b = P * —

" •

(5-20

Из уравнения (5-7)

Po

Рф— Ро

2

(D2-

at).

(5-7")

Po

к + 1

2

2

(5-12)

U,

D - —

Ф

к - И І

D

Найдем другое выражение для — .

Запишем уравнение Гюго-

нио (5-6) в виде

рФ

Р ф

+

1

/

а

к —

Рп

, «к — 1

к — 1

\ 1

:-И

к

Г

К + \ Рф

1

к + 1

к;Р±— 1+ К ~+ Х1 I _

■ —

Ро

к +

1

к — \ рп

к

- 1

1 +

4k

(5-6">

к

1

{к -f- 1

/?ф

Подставив в уравнение

(5-6")

Рф

(5-11), получим

значение —

к — 1

РкI

Р о

оіі

(5-13)

К +

1 1+

к — I

D2

Представим выражение D через

Uф, оф и о„. Для этого запишем

уравнение (5-7) так:

D„2

Рф-Р»

,

k

Рф + ра

(5-7'">

2р„

'

ГА,

2

Из уравнений (5-2)

и (5-3")

Рф— Ро = DU,

Ф>

Рф+Ро

1

D

(Рф

Р^

2ру

к -

1

и Ф \ Рф

Р о

Подставляя полученные выражения в уравнение (5-7'"), будем

иметь

U,

1

2

2

+

I

fl-ф

CLQ

(5-14>

D = —

— 1

и *

2

связь между параметрами

С7ф, оф и а0. Для его получения

под­

ставим значение D (5-14)

в (5-12). После преобразований

и ф4 -]----- (о* + #о)

— к {к — I)2 (Оф — Оо)2 = 0.

(5-15).

Отношение давлений

—

можно выразить через отношение плот-

p.

Р»

уравнением

Гюгонио. В ре-

ностей — , связанных

между собой

Ро

,г г,

'

Рф

получим

зультате решения уравнения

(5-6) относительно •—

рф

к + 1

Р ф

к — \

Р о

(5-16')

к — 1

Т,

на основании формул (5-10)

и (5-160

Отношение температур

Л)

'

может быть записано следующим образом:

к + 1 _£о_

2*

к

1 Рііі

То

к +

1— — .

(5-1б")'

__________________ _ Р ф _

К------- 1

р „

_ Р _

( 5 - т

Р о

■

о

Р о

ном увеличении

— . Согласно уравнению (5-6) имеем

Р о

П т — =

(5-18)

р»

* _ 1

Рс

к + 1

ни при какой интенсивности

может превзойти отношение ----- г

К— I

ударной волны. Следовательно, при ударном сжатии

Рф

К + 1

(5-19)

1 < — <

к — 1

Р о

As = с ( In —- -f 'к ln

-■

= cv \n P_

P o

(5-20)

V A .

P

Po

p

Р_

р

\ Л

(5-21)

Ро

)

Р о

в (5-21), будем иметь

к — 1

> -Л

(5-22)

к

к — 1

где х = -

Ро

Так как для ударного сжатия любой интенсивности

1 < * <

к

1

л — Г

то неравенство (5-22)

равносильно неравенству

1

к + 1

< 0 ,

>’= 1 - к — 1X

—

X

\X — к — 1

или

^ "I-

1

I

I ^

Д* I

к

X

к-И

г\

/сг оо\

У = 1 — -— гX

+ -— Г

X

<0.

(5-23)

|Ѵ

1

К

1

Когда

х=1, г/= 0.

Поэтому для

неравенства

(5-23)

при усло­

вии (5-21)

необходимым и достаточным является

<

0.