Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 63

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Появление линии AB и АВ\ является результатом непрерывных слабых (звуковых) возмущений потока. Эти линии стационарно связаны с источником возмущений — острием тела — п являются границей, отделяющей невозмущенную часть потока от возмущен­ ной. Поэтому каждую из этих ли­ ний называют слабой волной млн характеристикой. При пересече­ нии такой волны частицы газа испытывают изменения всех па­ раметров. Однако в связи с ма­ лостью возмущения эти измене­ ния очень милы. В рассматри­ ваемом случае обтекания острого клина происходит незначительное

уплотнение

потока,

Давление за

волнами AB и АВ\ увеличивается на dp, а скорость

падает

на de.

В связи с этим волны AB и А В { называют слабыми волнами уплот­

нения.

потоком

тупого

угла

Рассмотрим обтекание сверхзвуковым

(рис. 3-2). В точке А возникает возмущение потока, обусловленное поворотом стеики на малый угол dö. -Вследствие малости угла dö возмущение в точке А можно считать слабым. Возмущение выра­ жается в том, что происходит некоторое расширение потока, в ре­ зультате чего давление и температура уменьшаются, а скорость увеличивается. Возмущение, возникшее в точке, сносится по потоку

подобно

тому, как это имело

место в предыдущем случае. Ли­

ния AB,

выходящая из точки

А под углом щ = arc sin /И, служит

границей между двумя различными областями потока: слева от ли­ нии AB находится невозмущен­

ная область

течения,

а спра­

 

ва от этой линии поток возму­

 

щен поворотом в точке А. Та­

 

ким образом, линия AB являет­

 

ся границей

между возмущен­

 

ной и

невозмущенной

частью

 

потока.

Подобно предыдущему

 

линия

AB

является

слабой

 

волной

или

характеристикой.

Рис. 3-3.

В дайном случае имеем сла­ бую волну разрежения. В потоке с неравномерным полем скоростей

характеристики имеют криволинейную форму (рис. 3-3).

§ 3-2. Образование волны разрежения конечной интенсивности

Перейдем к изучению конечных возмущений плоского сверхзвукового потока. Пусть вдоль горизонтальной стенки движется равномерный сверхзвуковой поток (рис. 3-4). За точкой Л газ

30

попадает в область с пониженным давлением: р„<ІРі- При этом поток отклоняется от первоначального направления в сторону по­ ниженного давления на некоторый угол б. Расширение потока про­ исходит в некоторой области. Оно состоит из ряда малых расши­

рений.

Возмущение,

создаваемое точкой А, распространяет­

ся

в

сверхзвуковом

течении

вдоль

характеристик АВ2, . . . ,

АВ„,

 

образующих

стационар­

ную

волну

разрежения. Меж­

ду

 

характеристиками

АВ\ и

АВ„

 

происходит

расширение

газа

 

от

р,

до рп. Вследствие

расширения

потока в

сторону

пониженного давления

линии

тока искривляются. Вдоль каж­

дой

 

характеристики

парамет­

ры

газа

остаются

неизменны­

ми. Углы между характеристи­

ками

и

касательными

к

лини-

ям

тока

равны a;=arcsm

1

М,

Вследствие расширения потока происходит увеличение ЛД и, сле­

довательно, углы

уменьшаются. Переход к параметрам возму­

щенного потока

Мп и р п происходит постепенно. Поэтому в пре­

делах между Л5, и АВп можно провести бесчисленное множество характеристик. Совокупность этих характеристик составляет ста­ ционарную волну разрежения конечной интенсивности.

§3-3. Уравнения волны разрежения конечной интенсивности

вцилиндрических координатах

Е

Перейдем к

количествен­

 

 

ному

описанию

волны

разре­

 

жения конечной интенсивности.

 

Обратимся к уравнениям газо­

 

вой

динамики

в цилиндриче­

 

ских

 

координатах

(1-26)

и

 

(1-27). Направим ось г в

 

точке

 

А (рис. 3-5) перпен­

 

дикулярно

направлению

дви­

 

жения.

За

начало

отсчета

 

полярного угла 0 примем на­

 

правление характеристики АВ\.

 

Вдоль

по характеристикам

бу­

 

дем откладывать радиус-век­

 

тор.

Для

рассматриваемого

 

установившегося

движения

ча­

 

стные производные по времени

31

равны нулю и отсутствует движение по оси г. Так как параметры потока вдоль характеристик остаются постоянными, то частные производные по радиусу равны нулю:

др

др

__ дсй

_ дсг

дг

дг

дг

дг — '

Частные производные по Ѳ превращаются в полные.

С учетом этих условий уравнения

(1-26)

и (1-27) можно запи­

сать в виде

 

 

 

de.

 

 

С° ~ Ж

;

 

 

<-К

1

dp

 

dB

о

' dB

'

)

 

dp

(3-2)

 

 

 

Р

6'° Ж ’•

 

■Цг = const. РЛ

§ 3-4. Определение скорости потока в волне разрежения

Решение уравнений волны разрежения (3-2)- проведем, исполь­ зуя ее частные особенности.

Представим

через скорость звука а:

 

 

 

d? _ _dp_

dp_ _

dp_

Ж

04

 

dB ~

dp

dB

a2

dB

K

’

На основании .второго

и

третьего

уравнения

системы (3-2)

с учетом уравнения

(3-3) получаем

 

 

 

 

 

 

 

с0 =

а.

 

(3-4)

Это означает, что отклонение потока в волне разрежения про-

,исходит так, что составляющая скорости, нормальная к радиусувектору, равна местной скорости звука. Это представляется физи­ чески вполне понятным, если представить себе конечную волну раз­ режения состоящей из бесконечно большого количества волн беско­ нечно малой интенсивности.

Перейдем « определению скоростей в волне разрежения. Для этого воспользуемся уравнением Бернулли в форме

сг

, а2

к +1 „2

2

1 к - 1 2 (к — 1) кр-

Используя соотношения

с2 = c"r -f с'о

и св = а,

32

будем иметь

 

к + 1

 

к — 1

 

 

 

 

■ в =

кр

СІ.

(3-5)

 

 

'

 

 

Подставим в полученное уравнение

значение сц— dcr

(первое

уравнение

системы (3-2). После преобразований получим

 

 

 

— —^ Сг

= meid,

 

(3-6)

 

 

"V /;/2

 

 

 

 

где т —

 

/ г — 1

 

 

 

 

 

 

; - Т Т

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

Интегрирование уравнения

(3-6) дает

 

 

 

 

arc sin т

С

— m{d -р ÖJ,

(3-7)

 

 

—-

 

 

 

 

^кр

 

определяемая граничными

где Ѳі — постоянная интегрирования,

условиями.

 

 

 

 

 

 

 

£

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (3-7) определяет

безразмерную скорость

Хг = аѵ* к р

как

 

 

]_

 

 

 

 

 

 

X. =

 

 

 

(3-8)

 

 

 

т

 

 

 

 

На основании первого уравненияsin /ге(Ѳсистемы+ 0j).

(3-2) получаем

 

 

—

 

сі\г

 

 

 

(3-9)

 

 

= -^ -= c o sm (ö + 0a).

Полная безразмерная скорость движения в произвольной точке волны разрежения определится выражением

X2 = X?-j-Xo = sin2ui (ö + 0|) + cos2/;; (Ѳ -j- ÖJ,

или

x2= 1 -h —^-T sin2 /тг (Ѳ + OJ.

(3-10)

К— I

Определим постоянную интегрирования Ѳі из граничных усло­

вий. Известно, что при 0= 0 Х = Хь поэтому

 

 

и

Х?= 1 +

—^j-sin 2/ ^ ,

,

(3-100

 

К

1

 

 

~ arc sin

"У

___________________— 1) .

(3-11)

Угол Ѳі определяет линию АЕ на рис. 3-5.

 

(3-10).

Таким

образом, полная скорость потока определена

3 Степанов И. Р.

33

§ 3-5. О п р е д е л е н и е в с е х п а р а м е т р о в в о л н ы р а з р е ж е н и я

Так как рассматриваемое течение изоэнтропщіеское, то по пара­ метрам невозмущенного потока и найденной скорости в волне раз­ режения с помощью полученных в гл. 2 зависимостей легко полу­ чить все параметры в волне вдоль любой характеристики, опреде­ ляемой углом 0. Параметры на последней характеристике АВ„ определяются конечным давлением р,„ до которого происходит расширение потока:

МІ = -

 

£±

 

- 1

 

(3-12)

 

 

 

Р п

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

к-\

 

 

х2 =

 

]

( p

n \

к 1

 

(3-13)

к — 1

 

U

J

J

 

Ѳл

_1_

arcsin

 

 

 

- 0 ,

(3-14)

т

I /

"

T

<х„ =

arcsin ■1

 

 

 

 

(3-15)

 

 

 

м„-

 

 

 

 

 

Угол поворота потока б составит (рис. 3-5)

л

Гк

(3-16)

О=

 

§ 3-6. Определение траектории частицы в волне разрежения

Для получения траектории частиц в волне разрежения, или. формы линии тока, запишем ее уравнение. Движение точки Л, по линии тока (рис. 3-6) означает ее переход за промежуток вре­ мени dx в точку Ао. Этот переход совершается за промежуток вре­ мени dx по радиусу-вектору со ско-

нему со скоростью с0. Этот же про­

межуток времени

выразится

через

сТ и сй в виде равных выражений:

Н

і-

j-z/fi

(3-17)

^ _dr

_

rdd

С Г

CQ

Уравнение (3-17) представляет собой дифференциальное урав­ нение линии тока в полярных координатах. Подставляя в нем отно-

шение

X

с

 

(3-8) .и (3-9), полу­

Ха

вместо — и учитывая выражения

чаем

 

 

 

 

dr_

 

 

 

 

— tg(0 0 , ) r f 0 .

(3-18)

 

 

г

 

 

in to

 

34

Смотрите также файлы