Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Колебания балки представим в виде ряда

N

 

l ( x , t ) = 2 li(x)qi(t).

(2.37)

i= —1

 

В качестве системы координатных функций можно взять формы собственных колебаний свободной однородной балки:

Ы *) = * — Ь = Ых) (0 < i ^ N ) .

Функции указанного ряда не удовлетворяют естествен­ ным граничным условиям задачи (2.35), но удовлетворя­ ют геометрическим граничным условиям (2.36) и гранич­ ным условиям на концах балки (2.34).

Из выражений для кинетической и потенциальной энергий

 

 

 

 

 

\

 

I f

,

Л <?£(*, О Р .

 

 

т = - ^ )О m ('v) L: '— a /- '“ J dx =

 

 

^

N

N

 

 

 

— —

2

S

a№(U(ih’

 

\ (2.38)

 

i~ —1 k——\

 

 

 

 

d%(x, t)

N

N

 

 

 

2

S

 

 

 

dx2

 

 

 

i——lft=—1

 

 

 

 

)

можно получить формулы для определения коэффициен-

ТО В CLihj Cik-

J

ЛИ. X

О

v d2lk(x)

'К J ..о dx.

Дальнейшее решение задачи происходит по уравнениям

(2.30) — (2.33).

91

2. Изгибные колебания неоднородной балки с упруго подвешенной в точке x = h сосредоточенной массой /л;,. Данная задача возникает при изучении взаимодействия упругих колебаний корпуса ракеты е колебаниями жидкости в баках.

Колебания балки представим в виде ряда (2.37), при­ чем в этом разложении в качестве координатных функ­ ций £Дх) примем формы собственных колебаний свобод­ ной неоднородной балки с жестко прикрепленной в точке x = h сосредоточенной массой тн. Эти формы колебаний являются решением следующей задачи:

 

d2 /

d4(x)

со2m(x)l(x) -■ 0;

 

 

dx

EJ

dx2

 

 

 

 

 

d2l{x )

П

d l

p r o l i x )

0 при x =

0; x ■

EJ

’

dx\

dx2

dx2

 

 

d ( EJ d^ x)> ) |

 

<H(x)

. 1 ( И М )

dx

dx2 / Ih- о

dx '

dx2 / h+0

-— со2mhl(h).

Колебания сосредоточенной массы ть относительно оси упругой балки характеризуются обобщенной координа­ той qK+x (t) =n (i) . Легко видеть, что система координат­ ных функций (£,•), соответствующих обобщенным коорди­ натам qu при N—^oo является полной системой, -поэтому ряд (2.37) с любой заданной точностью аппроксимирует функцию !(х, t). Функции U(x) удовлетворяют геометри­ ческим условиям задачи и естественным граничным усло­

виям на концах балки. В точке x — h функции |г(х)

не

удовлетворяют динамическим условиям задачи, но

по­

скольку эти условия относятся к типу естественных, то их удовлетворение не обязательно. Поэтому система функ­ ций {£,}, соответствующая обобщенным координатам q,\ может быть использована для приближенного решения задачи вариационным методом, если ее дополнить обоб­ щенной координатой qN+](t), описывающей перемещение массы от;, относительно оси упругой балки.

Коэффициенты ац< и сцг квадратичных форм кинетиче­ ской и потенциальной энергии определим из выражений

(2.38):

92

aih =

\m (x) h (x) lh(x) dx +

т л& (h) %h (h) ;

 

 

l

 

d%{x) d2lk(x)

 

 

 

 

Cm =

J EJ

 

 

(

(2.39)

dx2

dx2

dx\

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

й(, JV+l =

/И/||г ( h ) ;

Ojv+1, JV+l

=

m h',

 

 

Ci, JV+l =

0,

CjV+Ь JV+l =

It,

 

 

 

 

где k — жесткость пружины.

 

 

 

форм колебаний

В силу условий

ортогональности для

£г(х) коэффициенты щь= 0 и Cjft= 0,

если i^=k. После вы­

числения коэффициентов am и cm,

воспользовавшись

уравнениями

(2.30) — (2.33),

можно

определить

частоты

иформы собственных колебаний. Поясним это на приме­ ре системы, в которой учитываются только обобщенные координаты q-i, qo, q\, определяющие движение корпуса

иобобщенная координата 172= 11, определяющая относи­ тельное перемещение упруго подвешенной сосредоточен­ ной массы. К подобной задаче приходим при изучении взаимодействия первого тона колебаний корпуса ракеты

с колебаниями жидкости в баках.

Согласно (2.39) коэффициенты уравнений имеют сле­

дующий вид:

 

 

 

 

 

a-i-i — т\ а^2 — а2_1 = mh\ а0о =

/;

а02 =

а2о =

 

 

mh(h — xц.т);

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

ап =

Jm (х)

(х) dx +

mhl\ (h); а12 =

a2l =

mhh (h);

 

о

 

 

 

 

 

 

а22 = mu',

с22= k,

Сц —

 

2

 

 

 

| dx.

Здесь

т — масса ракеты (включая /гц,);

 

 

 

/ — момент инерции ракеты

относительно попе­

 

речной оси, проходящей через центр тяжести.

Уравнения колебаний рассматриваемой системы бу­ дут следующими:

93

a-i-iq-i +

a -l2qz =

)

 

0;

 

floo^o +

a02<?2 = 0;

 

 

 

 

}

(2.40)

#11^1 +

Й12^2 + cuqi =

0;

 

Й2—1<7—1 “ Ь «20^0 +

Й21<71 ” Ь Й22^2 +

C22^2 = 0 .

 

Выражая из первых двух уравнений ускорения q -{ и с/0

через q2 и подставляя полученные соотношения в четвер­ тое уравнение, 'получим систему уравнений следующего вида:

 

anqi +

Cu<7i + al2q2 =

0;

 

 

 

 

 

(2.41)

 

Й2Й/1 +

Й22^2 +

c22q2=

0,

где

.

 

 

 

 

 

 

2

 

2

*

/

,

<3-12

 

<302

Й22 =

<322 \

1

-----------------------------------------

 

 

 

'

 

< 322^ -1

-1 Й22<300

Уравнения (2.41) есть уравнения колебаний в системе с

двумя степенями свободы. Величины «1 = У Сц/йц, п2 =

= У^гг/й* являются парциальными частотами системы;

первая соответствует частоте упругих колебаний корпуса при «замороженной» жидкости, вторая — частоте коле­ баний жидкости в баке при учете движения ракеты как жесткого тела. Следует отметить, что частота колебаний жидкости в неподвижном баке несколько меньше, чем п2

и равна У с22/а22.

Система имеет две частоты собственных колебаний oil и о>2, которые порождаются парциальными частотами изгибных колебаний корпуса и колебаниями жидкости в баке. Они определяются из уравнения частот системы

(2.41), которое

имеет вид

 

о)4( 1

— в2) —

+ п2) + п\ п2 = 0,

94

где

 

 

 

--- &12/ U[lU22.

 

Из первого уравнения (2.41) для частоты оч имеем

 

Чг

ап (ni — wi)

(2.42)

— =

------------г

4i

« 12Ш2

 

Используя первые два уравнения системы (2.40), полу­ чим

Ч —1

2

2

(/о

2

2

0 —120и ( o i —

c o i )

О02О11 ( щ — m i )

<?i

o_i_ia12

со2

Ц\

O00O12

to2

(2.43)

Выражения для q~\lqu qolqu 42/41 представляют собой элементы собственного вектора у* (2.31).

Форму собственных колебаний корпуса, соответствую­

щую частоте 04, обозначим через Qi (jc)

и

определим из

уравнения вида (2.33). Так как S-i = 1, £0=

(х—хц.т), £1 =

= |i(*), то

 

 

 

Qi (х) = Si (*) +

+ — (х -

х'ц.т) .

q1

q1

 

 

Если представить перемещение упруго подвешенной со­ средоточенной массы относительно оси корпуса в виде <72(0 =r]i<7i (t), то для частоты ол

(111

2

2

«1 — (Oi

= —

----- ;—

*

&12

СО,

 

 

1

 

Абсолютное перемещение упруго подвешенной сосредо­ точенной массы при частоте coi

qi{t) [Qi(A) + rji]-

Аналогично можно получить для частоты собственных ко­ лебаний со2 выражения, подобные (2.42), (2.43), затем форму собственных колебаний Q2(x) и величину т]2.

Возможные формы колебаний для одного частного примера приведены на рис. 2.4. Если «i>rt2, то на часто­ тах упругих колебаний корпуса абсолютное перемещение упруго подвешенной массы противоположно перемеще-

95

Смотрите также файлы