Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Обобщенным координатам qi(m<Ci^n) соответствуют раздельные изгибные колебания консольного крыла fi(z), т. е. изгибные колебания крыла при неподвижном фюзе­ ляже. В этом случае

fi = fi(z), cpi(z) = 0, |i(x) = 0 ( m < i < ^ n ) .

Обобщенным координатам qi(n<i-?sfN) соответствуют раздельные крутильные колебания консольного крыла. Для этой группы обобщенных координат функции

fi(z) = 0, срДг) = ср{, li{x) = 0 (п < г '< N).

Таким образом, система координатных функций, с по­ мощью которых описываются перемещения упругого са­ молета, состоит из четырех групп функций, соответствую­ щих движению самолета как жесткого тела, изгибным ко­ лебаниям фюзеляжа, изгибным и крутильным колебаниям крыла. Из самого принципа выбора этих функций сле­ дует, что они обладают свойством полноты, как формы колебаний различных частей самолета, удовлетворяют геометрическим граничным условиям задачи и части си­ ловых граничных условий. Число координатных функций N, которое необходимо учитывать в расчете, определяется числом форм и частот собственных колебаний, которое необходимо получить с достаточной степенью точности. Например, для определения первых 26 тонов симметрич­ ных колебаний самолета В-52 использовалось 40 коорди­ натных функций [56].

Формулы для коэффициентов aih в выражении кине­ тической энергии в общем случае можно записать в виде

101

При вычислении коэффициентов следует учитывать усло­ вия ортогональности, которые позволяют упростить общее выражение для коэффициентов а,^. Например, при ЬФИ все 0^ = 0, если оба индекса i и k относятся к одной из че­ тырех групп координатных функций.

Коэффициенты потенциальной энергии Cik могут быть определены более просто. Во-первых, легко показать, что все с,й= 0 при i=^=k, а коэффициенты си можно опреде­ лить через парциальные частоты колебаний

2

С и — C t u t l i .

Решая матричные уравнения (2.30) — (2.32), можно определить собственные частоты и собственные векторы Yt, а затем по формулам (2.33) найти формы собственных колебаний.

Рассмотрим простой пример. Если частота парциаль­ ных изгибных колебаний крыла значительно ниже других парциальных частот колебаний упругой конструкции, то для вычисления частоты и формы первого тона собствен­ ных колебаний самолета можно использовать следующий алгоритм. Пусть изгибным колебаниям консольного кры­ ла по форме fi(z) соответствует обобщенная координата

(фх(г) = 0, ii(x )= 0 ). Тогда дифференциальные уравне­ ния для определения обобщенных координат с учетом только одного тона изгибных колебаний крыла имеют вид

+ a-ndi = 0;

aootfo + aoidi — 0;

cii-iQ-i + Яю<7о + aiidi + Cu<7i = 0.

102

Решая эту систему уравнений, легко определить частоту собственных изгибных колебаний крыла совместно с же­ стким фюзеляжем самолета

Рис. 2.6. Форма собственных колебаний самолета с учетом изгиб­ ных деформаций крыла

Соответствующая этой частоте форма колебаний опреде­ ляется функциями

Вид этих функций показан-на рис. 2.6.

103

2 .4 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМ И ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ПРОГОНКИ

Для расчета форм и частот собственных колебаний широко используется метод прогонки (метод начальных параметров). Идея этого метода известна давно, ее впер­ вые применил к расчету крутильных колебаний Хольцер [59J. Однако численная реализация этого метода требует применения ЦВМ, поэтому только в последнее время он начал широко использоваться в практике расчетов [8, 24, 32].

Основные идеи метода прогонки в задаче определе­ ния частот и форм собственных колебаний можно пояс­ нить на примере изгибных колебаний свободной балки с упруго подвешенной сосредоточенной массой. Как ука­ зывалось, данная задача сводится к следующей краевой задаче:

массы (x=h) должны выполняться следующие условия:

Уравнения изгибных колебаний балки сведем к системе четырех уравнений первого порядка. Для этого введем новые переменные:

104

Первое уравнение (2.46) эквивалентно следующей сис­ теме уравнений:

Предположим, что частота колебаний а известна. Тогда система уравнений (2.49) будет иметь известные коэф­ фициенты, а величина ц может быть выражена через иj

С учетом обозначений (2.48) граничные условия задачи могут быть представлены в следующей форме:

ы3(0) = 0; w3(/) = 0; w4(0) = 0; и4(/) = 0.

Кроме того, при х = Л:

Ui {h —0)= ui (h+ 0);

Щ(h— 0) — и4(h4 -0)= —

/г2—со2.

105

Если при заданной со, можно было бы задать начальные значения функций (начальные параметры) «ДО), то ре­ шение задачи (2.49) было бы определено однозначно. Определение решения по заданным начальным значени­ ям в теории дифференциальных уравнений называется задачей Коши, поэтому в некоторых работах метод про­

« 4(/)= 0 . Данная задача разрешима только для тех зна­ чений со, которые являются частотами собственных коле­ баний системы.

Система дифференциальных уравнений (2.49) имеет четыре линейно-независимых частных решений н,- (£ = 1,

Для интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.49) при фиксированном значении со, на­ чальных условий (2.52) и соотношениях (2.50) можно воспользоваться любым стандартным методом численно­ го интегрирования системы, например, методом РунгеКутта.

Общее решение системы (2.49) может быть представ­ лено в виде

« — • Ciui -f- C2U2 ~Ь C3H3 Ц- С4Й4

или в скалярной форме для компонента вектора

иг — CiUn -(- C2U12-(- C3Mj3-(- C4M;4.

Здесь иа означает г-ю компоненту вектора й в k-ом частном решении. С учетом граничных условий м3(0 )= 0

и «4(0) = 0 постоянные С3= 0, С4= 0, и общее решение име­ ет вид

106