Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

су cos%. Здесь Су — производная коэффициента подъем­ ной силы по углу атаки, который определяется относи­ тельно оси жесткости. Получим

РУ2

При составлении уравнений возмущенного движения упругих летательных аппаратов необходимо учитывать аэродинамические силы, действующие на корпус ракеты, или фюзелях самолета, которые обычно являются тела­ ми вращения. Как известно, теоретическое значение ве­ личины погонной подъемной силы Y(х) для тела враще­ ния, находящегося под углом атаки а:

где S = S (x ) — площадь поперечного сечения тела. Ука­ занное соотношение удобно представить в следующей форме:

140

Из (3.23) следует, что наибольшее значение величи­ на погонной подъемной силы имеет в местах резкого рас­ ширения корпуса.

Пусть тело вращения, например корпус ракеты, со­ вершает упругие колебания, при которых перемещения упругой линии равны £(х, t). Местный угол атаки а(х) в произвольном сечении корпуса

дЦх, О 1 dj(x,t)

а(х, t) —

дх V dt

Для вычисления аэродинамических сил при упругих де­ формациях воспользуемся формулой (3.24), понимая под а местный угол атаки. Тогда

Аналогичную формулу можно получить для погонной подъемной силы на упругом фюзеляже самолета. Влия­ ние интерференции фюзеляжа с несущими поверхностя­ ми может быть частично учтено, если использовать экс­ периментальные значения с “ (л:).

В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что приведенные в данном разделе формулы для аэродина­ мических сил получены при достаточно грубых предпо­ ложениях и, строго говоря, носят качественный характер. Однако в ряде случаев, особенно когда можно использо­ вать экспериментальные данные, аэродинамические силы определяются по этим формулам с точностью, достаточ­ ной для технических приложений.

3.2. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО САМОЛЕТА

Вывод уравнений возмущенного движения крылатого летательного аппарата в потоке воздуха рассмотрим на примере самолета со стреловидным крылом достаточно большого удлинения. Общая схема представлена на рис. 1.4 и 1.9. На крылё самолета в точке z = h располо­ жен сосредоточенный груз массой тн, имеющий вынос он и обладающий моментами инерции JZ'z' и JX'x'- Этим сосредоточенным грузом может быть гондола двигателя,

141

подвесной бак и т. д. Полученные ниже результаты мож­ но обобщить для нескольких сосредоточенных грузов. Для определенности будем считать, что органом управ­ ления самолета является подвижной стабилизатор.

В качестве невозмущенного движения самолета при­ мем установившийся горизонтальный полет со скоро­ стью V. Будем рассматривать возмущенное движение в плоскости тангажа. В этом случае нужно учитывать только симметричные упругие колебания самолета.

При составлении дифференциальных уравнений воз­ мущенного движения упругого самолета необходимо учитывать:

а) аэродинамические силы, действующие на несущие поверхности (крыло, стабилизатор) и фюзеляж;

б) силы от органов управления; в) силы конструктивного демпфирования;

г) силы от порывов ветра, земного притяжения и т. д. С учетом рассмотренного возмущенное движение уп­ ругого самолета определяется следующими тремя урав­

нениями в частных производных: уравнением изгибных колебаний крыла

1 42

(3.28)

дх

В этих уравнениях Y(z), M(z), Y(х) — погонные аэро­ динамические нагрузки: подъемная сила крыла, момент вокруг оси жесткости крыла, подъемная сила фюзеляжа; Fmi(z), Mmi(z), Fim(x) — внешние силы и моменты, дей­ ствующие на крыло и фюзеляж от ветра и земного при­ тяжения; Фст, -Мет* ■— сосредоточенные силы и момент, действующие на фюзеляж от половины стабилизатора; хСт — координата оси вращения стабилизатора. Вели­ чины

представляют собой силы и моменты конструктивного демпфирования при изгибных и крутильных колебаниях крыла и изгибных колебаниях фюзеляжа. Они получены на основе известной гипотезы Фогта [37], согласно кото­ рой напряжение линейно зависит не только от деформа­ ции, но и от ее скорости.

Функции y(z, t), cp(z, t), l(x, t) должны удовлетворять граничным условиям на концах балок, схематизирующих стреловидный самолет вида, ( 1.11), условиям сопряжения в местах скачкообразного изменения жесткостей (1.18), условиям в местах сочленения крыла и фюзеляжа ( 1.21), (1.22), (1.23), условиям скачков сил и моментов в точ­ ках крепления сосредоточенного груза на крыле (1.36). Поскольку сосредоточенные силы и моменты от органа управления с помощью дельта-функции учитываются непосредственно в уравнении (3.28), то никаких дополни­ тельных условий на функцию £(х, 0 налагать не нужно.

Пусть на самолет действует ветер, который дает до­ полнительное приращение угла атаки aw. При вычисле­ нии аэродинамических сил от ветра будем пренебрегать нестационарными эффектами и изменением величины aw

1 43

по длине и размаху самолета. При этих предположениях силы от ветра и земного притяжения можно предста­ вить в следующем виде:

а

Mm{z) = - у — Су (г) ( у — у ) b2(z) aw+ cv

(3.29)^

Для определения Фст и Мст* составим уравнения возмущенного движения управляемого стабилизатора. Воспользуемся результатами, полученными в первой главе. Будем считать, что ось вращения стабилизатора перпендикулярна оси фюзеляжа Ох. Обозначим через т ст, Ост, Jcт — соответственно массу, расстояние от оси вращения до центра тяжести, момент инерции управляе­ мого стабилизатора. Тогда уравнение малых отклонений б управляемого жесткого стабилизатора вокруг оси враще­ ния можно представить в виде

где d 8*8б — момент трения.

Вертикальное перемещение оси стабилизатора равно £(*ст, t), угол поворота стабилизатора относительно ско­ рости набегающего потока б — д%(х, t)/dx|хст. Аэроди­ намические силы и моменты, действующие на стабили­ затор, можно вычислить по формулам (3.14), (3.15), если положить в них

XСТ

1 44

Д л я с в е р х з в у к о в ы х с к о р о с т е й п о л у ч и м

где величины c “ , b, xF относятся к стабилизатору.

Величина Ф0т равна сумме сил инерции и аэродина­ мических сил, действующих на стабилизатор

При вычислении Фст мы опускаем инерционные силы,

пропорциональные ускорению фюзеляжа |(хст), так как они учтены в уравнении (3.28) членом m$(x)d2'g{x,t)dt'1.

Сосредоточенный момент Мст*, действующий со сто­ роны стабилизатора на фюзеляж,

Мст = kr (г6 + Ушт) + dw8

может быть определен из уравнения (3.30).

Одним из приближенных методов решения получен­ ной системы уравнений в частных производных является сведение ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Наиболее часто для этого используют метод Бубнова — Галеркина.

Упругие перемещения конструкции, как обычно, представляем в виде следующих разложений:

1 45