Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Если пренебречь динамикой органа управления, т. е. в уравнении (3.34) принять ajb=djs —О, то уравнения возмущенного движения можно представить так:

Ад + (Д + Д *)7 + ( В + С ) д = Р - $ Ь к

где

<7-i b—is <7о Ьоь

<7i Ьп Ьп

<7iV Ьыь

При анализе возмущенного движения самолета как жесткого тела вместо переменных q~\ и <70 используют величины угла атаки а и угловой скорости <вг, которые равны

следовательно,

q-1 = V (q0— а ), q- 1 = V(coz — а), q0 — со*. (3.38)

Принимая во внимание вид координатных функций, соответствующих обобщенным координатам q- 1 и <70, не­ посредственным вычислением можно показать, что

151

Подставляя (3.38) в (3.34) и (3.35) и учитывая соотно­ шения (3.39), уравнения возмущенного движения упруго­ го самолета представим в виде:

— аь- i V ct— db—iVa -\ -a^z-f- (an-iV -f-^so) mz~\~

N

(йгi41“Ьdbiq1~\-ЬыЯi ) ®8sS —[—(cfse—йГss) 8-f-

/-1

Система уравнений возмущенного движения упруго­ го самолета в форме (3.40) — (3.43) имеет определенное преимущество перед уравнениями (3.34), (3.35), так как порядок системы понижается на два. Кроме того, харак­ теристическое уравнение системы (3.34) и (3.35) имеет два нулевых корня, что соответствует безразличному положению равновесия самолета по высоте (g_i) и углу тангажа (q0). Наличие кратного нулевого корня вызыва­ ет определенные затруднения при численном решении системы, например, при вычислении собственных значе­

152

ний и форм колебаний в потоке воздуха. Система урав­ нений (3.40)— (3.43) свободна от этого недостатка.

Большое значение имеет обеспечение устойчивости упругого самолета с автоматической системой стабили­ зации при наземных испытаниях. Такими испытаниями могут быть определение собственных частот и форм ко­ лебаний, проверка функционирования системы управле­ ния и т. д. Для математического описания процессов, происходящих при таких испытаниях, определения сте­ пени устойчивости системы, необходимо иметь уравнения движения упругого самолета при наземных испытаниях. В отличие от полетных условий здесь V—0, и на движе­ ние самолета наложены дополнительные связи, обуслов­ ленные подвеской или контактом самолета с землей.

Чтобы приближенно воспроизвести условия свободно­ го полета, обычно используют специальную упругую под­ веску самолета, которая слабо искажает собственные частоты и формы упругих колебаний, если собственные частоты колебаний самолета как жесткого тела на упру­ гой подвеске (вертикальное перемещение и тангаж) много меньше частот упругих колебаний. Пусть эти час­ тоты соответственно co_i и сооЭффективные жесткости подвески можно определить по формулам

Тогда уравнения движения упругого самолета при на­ земных испытаниях будут следующими:

При теоретических исследованиях колебаний, возни­ кающих при динамических испытаниях самолета, в ка­ честве внешних нагрузок следует учитывать различные воздействия, прикладываемые к самолету для возбуж­ дения упругих колебаний. Будем считать, что на самолет действуют силы Pk(t), приложенные на крыле в сечении z = zh на расстоянии оь от оси жесткости, и силы Pi(t),

153

приложенные на фюзеляже в точке x —Xi. Используя рассмотренную выше методику вычисления правых час­ тей уравнений, найдем

Уравнения возмущенного движения упругого самоле­ та получены для аппарата конкретной схемы. Используя приведенную методику, можно получить уравнения дви­ жения самолета, если на крыле имеется несколько сосре­ доточенных грузов или вообще самолет имеет несколько упругих несущих плоскостей. Для этой цели достаточно в выражениях для коэффициентов ад-, djit Ьц и т. д. про­ вести суммирование по всем сосредоточенным грузам или несущим плоскостям.

Для применения метода Бубнова — Галеркина необ­ ходимо иметь дифференциальные уравнения в частных производных и систему координатных функций, удовле­ творяющую граничным условиям. Однако для некоторых летательных аппаратов, например самолета с треуголь­ ным крылом, дифференциальные уравнения упругих ко­ лебаний в частных производных отсутствуют и поэтому воспользоваться методом Бубнова — Галеркина невоз­ можно. Уравнения возмущенного движения в этих слу­ чаях можно получить классическим методом Лагранжа.

Полагаем, что упругие колебания летательного аппа­ рата, например самолета с крылом достаточно большого удлинения, можно представить в виде

где {fi(z), фДг), | Д х)}— система линейно независимых функций;

qi(t) — обобщенные координаты, являющиеся функ­ циями времени.

Указанные соотношения означают, что упругий само­ лет, являющийся распределенной системой, рассматри­ вается как система с конечным числом степеней свободы.

154

Каждой i-й степени свободы соответствует определенное распределение перемещений, которое характеризуется функциями fi(z), фг(2), 1г(х). Трудно дать какие-либо общие рекомендации по выбору числа и вида функций {fi(z), q>i(z), обеспечивающих достаточную точ­ ность решений. Многое здесь зависит от опыта и интуи­ ции исследователя. Чем ближе эти функции к формам собственных колебаний, тем точнее решение. Можно ис­ пользовать и формы колебаний летательного аппарата, определенные экспериментальным путем, однако точ­ ность их определения должна быть достаточной для расчетов.

Рассмотрим метод Лагранжа на примере составления уравнений возмущенного движения упругого самолета со стреловидным крылом. Для простоты изложения бу­ дем пренебрегать конструктивным демпфированием и динамическими характеристиками органа управления.

Составим выражения для кинетической Т и потенци­ альной П энергии системы:

NN

Т— 2 2 2 t=—1 з=—1

N N

Коэффициенты ац и сц в этих формулах имеют тот же смысл и определяются по формулам (3.36), (3.37), полученным с применением метода Бубнова — Галер-

кина.

Система дифференциальных уравнений для обобщен­ ных координат qi{t)

Здесь Qi обобщенные силы, соответствующие г'-й обоб­ щенной координате. Как известно [15], обобщенная сила Qi может быть определена из выражения

1 5 5

в котором бЛг — элементарная работа всех внешних сил на виртуальных перемещениях, вызванных виртуальным приращением bqi i-й обобщенной координаты.

Внешними силами являются аэродинамические силы, действующие на самолет: погонная подъемная сила на крыле Y(z), погонный момент вокруг оси жесткости на

где 6уи 6li, 6q>i — виртуальные перемещения оси жест­ кости крыла, фюзеляжа и углов закручивания крыла, обусловленные виртуальным приращением только одной i-й обобщенной координаты

и подставляя выражения Г, П и Qi в уравнения Лагран­ жа II рода, получим уравнения возмущенного движения в виде

156