Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Рассмотрим ряд приближенных методов определения корневых траекторий. Пусть нуль и полюс передаточной функции, которые характеризуются координатами vo+ /(Do и v*+ /(й*, расположены близко друг к другу, по сравнению с расстоянием до других нулей и полюсов

Рис. 4.20. Годограф, соединяющий близкие нуль и полюс

(рис. 4.20). Траектория, замыкающая рассматриваемые нуль и полюс, расположена в ограниченной области пло­ скости S, поэтому вклад остальных нулей и полюсов в фазовый угол у и коэффициент усиления % можно счи­ тать неизменным для всех точек рассматриваемой траек­ тории.

Для произвольной точки корневой траектории нечет­ ного годографа имеем

Р -J- у — и = ф я + 2лк,

231

где

Подставив в это соотношение значения tg a, tg j3, полу­ чим следующее уравнение корневой траектории:

2 sin у

с центром в точке 0, координаты которой

На рис. 4.20 приведены некоторые геометрические соот­ ношения, определяющие расположение окружности и ее параметры. Часть окружности между нулем и полюсом является траекторией нечетного годографа, а другая часть, показанная пунктиром, является траекторией чет­ ного годографа.

Каждой точке траектории соответствует определен­ ный коэффициент усиления автомата стабилизации. Дей­ ствительно, на корневой траектории должно выполнять­ ся соотношение

kACk

2 3 2

Здесь Ri и R2 расстояния от рассматриваемой точки траектории до нуля и полюса, которые данная траекто-

г

рия соединяет; « — — динамический коэффициент

Полученные приближенные формулы в дальнейшем будут использованы для анализа устойчивости замкну­ тых систем при наличии слабо демпфированных нулей и полюсов передаточной функции объекта регулирования.

Практический интерес представляют также прибли­ женные формулы, позволяющие определить изменения корней замкнутой системы в зависимости от &ас- Эти формулы могут быть получены из следующих простых соображений.

Из характеристического уравнения корневого годо­ графа и уравнения (4.71) следует, что

~nk

Символ П показывает, что в произведении опущен сомно-

г=1

житель, соответствующий i= k. Взяв величину, обратную величине, определяемой формулой (4.76), найдем

233

т

Величина ds/dkAc на комплексной плоскости 5 может быть представлена вектором, выходящим из полюса и совпадающим с касательной к корневой траектории.

Для корней замкнутой системы, которые лежат на траектории, выходящей из k-ro полюса, имеем

Следует отметить, что формулы (4.78) имеют приемле­ мую для практических расчетов точность только при сравнительно небольших значениях kAc, в то время как формула (4.73) может быть использована во всем диапа­ зоне kAc, представляющем практический интерес. При некоторых предположениях о динамических свойствах объекта регулирования формулы (4.78) могут быть уп­ рощены.

Пусть k-й полюс передаточной функции разомкнутой системы является слабо демпфированным, тогда для при­ ближенного определения величины ds/dkAc\s»h по форму­ ле (4.77) можно использовать значение s**

1

= Ф0**)W0(j\k) v.ft.

Правая часть этого выражения пропорциональна частот­ ной характеристике разомкнутой системы, т. е.

234

Ф(/со) 1F0(/cd)1= ЛАС(со) Л0(со) exp /[0 Ас(ю) + 0о(со)],

(4.79)

где Лас (со), Л0(со) — амплитудно-частотные характери­ стики;

Оас (со), 0о(со) — фазо-частотные характеристики ав­ томата стабилизации и объекта регулирования соответственно.

Учитывая соотношение (4.79), формулам (4.78) мож­ но придать следующий вид:

Из первой формулы (4.80) определим критическое зна­ чение (&а с ) кр, при котором корневая траектория, выходя­ щая из й-го полюса, окажется на мнимой оси (v = 0)

______________1

(^лс) кр ---

Лас(сО*а)Ло(<Й*а) COS[0AC(cO*ft) + 00(соас) ]

(4.81)

Рассмотрим частный вид формулы (4.77) для случая, когда все нули и полюсы передаточной функции объекта регулирования расположены на мнимой оси плоскости S. При этих условиях

/ = 1

В этой формуле в произведениях опущены члены, соот­ ветствующие &-му нулю и полюсу Используя понятия частотной характеристики автомата стабилизации, полу­ чаем

2 3 5