Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Передаточная функция упругого самолета на основания (4.65) может быть представлена в виде

Первый множитель есть передаточная функция, обус­ ловленная степенями свободы q~\ и до с учетом взаимо­ действия с упругими колебаниями крыла. Множитель s в знаменателе (4.66) объясняется тем, что рассматривае­ мая передаточная функция есть q0(s)/6(s), тогда как пе­ редаточная функция (4.60) представляет coz(s)/6 (s). Вто­ рой множитель (4.66) представляет отношение много­ членов второго порядка, обусловленных изгибными колебаниями крыла.

С точки зрения требований к фазо-частотным харак­ теристикам системы стабилизации большое значение имеет взаимное расположение нулей и полюсов изгибных колебаний крыла (сош и o*i) Для его оценки фор­ мулировку задачи можно упростить.

Будем рассматривать взаимодействие только степе­ ней свободы qo и q\ и пренебрежем демпфирующими си­ лами. С учетом этих упрощений уравнения возмущенно­ го движения приобретают вид

^oo^o+ ^oo^o+ ^oi^i + ^oi^i— ~Ьоь^\

(4.67)

0 1 0 ^0 + +o‘7o + aii<7i + + n + bn) # 1 = 0.

Коэффициенты связи между различными степенями свободы можно представить как явные функции конст­ руктивных параметров и режимов полета

bji = bjiV2-

о

223

t

bio — — p cos % j\ Cy bfi (z) dz\

0

l

aQi = aio = 2 j" m (z) fi (z) (хц.т— z sin % — о cos %) dz.

о

Передаточная функция упругого самолета, полученная на основе уравнений (4.67), имеет вид

Полюса передаточной функции co*0 и co*i являются кор­ нями следующего уравнения:

/Д й )) = ( — (О2 ------ — ) ( — (D2 + 0)01) —

'#00 ' •

------------- (— йоЮ)2 + boi) (— #юь)2 + bio) = 0.

# 11# оо

Заметим, что нуль передаточной функции o)oi совпадает с парциальной частотой изгибных колебаний крыла в потоке воздуха. Поскольку Ьц = У2Бц>0, то с ростом скорости полета значение o)0i возрастает. С ростом ско­ рости обычно возрастают так же и величины со*о и ю*ь но практически всегда выполняется условие со*о<&>*1.

Рассмотрим, как с ростом скорости изменяется вза­ имное расположение величин со*о, со*ь ю о ь Для этого подставим в F (со) значение co = cooiПолучим

224

В том случае, когда центр тяжести самолета распо­ ложен вблизи начала координат, т. е. точки пересечения балок, схематизирующих крыло и фюзеляж, то при до-

Рис. 4.18. Распределение ну­ лей и полюсов на комплекс­ ной плоскости S, корневые траектории для гипотетиче­ ского упругого стреловид­ ного самолета с демпфером

тангажа

статочно больших углах стреловидности % коэффициенты G o i = a i o < 0 . Коэффициенты & ю < 0 и & ш < 0 , но по абсолют­ ной величине |Ью| |boi1•

Выражение / 7(cooi) при указанных условиях можно представить в следующем виде:

225

i

^01

F(co0i) =

йцй00

Сомножитель (— oooi + boi/aoi) обычно всегда меньше ну­

ля, следовательно, F (ыoi)<0 и co*o<o)oi<®*i, если

Характерная скорость V*, при которой oooi2 = ^ю/аю, определяется из выражения

При скоростях полета V<V* полюсы передаточной функ­ ции разделены нулем, т. е. co*o<cooi<co*i, а при V>V*

(|)*0<(0*1<(001.

Приведенные качественные соображения подтвержда­ ются непосредственными расчетами коэффициентов пере­ даточной функции (4.66) На рис. 4.18 приведено распре­ деление нулей и полюсов передаточной функции при различных числах М полета гипотетического стреловид­ ного самолета.

Таким образом, в зависимости от режима полета са­ молет как объект регулирования может представлять структурно устойчивую систему при V<V* и структур­ но неустойчивую систему при У>У*.

Легко видеть, что имеется вполне определенная ана­ логия между динамическими характеристиками ракеты с жидким наполнителем и характеристиками стреловид­ ного самолета, определенными с учетом изгибных коле­ баний крыла.

4.7. УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Настоящая книга посвящена в основном исследова­ нию характеристик упругого летательного аппарата как объекта регулирования и не преследует цель детального изучения задачи устойчивости возмущенного движения

2 2 6

замкнутой системы. Но задача обеспечения устойчивости движения с помощью автоматической системы стабили­ зации диктует определенные требования к свойствам передаточной функции упругого летательного аппарата и к точности определения параметров этих функций. Поэтому авторы считают необходимым изложить основ­ ные идеи решения этих задач.

Методы исследования устойчивости замкнутой систе­ мы упругий летательный аппарат — система стабили­ зации чрезвычайно многообразны. Здесь будем исполь­ зовать методы корневого годографа и частотных харак­

щенного движения аппарата.

Если все ReSj<0, то возмущенное движение являет­ ся асимптотически устойчивым. Если хотя бы для одного корня имеет место Re Si>0, то возмущенное движение является неустойчивым. Если Re Si= 0, то система нахо­ дится на границе устойчивости.

В дальнейшем (для простоты) будем рассматривать

где kAc, Ф («) — коэффициент усиления и передаточная функция автомата стабилизации.

Например, передаточная функция автомата угловой стабилизации ракеты может быть приближенно пред­ ставлена в виде

где

227

Используя общее выражение передаточной функции объекта регулирования (4.23), характеристическое урав­ нение (4.69) можно представить в виде

1 ~Ь &АсФ(•$) [ Wy.T(s) И^у.у (S) Ч^у.ж (s) \Fyfi(s) ] = 0.

Основные положения метода корневого годографа можно пояснить следующим образом. Представим пере­ даточную функцию разомкнутой цепи объект регули­ рования — автомат стабилизации в виде

5*г и Soi являются полюсами и нулями передаточной функции разомкнутой цепи. Коэффициенты при старших членах полиномов числителя (порядка т) и знаменателя (порядка п) есть Ът и ап. Порядок знаменателя в физи­ чески реализуемых системах больше порядка числителя, т. е. п>т . Если — Ьт/ап>0, то корневой годограф назы­ вается нечетным, а при — Ьт/ап< 0 — четным.

Корни характеристического уравнения замкнутой системы зависят от величины коэффициента kAc- При изменении коэффициента kAc в пределах О^&ас^ 00 они образуют некоторые траектории (годографы) на ком­ плексной плоскости 5, причем корневые траектории начи­ наются в полюсах s*i и оканчиваются в нулях Soi переда­ точной функции разомкнутой цепи либо уходят в беско­ нечность.

Рассмотрим произвольную точку комплексной плос­ кости s и проведем радиусы-векторы из нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой цепи в эту точку. Углы Pi и а,{ этих векторов с действительной осью будем называть фазовыми углами. Чтобы точка s принадлежа­ ла корневой траектории, необходимо и достаточно выпол­ нение следующих условий:2

(ш) (п)

2 2 8

для нечетного корневого годографа и

для четного корневого годографа.

Угол выхода корневой траектории из произвольного полюса, например s*b (рис. 4 19) для нечетного корнево­ го годографа [44, 45]

Рис. 4.19. Корневые траектории замкнутой системы:

s%i, som ~~ полюсы и нули передаточной функции; a (3/ — фазовые углы по­

люса и нуля; а — угол наклона асимптомы

2 2 9

для четного корневого годографа

пт

i=2 1=1

В этих формулах под а, и [3* следует понимать фазо­ вые углы векторов, проведенных из всех полюсов и нулей передаточной функции разомкнутой цепи в первый полюс.

Аналогичные соотношения имеют место для углов входа корневой траектории в нуль передаточной функции

пт

При ^ас-^-оо(п — т ) корневых траекторий уходят в бес­ конечность. Асимптоты этих траекторий расположены под углом

± я 2я&

для нечетного и четного годографов соответственно. Нули и полюсы передаточной функции разомкнутой

цепи могут быть как действительными, так и комплексно­ сопряженными. Корневые траектории на действительной оси для нечетного годографа располагаются на тех уча­ стках, где справа находится нечетное количество нулей и полюсов (см. рис. 4.19). При слиянии двух корней они становятся комплексно-сопряженными, и корневая тра­ ектория пересекает действительную ось под прямым углом. Для четного корневого годографа траектории рас­ положены на тех участках действительной оси, где спра­ ва либо расположено четное количество нулей и полю­ сов, либо они вообще отсутствуют.

230