Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Из анализа полученного выражения можно устано­ вить, что угол выхода корневой траектории из k-то полю-

той в выражении (4.82) положительный, я (ха = -^- +

+ 0Ac(®*ft), если названный множитель отрицательный.

Рассмотрим теперь ряд типовых задач устойчивости возмущенного движения летательного аппарата. Начнем с анализа устойчивости возмущенного движения ракеты как твердого тела. Динамические характеристики авто­ мата стабилизации будем считать заданным передаточ­ ной функцией (4.70). Приняв /г*т= 0, получим характери­ стическое уравнение замкнутой системы в виде

Здесь &ас —

Рассмотрим наиболее типичный случай, когда объект регулирования статически неустойчив, т. е. ю*т2<0. Рас­ пределение нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы в верхней полуплоскости 5 и вид типичных корневых траекторий при увеличении коэффи­ циента £Ас приведен на рис. 4.21. Разомкнутая цепь име­ ет два полюса на действительной оси, один из которых расположен в правой полуплоскости, и комплексно-сопря­ женный полюс, соответствующий передаточной функции автомата стабилизации. Для разомкнутой цепи число полюсов на три превышает число нулей, поэтому асимп-

2зе

тоты корневых траекторий при kAc-+°° имеют наклон

±60°, 180°.

Корни замкнутой системы, находящиеся на траекто­ риях, которые выходят из полюсов передаточной функ­ ции твердого тела и полюсов передаточной функции ав­ томата стабилизации, будем называть соответственно корнями передаточных функций твердого тела и автома­ та стабилизации. Корень передаточной функции твердо­ го тела с ростом коэффициента kAc из правой полуплос­ кости перемещается по направлению к началу коорди-

Рис. 4.21. Корневой годограф для статически неустойчивого объекта регулирования

нат. При некотором критическом значении (&а с ) ппп

корень переходит в левую полуплоскость. При дальней­ шем росте коэффициента kAc корни передаточной функ­ ции твердого тела сначала становятся комплексно-сопря­ женными, затем снова действительными, но расположен­ ными в левой полуплоскости S. При 6Ас-^оо один из корней стремится к нулю передаточной функции авто­ мата стабилизации (— 1/Гд), а другой уходит в беско­ нечность вдоль действительной оси.

Таким образом, увеличение коэффициента kAc позво­ ляет устранить неустойчивость системы и обеспечить требуемые динамические характеристики ракеты, как твердого тела.

С ростом коэффициента kAc комплексно-сопряженный корень передаточной функции автомата стабилизации движется по направлению к мнимой оси и пересекает ее

при некотором критическом значении (/где)maxПри даль­ нейшем увеличении £дс этот корень асимптотически стре­ мится в бесконечность. Автомат стабилизации может нормально функционировать только при выполнении

Границы устойчивости, как известно, определяются из следующих условий Рауса — Гурвица [15]:

чивости и эффективности управляющих органов объекта регулирования, а величина (^дс)тах зависит, кроме того, от постоянных времени, определяющих динамические характеристики автомата стабилизации. Разность меж­ ду (^Ас)тах и (^Ас)тт, которая характеризует ширину области устойчивости, определяется из следующего соот­ ношения:

238

(4.85)

Зависимость минимального и максимального значе­ ний kAc от Гг/Гд приведена па рис. 4.22, причем кривые

Рис. 4.22. Области устойчивости для статически неустойчивой ракеты с системой управления

1, 2, 3, 4 выражают величину (^лс)тах при значениях 1/7'22ю*2т= 9; 16; 25; 64. Для обеспечения достаточно боль­ шой области устойчивости автомат стабилизации дол­ жен обладать большой полосой пропускания, т. е. иметь малые значения постоянных времени Г2 и Т\,

Фазо-частотная характеристика автомата стабили­ зации имеет характерную частоту, называемую частотой нулевой фазы со0, при которой Оа с ( соо) =0- Для переда­ точной функции вида (4.70) легко получить

ональна оэо2Частота нулевой фазы автомата стабилиза­ ции обладает еще одной характерной чертой, а именно, при этой частоте и (&ac) max корень передаточной функ­ ции переходит из левой полуплоскости в правую. Возни­ кающие при этом колебания происходят с частотой со0 (см. рис. 4.21).

Рассмотрим теперь дополнительные требования, кото­ рые налагает на характеристики автомата стабилизации задача обеспечения устойчивости движения ракеты с

Строго говоря, данная передаточная функция справед­ лива только при полете ракеты вне атмосферы, однако на частотах собственных колебаний жидкости она со­ храняет все принципиальные особенности динамических свойств объекта регулирования и на атмосферном уча­ стке траектории.

Характеристическое уравнение замкнутой системы объект-автомат стабилизации в рассматриваемом случае

(4.86)

Если в баках отсутствуют специальные устройства, дем­ пфирующие колебания жидкости, то нули и полюсы пе­ редаточной функции (4.86) являются слабо демпфиро­ ванными и на комплексной плоскости 5 расположены практически на мнимой оси. С точки зрения устойчиво­ сти замкнутой системы, следует различать два случая распределения нулей и полюсов передаточной функции с учетом колебаний жидкости. Первый случай (рис. 4.23, а) характеризуется перемежаемостью нулей и полюсов, обусловленных колебаниями жидкости, т. е.

240

Угол выхода корневой траектории из полюса а* может быть вычислен по формуле (4.72). Принимая во внима­ ние, что для точек, лежащих на мнимой оси, сумма фа­ зовых углов от нулей и полюсов передаточной функции автомата стабилизации равна значению фазо-частотной характеристики 0 а с ( ю ) , имеем

fife = — — (- 0 а с ( со*ь ) .

Для выхода корневой траектории из полюса, обуслов­ ленного колебаниями жидкости, в левую полуплоскость достаточно, чтобы

О < 0 А с(о > ) < Я,

т. е. фазо-частотная характеристика автомата стабилиза­ ции должна иметь опережение на частотах колебаний жидкости. Поскольку это требование к фазо-частотной характеристике автомата стабилизации не противоречит требованиям, необходимым для обеспечения устойчиво­ сти движения ракеты как твердого тела, то объект регу­

241

лирования, имеющий распределение нулей и полюсов, аналогичное неравенству (4.87), будем называть струк­ турно устойчивым.

Второй случай (см. рис. 4,23, б) характеризуется на­ рушением чередования нулей и полюсов передаточной функции ракеты с учетом колебаний жидкости, напри­ мер,

0)01 < 7 (0*1 < 7 (0*2 < Г 0)02 < (003 < (о *з < •••.

Угол выхода корневой траектории из полюса со*2

л

устойчивость при сколь угодно малом коэффициенте уси­ ления &а с . Устойчивость системы может быть обеспечена только в случае, если 0Ас((о*г)<О- Однако это требование противоречит условиям устойчивости движения ракеты как твердого тела и устойчивости колебаний жидкости в баках, для которых нуль предшествует полюсу.

Поэтому объект регулирования, у передаточной функ­ ции которого имеется нарушение чередования нулей и полюсов, будем называть структурно неустойчивым.

Некоторые из возможых видов корневых траекторий замкнутой системы представлены на рис. 4.24. Для струк­ турно неустойчивого объекта корневые траектории пока­ заны на рис. 4.24, г. Здесь имеются две возможные фор­ мы потери устойчивости, одна из которых определяется корневой траекторией, выходящей из полюса передаточ­ ной функции автомата стабилизации, а другая — корне­ вой траекторией, выходящей из полюса со*ь обусловлен­ ного колебаниями жидкости.

Одним из возможных путей достижения устойчивости при значительных величинах коэффициента усиления &Ас является установка демпферов колебаний жидкости в баках. При значительном демпфировании колебаний жидкости приближенно можно считать, что величины hoi и h*i возрастают одинаково. Это приводит к смещению нуля и полюса, обусловленных колебаниями жидкости, с мнимой оси в левую полуплоскость (рис. 4.25).

242