Файл: Козин В.З. Методы исследований в обогащении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

7.2. Формулы для вычисления коэффициентов модели

Благодаря свойствам симметричности и ортогонально­

сти возможен исключительно простой прием получения коэффициентов математической модели поверхности откли­ ка.'

Выведем формулу коэффициентоВ)исходя из простого примера^ 1" методом Наименьших квадратов /МНК/.

Пусть имеем два фактора Х^ и Ху и матрицу полного факторного эксперимента /табл.7.2/ и функция отклика имеет впд:

/7.6/ Так как МНК основан на минимуме суммы квадратов ошибок JL

/7.7/

или

то взяв частные производные по сХ0 t Я^ , (Ху получим

Откуда получаем систему уравнений, позволяющую найти

*

ар. al, &2 -

Используя вышеуказанные свойства матриц /7.3/,

/7.4/

и /7.5/, записываем

систему в

внде

 

f

ÿ i = < V / /

;

 

 

 

? - ^ і х і і

~

а і ' ^

>

/7.8/

 

^

^ і х а

~

°ij. ' ^

’

 

т.е. система распалась

на

t

і

независимых уравнений,

откуда следует общая формула расчета коэффициентов

 

 

 

? - У і х Л

 

 

 

 

 

Jf

 

 

/7.9/

Для

<*о все

Х.0 І *

+

1 .

 

 

 

 

 

Практически для нашего примера коэффициенты будут

подсчитаны по формулам /7,10/ вытекающим из формул /7.9/

 

A-

h

»

я

в =

-Щ+Уі-Уз+Нч

,

4

»

 

k

 

~Уі ~Ух+Уз +Уч

 

 

 

 

/7.10/

 

 

Коэффициенты уравнения /или линейной модели/ пока­

 

зывают степень влияния данного фактора на параметр

 

оптимизации и показывают,

на какую величину изменяет­

 

ся

этот параметр при изменении фактора от нулевого

 

уровня до верхнего.

 

 

Часто используется понятие эффект фактора, который численно равен удвоенному коэффициенту и соответствует вкладу фактора в изменение параметра оптимизации при

7.3. Особенности полного факторного эксперимента

^ Полный факторный эксперимент позволяет подучить линейную модель процесса. Можно пи извлечь из него дополнительные сведения?

Обратим внимание прежде всего на то, что исходную матрицу можно расширить. Действительно запишем до­ полнительно столбцы для произведений факторов.

Таблица 7.4

Расширенная матрица ПФЭ

№

н о

1 + 1

2+1

3+ 1

4 ■ +1

Ху

 

* 1 Х Х

Ху

' * î

y

- 1

- 1

+1

' fl

fl

Уі

 

 

 

 

+1

+ 1

- 1

- 1

+ 1

 

-1

+ 1

- 1

+1

fl

Уь

 

+1

+ 1

fl

+1

+ 1

У"

 

 

 

 

 

Можно видеть, что столбец для отличается от

всех других, следовательно, из йодного факторного эксперимента может быть найден коэффициент при этом члене

 

?-Уі х і і ЭСхі

 

 

 

CL/Z -----------jf

 

•

 

 

/7.1 I

При этом столбцы

Ху

И Хх

ЯВЛЯЮТСЯ ОСНОВНЫМИ,

по ним строится матрица,

а столбцы Х0

и

X Æ

ис­

пользуются толыЛ для

расчета.

 

 

 

 

 

. Произведений факторов ХуХд

называется

взаимодей­

ствием факторов, а коэффициент

2

Cf ^

-

эффектом

взаимодействия. При этом

взаимодействие

 

Ху Ху

назы­

вается взаимодействием первого порядка, Х

у

-

взаимодействием второго порядка и т.д., или еще их

называют парны.“ взаимодействия,

тройные

и т.д.

 

Полное число всех возможных эффектов всегда равно числу опытов полного факторного эксперимента.

Число возможных

взаимодействий какого-либо поряд—.

ка можно рассчитать

 

по формуле сочетаний

P f

_

t f

~тІ ( А - т) ! 1

где Я —число факторов;

ПТ - число элементов во взаимодействии.

Возвращаясь к табл.7.4 можно видеть, что вектор

столбцы для Х 0} Х±

и. х £ совершенно идентичны.-

Это значит, что пользуясь полным факторным экспери­

ментом, найти коэффициенты при этих членах

в отдель­

ности невозможно. Другими словами, нельзя сказать,

является пи величина

 

истинной, или

на

нее повли-

яло наличие в модели

 

0

членов

і,

и

Л

объекта

 

Xд, .

Если считать, что неизвестным истинным является

некоторое значение

cL0

, то

вычисленное

CL0 будет

смешанной оценкой

 

 

, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

d o

=

^ 0

+ 2 .

et ff; .

 

 

/ 7 .1 2 /

Следовательно,

 

 

—*

 

 

 

полным факторнымэкспериментом

следует пользоваться только в тех случаях, когда име­

ется

уверенность

в том, что функция отклика в пре­

делах пространства

варьирования факторов

линейна,,

либо

линейное приближение удовлетворяет

исследователя.

7.4. Дробный факторный эксперимент /ДФЭ/

Полный факторный эксперимент позволяет оптималь­ ным образом ! использовать пространство независимых переменных: снизить погрешность определения коэффи­ циентов и получить элементарно простые формулы для их вычисления. Однако, число опытов, необходимых для реализации ПФЭ в ряде случаев может все же оказать­ ся неприемлемо большим.

Так, если

число

факторов [RftfitïO іЮ, то

необходимой

число опытов

j / -

 

2 ^ = ,1 0 2 (1. іШгомотря

на все изяще­

ство ПФЭ это число

сразу представляется

неоправданно

большим. Поэтому желательно как-л^о-так,изменить мат­ рицу, чтобы число опытов резко сократилось, »но -в ,то же

время матрица

не

потеряла бы своих оптимальных

 

свойств.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим вновь простейший случай - матрицу 'ПФЭ

для двух факторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

.7(6.

 

ПФѲ

для двух факторов со столбцом взаимодействий

№

я 0

 

х х

Х і Х х

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ 1

- 1

- 1

+1

 

и

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

8

+1

- 1

- 1

 

Ух

 

3

+ 1

- 1

+1

- 1

 

Уз

 

4

 

 

 

+1

 

 

 

+1

+ 1

+1

 

У*

 

Пользуясь ПФЭ можно получить модель

 

 

 

 

 

 

У ~ а °І+ а і х і + а г х і + а ■а х і

■

/7.13

Если есть

основание предполагать,

что CL^ —1<- О

,

то в матрицу

ПФЭ вместо Х±

можно включить третий

фактор

, который в опытах будет принимать значе­

ния, соответствующие столбцу

Х^Х^

. Запишем

эту

но-

вукг таблицу и подсчитаем столбцы для всех взаимодей­ ствий

 

 

 

ДФЭ

для

трех факторов1

,

 

 

 

Таблица

7.Ѳ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N°

х 0

 

Х і

 

 

*3

 

 

 

 

 

dfXjXjj £

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1'

 

+

 

-

 

 

-

+

+

-

 

-

 

-И

 

0‘i'

2

 

+

 

+

 

-

-

 

 

 

+’

4*

 

 

3

 

+

 

-

 

 

+

-

 

T

 

'

 

*

 

%s

4

 

+

 

+

 

+

 

 

 

 

4

 

4

 

№

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мож но видеть, чТо в’ этой табіиде

совпадают столб­

цы для

* 0

я

 

 

 

Гдля

 

 

 

 

 

, ДЛЯ

Х х я

 

 

; ДЛЯ

Otÿ

й'

%£ХХ , т.ё. рассчитанные коэффи­

циенты’ будут

смешанными оценкам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a l~*‘cLX^ <*-ІЪі а 3 “*

•

Это' значит, что

й'айТй Истинное' значение

&0) &і , а^\

йз ТаКоТо эксперимента

нельзя,- но1 иредИолаТая, что

все

эффекты вэаНмодёйСтйнй стремятся К ауто считаем, что

 

&ö ***«)

dy

 

<tL &cC£

;

a 3

*

ot3 .

 

 

 

Иначе -

Возможность сокращения числа

опытов появля­

ется при введении некоторых допущений о свойствах

 

функции оТкДйкау ä риск ошибочно оценить линейные

 

эффекты за счет влияния Взаимодействий явпяется пла­

той за

эТо сокращение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотренный пример использования четырех опытов

ДНЯ трех факторов вместо восьми, необходимых дляГГФЭ,

ЯВДЯеТсЯ Дробным факторным экспериментом ДФЭ от

 

ІІФЭІ,

 

2ä

ИЛИ

половиной

ПФЭ

/еще

^

 

!

( ■

йсПогіЬзуеТсЯ Название —попуреплика/. Одна четвертая

ЧасТЬ ПФЭ Называется четверть-репликой и т.п.

 

 

 

Обозначим ДФЭ так:2*'р

, где

 

к. -

общее число

факторов,

а

 

р

-

число эффектов взаимодействия,

за­

мененных

новыми факторами.

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы