Файл: Козин В.З. Методы исследований в обогащении учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 143
Скачиваний: 1
отсюда
Следовательно, по методу "золотого сечения" следует ставить опыты на расстоянии 0,62 от концов исследуемого
отрезка. |
|
П р и |
м е р 11.1. Если необходимо зафиксировать зна |
чение X |
, соответствующее экстремальному с точно |
стью 5%, то руководствуясь правилом "золотого сечения"
следует поставить •Ѵ' |
опытов, исходя из условия |
( 0 , 6 2 |
= 0 , 0 5 ; |
11.8.Метод Гаусса-Зайделя
Простой разновидностью методов, не требующих знания
градиента является метод Гаусса-Зайделя.
Суть метода проста, а метод стар, но его схема явля ется классической. Отказавшись от выбора и вычисления градиента, предлагается варьировать переменные поочеред но. Вначале осуществляется поиск локального экстремума_ по %і , затем по и т.д.
Путь при этом, конечно, не самый короткий, но зато' вычислительные процедуры сведены к минимуму.
11.9.Локальный случайный поиск
Коль скоро вычисление градиента достаточно сложная'
операция, а результат в значительной мере субъективен /зависит от выбора масштаба/, то конкурентоспособным может быть метод спучайЕіого поиска.
Пусть, например, из начальной тачки мы сделали дробный шаг в произвольно выбранном направлении.
Если |
у + д у >у , то выбранное направление призна |
ется |
подходящим для одномерного „поиска, если ÿ+Aÿ <ÿ , |
то принимается противоположное направление и т.д.
В некоторых случаях будет проигрыш, по сравнению с тем, что мы получили бы, вычислив градиент, но в дру гих случаях будет и выигрыш. Оценка в каких случаях будет проигрыш, в каких выигрыш, является сложной и нами не рассматривается.
Другой вариант случайного поиска. Можно вообще отказаться после удачного шага от одномерного регуляр ного поиска, а сразу осуществлять рабочие шаги до тех пор, пока ÿ + не станет больше у , причем слу чайным является как направление, таге и шаг.
В цепом стратегия исключительно проста. Пробуй, от бирай и двигайся.
Сравним, однако, случайный поиск с градиентным. Пусть необходимо двигаться ;:о плоскости. Очевидно, что если будет выбран шаг в верхнюю полуплоскость, то он будет удачным, если в нижнюю - неудачным.
Вероятность удачного |
шага |
|
. Если |
каждый раз |
||||||
делается шаг величиной |
Ч. |
, то |
в среднем |
в направив' |
||||||
нии градиента |
продвижение |
на |
каждом |
шаге составит |
||||||
|
, н _ |
І |
■ |
S полукруга |
_ |
і |
J l'iа |
|
||
|
д с |
z |
|
Z г |
|
|
2 |
М г |
= 4 4 : |
|
Для оценки градиента нужно поставить несколько опы |
||||||||||
тов |
/в данном |
случае, |
по крайней |
мере , три/, Это зна |
||||||
чит, |
что при градиентном движении па каждый опыт сред |
|||||||||
нее |
продвижение |
будет |
0,23 2, |
, т.е, |
меньше, чем при |
методе случайного поиска.
Это, естественно, лишь пример, и всякий раз необхо дим более тщательный и конкретный анализ обоих мето дов, но пример показывает, что случайная стратегия в ряде случае может быть Но '■.уже, а даже лучшей регуляр ной, и в ситуации аналогичной рассмотренной /линейный
объект/ преимущества случайного поиска с ростом чис ла факторов П. увеличиваются.
На экстремальных объектах при приближении к вер- . шине вероятность получить хороший результат резко сни жается по сравнению с ранее приводимой цифрой /в точке экстремума эта вероятность равна нулю/ и эффек тивность случайного поиска падает.
Вот поэтому общепринятым считается мнение, что в областях,Далеких от экстремума, целесообразно использо вать случайный поиск, а вблизи экстремума какой-либо из регулярных /например, наискорейшего спуска/,
11.10.Поиск при наличии ограничений
Ограничения при поиске могут быть различными. Выде лим два принципиально различных ограничения
1. Ограничения факторов, типа
£ і. г т и |
^ |
< X t m c u . |
/1 1 .1 2 / |
|
2. Ограничения функции цели, типа |
|
|||
|
U (X) —•- |
e x tr ; |
|
|
|
£ |
(х ) - |
Я . |
/11.13/ |
Т-.е. по существу |
во |
втором случаеприходится |
иметь деПо |
с условным экстремумам.
Решение задачи в первом случае не представляет затруд нений. При достижении фактором Х-і ограничения движения по нему следует просто прекратить и двигаться по осталь ным. Это почти универсальное правило. Рекомендуется допоішительно в сложных или сомнительных случаях изменить начальную точку поиска и повторить поиск.
При наличии.ограничений второго тина задэча поиска резко усложняется, хотя общая рекомендация выглядит сравнительно просто: необходимо вначале двигаться том направлении, где будет выполнено условие £ ( х ) = Л ,
à затем |
двигаться в |
направлении |
(Х) —ëK'tz |
, |
|
сохраняя условие £(х) |
= «Я |
выполненным. |
|
||
Это значит, что вначале необходимо определить направ |
|||||
ление, при |
котором з д = л |
и на э'ой |
пинии начать |
дви |
жение к экстремуму, Эта мысль приводит внешне к схеме наискорейшего спуска. Дело, однако, осложняется тем, что мы не можем в данном случае принять гипотезу о том, что двигаясь к локальному экстремуму, не удаляемся от линии
ограничения. Следовательно, практически следует исполь зовать метод градиента.
При наличии составляющих градиента и функции ограни чения можно рекомендовать следующий простой графический метод определения направления движения для целевой функ
ции вида |
, . |
, |
г ; |
|
^ ( х ) — |
e x t |
|
|
£ (х ) - Л , |
см |
puс. ІІ.І. |
Отложим по оси |
абсцисс функцию £ (х) , а по оси ординат |
У(Х-) и проведем ординату, описываемую уравнением ограни чения £(_;х) = Л (put - 1 1 . І . ) .
П р и м е р 11,2. Поясним суп., метода ил при :оре (рмс..й/).
ÿ ( æ ) =atx, + а2хг - а 3х л ;
Z ( х ) ~ ê , X , + ZI я Z +è$X. 3 .
Дадим всем факторам единичные приращения такого знака, чтобы у ( Х ) увеличивалась /если имеется макси
мум/ и изобразим получаемые прирашешш функции |
у (х) |
||||||
и Z(x) на |
графике. Совместим теперь точку |
К с |
шиш |
||||
ей £(х)=Л |
|
, уменьшив отрезок приращения, имеющий |
|||||
наименьший |
|
наклон /по |
ОС, |
/. |
|
|
|
Теперь можно сделать вывод, что для движения при |
|||||||
указанном |
ограничении |
необходимо |
сделать шаги |
на А , |
|||
- д Х 3 |
и |
Ѳд Xz , где Ѳ |
легко может |
быть |
най |
||
дена как отношение |
|
„ |
|
|
|
||
Этот метод может быть использован и для нелиней |
|||||||
ных функций |
/хотя анализ для |
пик |
несколько сложнее/. |
Ра з д е л ХП. АДАПТАЦИОННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
12.1.Сущность адаптационных методов Рассмотренные выше методы планирования эксперимен
тов ч движения к экстремуму связаны с вычи пением опре деленных характеристик гиперповерхности. Б то же время возможно движение к экстремуму и без каких-либо вычис лений характеристик гиперповерхносг т, а лишь за счет отбора соответствующих результатов опыта и выбора ус ловий выполнения предыдущих..
Такой особенностью характеризуются уже рассмотрен ные нами локальный поиск на сетке, метод Гаусса-Зайдодя и случайный поиск. Однако рассмотренные схемы слишком просты, чтобы быть эффективными и, как уже было отме чено, лишь случайный поиск и лишь вдали от экстремума эффективен для многомерных объектов,
В сложных условиях , в особенности при низкой точ ности измерений целесообразно применять специальные планы, которые отличаются указанным достоинством, -
не- требуют вычисления характеристик гиперповерхности
и в то же время могуг привести к оптимуму.
Специальные планы необходимы для того, чтобы гаран тировать испытания возмож ностк движения по всем воз можным направлениям /осям/. Адаптационный метод оп тимизации - это по существу алгоритм /набор правил/, которым следует руководствоваться для достиксения опти мума.
12,2. Симплекс-метод
Суть симплекс-метода заключается в том, что в П -мерном пространстве строится правильный многогран
ник, вершины которого соответствуют условиям выполне
ния |
опытов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты вершин и образуют собственно |
п л а н |
||||||
с и м п л е к с - м е т о д а. |
|
|
Xj0 |
|
|
|||
|
Если |
выбран основной уровень факторов |
и |
интер |
||||
вал варьирования Л |
и исследуется |
m |
факторов, то |
|||||
необходимо вначале поставить tw +l |
опытов. Значения фак |
|||||||
торов в |
каждом опыте определяются по формуле |
' |
|
|||||
|
|
3C.JI |
— Х )0 1- t j i |
• Д X j , |
|
|
/12,1/ |
|
спичем |
Zji определяется в соответствии |
с таблицей 1 2 ,1 , |
||||||
|
|
|
|
|
Таблица |
12.1 |
||
|
Коэффициенты. для выбора координат симплекса |
|||||||
Номер опыта |
Ф а к т |
Г |
P Ы |
— —- |
|
j |
||
|
|
|
K |
|
*3 |
• |
• |
*£/T1 |
|
1 |
|
|
t s |
^ m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
2 |
|
ft* |
|
h |
■ • |
• |
ftm |
1 |
3 |
0 ' |
|
|||||
І |
- Hz |
|
i , |
. « |
• |
ft>w |
||
4 |
0 |
0 |
- я ; |
. |
|
ft m |
||
|
|
|
• |
m +i |
0 |
o' |
.0 |
• • |
- к * |
Если, например, необходимо составить симплекс план для двух факторов, то вначале ставят 3 опыта с коордилатами
1 ~ый |
опыт |
( * а |
|
= X i0 + I j ü ï i |
\ |
' |
||||
|
|
U M - x 20 + k z t x j |
|
t |
||||||
2 -ой |
опыт |
( х іі |
|
= Xi0 - |
A Xi |
\ |
|
|||
3-й |
опыт |
\ X &Z |
= |
oc2D + |
kz A X Z j |
» |
||||
( * » |
|
= |
Лю + 0 |
|
\ |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
A X z ) . |
|||
Величины |
к |
и |
|
R |
ошэйделяются по |
|||||
|
|
4.. |
|
|
|
І |
... \ |
» |
|
/ 12. 2/ |
|
|
*j<- |
|
V 2j(j |
+ i) |
|
||||
|
|
Zji |
|
|
1 |
l ( j + i ) |
' |
|
/12.3/ |
|
Так, |
если Х 1о= 0 |
и |
Х і 0 |
= О |
а |
А Х , |
- А Х г ~ і , то |
|||
координаты опытов будут /0,5; 0,280/ /-0,5; 0,289/ и |
||||||||||
/0; -0,877/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгоритм движения к оптимуму |
с |
помощью симплекс- |
||||||||
метода таков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Поставить опыты в вершинах симплекса.
2.Выбрать на результатов самый плохрй. с
3.Заменить условия осуществления самого плохого
опыта новыми, соответствующими "переворачиванию" сим плекса. Предполагается, что если з і пенить условия пло хого опыта противоположными, могут быть получены луч
шие результаты. |
|
|
|
||
Координаты новой вершины находят |
по формуле |
||||
|
|
*^jn — |
т ^ |
~ ^-ІЬ } |
/''2-4/ |
где |
- |
значеьше |
і -го |
фактора в заменяемой |
|
|
|
вершине |
/опыте/; |
|
|
%-іц |
- |
значение |
L -го |
фактора |
в новой вершине; |
р |
—номер заменяемого |
опыта, |
|