Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

детерминированной

или случайной

компоненте исследуемого

процесса. Например, в суточной серии непрерывных

измерений

температуры воды

суточный

ход часто формально

трактуется

к а к циклическое изменение

оценки

математического

ожидания,

колебания . П р и увеличении продолжительности

наблюдении, на­

пример

до

месяца, т е ж е суточные

колебания могут рассматри ­

ваться

как флуктуации

температуры

воды. З а переменное мате­

матическое

ожидание

в

данном случае

может

быть

принято

обусловленное сезонным

ходом изменение

температуры,

которое

риодом,

близким к

длине реализации или превосходящим ее.

Д л я

устранения

иестационарности по математическому ожи­

д а н и ю необходимо

из исходной реализации исключить все низ­

д а в л я ю т с я

все гармоники

вне определенного

интервала частот

полосы пропускания

фильтра .

Поставим задачу

исключить низкочастотные

составляющие

д о

частоты

coo^s

так,

чтобы

спектральная плотность S.v(co) преобразованного ря­

д а

имела

вид

(4.1)

где Sz (со) — спектральная

плотность

исходного ряда

Z(t).

Это требование будет

выполнено,

если, умножить

спектраль­

ную плотность S2 (co) на

функцию

£/'"(«),

удовлетворяющую

условию

(4.2)

и л и

если

преобразовать

реализацию процесса

следующим об­

р а з о м :

(4.3)

при

h'(x)=

c o s — - — s i n — 7 Г — •

(4.4)

JtT

I

I

Функции

у'(со)

и h'(%), определяемые

зависимостями

(4.2) и

(4.4), являются

характеристиками

высокочастотного идеального

фильтра:

у' (со)

—

амплитудная

частотная

характеристика,

h'(%) — в е с о в а я

функция. В идеальном фильтре ф а з ы и

ампли ­

туды пропускаемых

гармоник не изменяются,

остальные

состав­

л я ю щ и е

подавляются . Д л я конечного дискретного ряда

н а б л ю ­

м

хп =

L(Z„) =

2

l>mZn+m,

(4.5)

m=-.V

где | n | = 0 , '1, • • •, — .

NAt=Tn

—

продолжительность

н а б л ю ­

дений, 1г,п

— последовательность весовых

коэффициентов

фильт­

ра, | m | = 0 , 1, . . . ,

М;

2MAt—T0

— интервал

задания

весовой

функции,

— интервал дискретности наблюдений; L — оператор.

Рассмотрим

линейное преобразование

(4.5)

в случае, когда Zt

содержит

одну

гармонику

Zt=A

cos (юоН-ф).

(4-6)

Подставив

(4.6)

в

(4.5)

м

Xi=A

2

hm

cos

[coo(H-»0+<pJ

=

т=-ЛГ

—А

соб(соо^+ф) 2

h™ c o s

woo—A

(соо^+ф) 2

h m s i n

m c o °'

7?i=—ДГ

m=—ЛГ

получим ряд, с о д е р ж а щ и й

составляющую той ж е частоты, с амп ­

литудой,

умноженной

на

м

^f

у 2 ( а ) = ( 2

h

m

c o s " г о ) о + 2

l l ' n s i n " ш °

)

(4-7^

m=—M

m——M

и фазой,

измененной

на

м

2

h>n sin /»мо

т—-М

i | : = a r c t g —

•

(4.8>

2

* .\ т C O S ШСОо

т=-М

Д л я получения идеального фильтра

необходимо

коэффициенты

lim подобрать так, чтобы амплитудная

частотная

характеристика

полагая /г,,, =/?._,„. Тогда

выражение

(4.7)

можно

записать

м

уЦа) =

( Л 0 + 2 2

/г™ cos

'««о ) •

(4.9}

#(о)) = — — j " h (т) cos axdx,

(4.10)

h(x) = 2 J" у (со) cos сот/аЪ •

( 4 . П )

условию (4.2). Невозмож ­

ность практической

реализа ­

ции идеального фильтра за­

7,0i

ставляет прибегать к раз ­

1

личным аппроксимациям д л я

0,8

1

амплитудной

характеристи-

ки (рис. 6).

Д л я высокоча­

0,6

стотного

фильтра

целесооб­

1

разно

было

бы

выбрать

ом

подходящее

выражение д л я

1

2

летворяет

зависимость

sin

я

со

СОо

\

0)2 /

Функция

i(4.12) является квадратом

амплитудной характеристи­

превышает

0,03. П р е о б р а з о в а н и е

(4.12)

неоднократно

применя­

лось при фильтрации наблюдений разнообразных

океанологиче­

ских характеристик (Ямпольский,

1965;

Ильин и др., 1968 и др . ) .

Фильтру Тыоки соответствуют весовые

коэффициенты

,

,

2л т .

1+cos -

9 М - И

н* = 1 - - ш + Г -

/г '» =

М + Г - -

( 4 ' 1 3 )

Если весовая функция з а д а н а в интервале

2хт=-?—=Та=2М+>1,

(4.14)

СОо

то спектральная плотность

ряда Zt практически

не

изменится в

результате

фильтрации, начиная

с частоты

соо.

Спектральная

Необходимо

т а к ж е учитывать, что

при использовании

филь­

тра с интервалом

сглаживания T 0 = i ( 2 M - | - l )

теряется по

М зна ­

чений в начале

и

в конце исходного

ряда .

Рассмотрим

опреде­

точным

данным . П р е д п о л о ж и м , что этот

ряд может

быть пред­

ставлен

в

виде суммы

гармоник

со случайными амплитудами,

2я

ф а з а м и

и

постоянными

периодами

7\—

от двух

до 365 су-

ток, отличающимися друг от друга на одни

сутки

:шг>

Возможностью появления составляющих с периодами

больше

1 года пренебрегаем. П о формулам § 2 определение оценки

авто­

корреляционной

функции с

ошибкой

в

2%

возможно,

если

Т щ ~ 3 0

суток.

Тогда, сумму

всех составляющих с периодами,

превышающими

30 суток, можно считать оценкой переменного

математического

ожидания . Н а х о д и м

по (4.14)

величину

интер­

вала задания весовой функции

7 о « ' 2 т ш ~ 6 0

суткам. П о с л е

филь­

трации число членов ряда сократится до 305.

Часто исключение оценки математического ожидания осуще­

ствляют

в два

этапа: предварительно

отфильтровывают

низко­

зависимостью

г/(со) =

1—у'{(л), где у(а)—амплитудная

харак ­

теристика низкочастотного фильтра . Весовые

коэффициенты

hm

при низкочастотной

фильтрации

отличаются

только знаком

от

коэффициентов высокочастотного

фильтра, за

исключением 1г0

Л о - 1 - л ; -

Возникает

вопрос,

какой из двух способов

исключения

пере­

первую

ординату, соответствующую дисперсии. И с к а ж е н и я

бу­

дут тем

больше, чем больше интенсивность долгопериодных

ко­

лебаний.

При спектральном анализе («просачиванием» энергии

низких

частот,

по всей

видимости, можно пренебречь, так

как

участок

спектра

от и> — 0 до со = соо заведомо исключается из

опи­

сания частотного распределения дисперсии.

П р и

низкочастотной

фильтрации все колебания с частотами