Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

(Оо~р, Лсйэ ф~ЗШ.

(3.9)

Как следует из (3.9), чем меньше корреляция между

ордина­

тами

процесса, тем

больше эффективная

ширина максимума

спектра. П р и

а - > - °о,

ДсоЭф т а к ж е стремится

к

бесконечности и

спектральная

плотность одинакова дл я всех

частот

(«белый

ш у м » ) . П р и

а-»-0 максимум сужается, и в

предельном

случае,

при

а = 0 спектр представляет прямую линию

бесконечной дли­

несколько максимумов, по несущим частотам

которых можно

найти

jij, а по ширине основания

к а ж д о г о максимума коэффици ­

енты затухания щ„ Дисперсии

Dj

определяются

следующим

вы­

р а ж е н и е м :

0)

где cojH и cojB — частоты, соответствующие границам боковых

по­

л о с энергонесущего максимума,

c o j H — Ш ; В = А с о ;эф .

И ЛИ ИСПОЛЬЗуЯ (.ЗЛО) ДЛЯ ©_;ц<С0<Сй^в

DJ=K5x(CO)

(3.11)

Таким

образом, с помощью

(3.11) по ординате эмпирической

Многомасштабность океанологических процессов,

в ы р а ж а ю ­

щ а я с я в спектрах в виде дискретных энергонесущих

зон, позво-

ляет

иногда п а р а м е т р а м

аппроксимации

в

(3.10)

придавать

вполне определенный физический смысл. Например, если пред-

ставить

(3j= - = — и

o t j =

Xj

. то 1 j может_ иметь смысл

х а р а к -

1 j

терного временного

масштаба

или периода

элементарной

волны,

т,- — интервала

корреляции,

a Dj — интенсивности

колебаний

или

мощности

процесса.

Определение

спектральной

плотности

процесса, д л я которого

неизвестно аналитическое

выражение автокорреляционной

функ­

ции, осуществляется численным интегрированием. Однако при

этом возникают определенные трудности, связанные с тем, что

вместо истинного значения автокорреляционной функции распо­

лагают, как правило, ее оценкой, известной

в пределах ограни­

ченного

интервала

(0~xVi).

Поэтому

косинус-преобразование

Фурье (3.3) может быть выполнено лишь на конечном

проме­

жутке

времени

Т°

S*(co) =

j " R*x

(т) cos ondx,

(3.12

где 5* (со) — оценка

спектральной плотности Т0^.хт.

Средне -

квадратическая

ошибка

оценки

(3.12) определяется

следую­

щим образом:

T)2 [S* (co)]=6*[S* ( с о ) ] + a » [ S * (со)],

(3.13)

где

b [ S * » ] = M [ S *

(co)] - S x (co)

(3.14)

смещение оценки, а

< T 2 [ 5 * ( » ) ] = M { S * ( c o ) - M [ S ; ( c o ) ] } -

(3.1В)

дисперсия оценки.

Математическое ожидание оценки S* (со) имеет вид

1 о

М [S*

(со) ] =

—

J ( 1 —

^ - ) Rx (х) cos axdx.

(3.16)

П р и увеличении

интервала интегрирования математическое

вательно,

оценка

вида

(3.12)

является несмещенной (Свешни­

ков,

1968)

IimAffS*

( с о ) ] = 5 ж ( с о ) .

Г0 -*-оо

В

то

ж е время

дисперсия

оценки при 70 ->-оо не стремится

к нулю. Поэтому оценка

(3.12)

является самостоятельной.

3*

35

l i m r j 2 [ 5 ; ( a > ) ] = l i m [ — S * - ( w ) ] = 0 .

(3.18)

S* (ю) = —5— J /г (т) R* (т) cosorrch:,

(3.19)

где 1г(х)

п

о

является

весовой

функцией, обладающей

следующим

свойством:

, / \

J 1 П Р И

0 < t < F o ,

hi

I

0

при

х>Т0.

h(x)

' W

Функцию

иногда

называют временным окном, а ее пре­

образование

Фурье — спектральным

окном. При выборе

весовой

функции стремятся к тому, чтобы соответствующее

спектральное

окно ш(со) удовлетворяло

требованию

w(a)

— 1

при

C0 =

Cui,

(3.20)

w (to) =

0

при

Однако оптимальная

ре­

а л и з а ц и я

этого

требования

невозможна .

П о э т о м у

под­

бирают

функцию

/г(х)

та­

ким образом, чтобы спект­

ральное

окно

имело

такую

форму,

как

показано

на

рис.

4 с

минимальной высо­

той

боковых

максимумов .

При

вычислении

оценок

спектральной

плотности

•к/т

океанологических

процессов

обычно применяют

веговую

Рис.

4.

«Спектральное

окно»

функцию

Хэмминга

/и(т) =0,54-j-0,46 cos ———

при

С К т ^ Г о ,

i

о

/ ? . ( т ) = 0

при

%>Т0,

(3.21)

•боковые

максимумы

спектрального

окна

которой

незначи­

тельны.

Однако применение функции Хэмминга может привести к по­

явлению

отрицательных ординат

спектральной

плотности,

кото­

р а я

в действительности

всегда является

положительной

функ­

цией. Поэтому на частотах с отрицательными

значениями

при­

нимают

спектральную плотность

равной

нулю.

Отрицательных

значений оценки можно избежать, если применять весовую

функ­

цию

П а р з е н а

А ( * ) = . 1

П Р И

0 < х < ^ - .

A ( T ) = 2 ( l

^

-

)

3 при

Л ± - <

Х

<

Т 0 ,

(3.22)

h(x)=0

при

т > Г 0 .

Вычисление

S*(co)

осуществляется обычно двумя последова­

тельными

операциями:

а)

численным

интегрированием

(3.12), например,

по

способу

трапеций

го

5*

(со) =

2

б (Z) /?* ( Ш )

cos

.

(3.23)

где

(=0

f

0

при

0 > / > > т ,

6(/) =

>

У2

при

/ = 0 ,

l=m,

[

1

при других I в интервале

(0,

т.),

1=0,

1,

2 . . . ,

т — число

ординат

оценки автокорреляционной

"=Хт^Т0,

k=0,

1

q — число вычисляемых

ординат 5* (ю);

б) сглаживанием

оценки с помощью весовых

коэффициентов,

в частности, коэффициентов Хэмминга

S*

(со,,) =0,-23S*

(coft_i) -f-0,54S*

(со*) +0.23S*

(tof c + 1 ).

(3.24)

Сглаживание

(3.24) аналогично

введению

весовой

функции

в подынтегральное выражение (3.19).

Д с о = ^ -

(3.25)

или при

Т0=хт

с максимальным

сдвигом

автокорреляционной,

функции

Дсо = •

•

Г - ^ - S ^ c o )

при

СО =#=0.

< r a [ S * ( ( o ) ] = ^

J ;

'

(3.26)

I

— 5 2 (со)

при

c o = 0 .

* о

где / =

\h{x)dx-

Подставив в (3J26) весовую функцию Хэммипга, получим вы­

ражение

—Tf,—'S* (.со)

при

с о = 0 ,

a 2 [S;(co)] i

(3.27)

- 7 J ° S4co)

при

0 = 0 .

1-е.

Л