Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

ментов ординат

функций

(корреляционная

теория

функций) .

В р а м к а х этой теории вводится функция двух переменных,

опре­

деляемая

к а к

т

^ „ ( T ) =

l i m - ^ r J

x(t)y(i+x)dt,

(1.1).

где x(t),

y{t-\-x)

— реализации стационарных

и

стационарно,

связанных процессов с нулевым математическим

ожиданием,

x=t%—ti.

Функция

Rxy(f), н а з ы в а е м а я

взаимной

корреляционной

функцией,

характеризует

степень

коррелированное™

(взаимо­

связанное™) ординаты реализации

x(t),

взятой

в момент

време­

ни ti, и ординаты

реализации y(t),

взятой

в

момент

времени t-z,.

т. е. является мерой статистической

связи

процессов

x(t)

и

y{t).

В общем случае функция взаимной корреляции

несиммет­

рична

Rxti(T)¥=R*v(-T),

(1-2)

R l u (T) =

7^ - J

x(t)y(t+x)dt,

Д л я

вычисления взаимной

корреляционной

функции из

случай­

ных

последовательностей

формулу

i(1.3)

можно переписать в.

следующем

виде:

Д * » ( / Д 0 ~

- Т Г Г Г 2

x(jAt)y[(j+l)At],

N-I

(1.4>

Ryx ( Ш ) ~

-j^-;-

2 У UAt) x [ (/+

/) At],

i=0

где jAt = t, / - M = H - t

(другие обозначения

в

формулах

(1.4)

см.

в § 2, гл. I ) .

Функция

взаимной

корреляции

более

информативна,

чем

тистической связи x(t) и y{t),

она

дает

возможность

получить

т а к ж е разность фаз процессов

x(t)

и y(t).

'Временной

сдвиг т/,

определяет

среднюю разность фаз анализируемых

процессов..

Этот сдвиг

иногда называют оптимальным сдвигом.

Симметрия

ветствующей

т;.

Поскольку

Rxy{x) ^yRx{0)R,j{0)

, можно

произвести

норми ­

рование функции взаимной корреляции . Тогда получим

безраз ­

мерную характеристику связи двух

процессов

(т) =

Rxy(x)

УЯ*(0)Я„(0)

( 1 . 5 )

yR*(0)Rv{0)

Функции гху(%)

и гух(х)

при фиксированных

временных

сдвигах

межд у процессами есть

коэффициенты линейной (парной) кор­

реляции. Rxy(0)

называют взаимной дисперсией, а числитель

(1.5) — ковариацией процессов x(t),

y(t).

сов от некоторого третьего в любом случае будут иметь

место

одинаково направленные отклонения от средней величины

(ма­

тематического о ж и д а н и я ) . В этом случае

коэффициент корреля ­

ции будет положительным .

Если два процесса влияют друг на друга

во взаимно обрат­

ных направлениях (контравариантность)

или

зависят от

неко­

ния дисперсии

y(t),

обусловленной линейной

связью

у (t) с

x(t),

к общей дисперсии y(t). П о этой

причине в качестве

показателя

•степени линейной взаимосвязи процессов в фиксированный

мо­

мент времени

часто

используют

величину г2ху(т),

называемую

коэффициентом

детерминизации

(Эзекиел,

Фокс, 1966), введе­

просов.

Одной

из з а д а ч взаимнокорреляционного а н а л и з а

является

оценка точности вычисления Rxy(x).

Такую оценку в силу

труд­

ности подходящей аппроксимации Rxy{x)

аналитическими

выра­

ж е н и я м и

приходится

вести

численными

методами.

Дисперсия функции взаимной корреляции представляет собой

o\(x)=M[Rlj(x)-Rlv(x)],

(1.6)

т д е R2*y{x)

— о ц е н к а ,

Rxy(x)

— и с т и н н о е

значение функции

взаи­

мной

корреляции,

Т п —х

M[R\,M)]

=

~rr

г " I (Tn-x-x^Rzix^dn.

(1.7)

Rz(xl)=M[x.(il)y(ti)x(t3)y(tl)],

(1.8)

=

t2=t+x;

t3=t+xi\

/ t = / + T - R r i .

(1.9)

В ы р а ж е н и е (1.6)

при

т > 0

с учетом

(1.7), (1.9) можно

преобра­

з о в а т ь

к

виду

X [Rx(xi)Rv(n)

+RXV(т+т,)

Rxv(t-ti)

]dxu

(1.10)

•При вычислении

Rxv(x)

из дискретных

последовательностей

д л я определения a2R

(т) используют

следующую формулу:

X {Я* UiAt)Rv (цД/)

(fi+l)

At]RyX

[ ( ц - / ) A / i } ,

(1.11 >

где ц.Д?=т.

Если

построить

график

зависимости

NAt от ajj (т), то можно вы ­

брать такие значения At

и N, которые при фиксированной длитель­

ности

экспериментальной

записи Ти

удовлетворяют

условию

е . , Л ^ ) < | е л | ,

(1-12)

где е д

— допустимая точность

вычисления

Rxy(lAt),

exy(lAt)

—

нормированная

величина

уклонения

взаимной

корреляционной

функции от истинного

значения, определяемая

по

формуле

^

-

^

т

ж

-

< и з >

В ряде практических з а д а ч достаточной

оказывается упро­

щенная оценка дисперсии Rxy(x)—оценка

сверху, производи­

реляции.

П р и такой

оценке

(Лившиц, Пугачев,

1963) вводятся

времена

Тх, Т,„

Тху,

которые

определяются

следующими

у с л о ­

виями:

гхХ(х)

;0

при

\х\>Тх,

]

• Q

при

\х\>Ту,

|

(1.14*

;0

при

| т | >Тху.

J

Вводится

т а к ж е

время

Т0ху,

равное наименьшей

из величин

Тх и

Ту. Таким образом, если ТХ<ТУ,

то

Если Г у < 7 \ . то

T0xv

=

Tx.

(1.15)

Т0ху

=

Ту. •

(1.16)

з о з м о ж н ы х значений т, дл я

которых

она

определяется,

д о л ж н ы

.соблюдаться

следующие неравенства:

Н а основе свойств функций

автокорреляции и взаимной

корре­

ляции

можно

записать, что

| t f » c ( T i ) K A c * ,

I

\Rxy(r+xO\<yDxxD

(1.18)

VV '

\RXV(x-tOl^

УDxxDvy,

I

)

.где Dxx

и Dyy

— дисперсии случайных

функций x(t) и у (t). Эти

чения a2R (т) сверху.

RXx{fd>

Если

в

выражении (1.10)

заменить

в правой

части

•Ryyi^i),

Rxy ( т + t i ) , Rxy(x—Ti)

их абсолютными

значениями и

выполнить

ря д преобразований, то с учетом (1.17,

1.18)

получим

а% (х) <DXXDуУ

Т**+Т">-*

,

( ! . 19)

оценки

сверху

нормированного

среднеквадрэтического

отклоне­

ния взаимной

дисперсии

ств(О) ^ у

2 т0ху+тху

( 1 2 2 )

К а к

показывает (1.22), д л я

получения приемлемой

точности

ветствии с (1.14), дл я

аргументов

т, при которых Rxy{t)

имеет

существенное значение,

отношение

— ^ — т а к ж е будет

малым п