Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 219
Скачиваний: 1
во-первых, на синфазность флуктуации термоклина в простран
стве с радиусом 150—200 миль в северной части района |
иссле |
||||||||
дования |
и около 300 |
миль — в южной части. Синфазность |
флук |
||||||
туации |
термоклина |
на |
столь значительном пространстве воз |
||||||
м о ж н а |
в |
том |
случае, |
когда |
происхождение |
этих |
флуктуации |
||
с в я з а н о |
с |
воздействием |
крупномасштабной |
внешней |
силы, или |
||||
в том случае, |
если они |
имеют |
волновую природу, причем |
длины |
|||||
волн значительно превышают расстояние м е ж д у коррелируемы ми пунктами. Во-вторых, полученный результат позволяет прий ти к выводу о горизонтальной однородности пульсаций термо клина в названных выше пространственных масштабах .
Рис. 9. Расположение пунктов и схема взаимного анализа флуктуации в поле глубины залегания термоклина
П р и м е р 2. В качестве второго примера используем функ ции взаимной корреляции температуры поверхности моря и глу
бины залегания |
термоклина, |
полученные нами д л я 64 пунктов |
в зоне .Куросио |
(Григоркина, |
1972) (см. рис. 9) . Исходными дан |
ными д л я расчетов являлись годовые реализации с дискретно стью 1 сутки. Вычисление функции взаимной корреляции выпол нялось в двух вариантах: д л я неотфильтрованных реализаций, д л я реализаций, из которых отфильтрованы все составляющие с периодами, превышающими 60 суток.
О д н а из задач расчетов состояла в том, чтобы выяснить, в ка ких временных м а с ш т а б а х существует статистическая связь меж д у флуктуациями температуры поверхности моря и глубины за-
61
легация термоклина, а т а к ж е установить знаки этой связи и ее величину. Функции взаимной корреляции, рассчитанные по пер вому варианту, показали, что во временном масштабе, равном
-0,3\-
Пункты 112 - 89 »- 112-115
Рис. 10. Нормированные функции взаимной корреляции флуктуации глубины залегания термоклина
одному году, м е ж д у |
исследуемыми характеристиками существу |
|||
ет тесная обратная |
корреляционная |
зависимость |
с коэффициен |
|
т а м и корреляции 0,7—0,8. Д л я всех |
пунктов, |
расположенных |
||
севернее 35° с. ш., коррелограммы не имеют выраженных |
макси |
|||
мумов и минимумов, характерной дл я них является лишь |
о б щ а я |
|||
62
тенденция к некоторому понижению корреляции с увеличением
сдвигов. Вычисление функции взаимной корреляции |
после |
|
фильтрации |
показало, что пульсационные составляющие, |
перио |
д ы которых |
не превышают 60 суток, практически некоррелиро- |
|
ваны (коэффициенты корреляции менее 0$—0,3), причем знаки корреляционных связей беспорядочно меняются, что служит признаком неустойчивости этих связей.
Таким образом, степень и знаки статистических взаимосвя зей температуры поверхности моря и глубины залегания термо клина существенно зависят от временных масштабов, в которых рассматриваются названные процессы: долгопериодные состав л я ю щ и е этих процессов ; (сезонные компоненты) тесно коррели
руют, тогда |
как короткопериодиые (сравнительно с сезонными) |
||
флуктуации |
практически |
не связаны . Очевидно, что степень |
в з а и |
мосвязи зависит т а к ж е |
от пространственных и временных |
мас |
|
ш т а б о в динамических и термодинамических процессов в верхнем слое океана, и от структуры невозмущенного (осредненного) по ля масс и поля скоростей.
iB приведенных примерах мы о б р а щ а л и внимание на иллю страцию лишь некоторых из з а д а ч взаимнокорреляционного ана лиза, которые были сформулированы выше. Специфические во просы анализа полей временных статистик океанологических элементов более подробно обсуждаются в гл. I V .
§ 2. |
Вопросы частной и множественной корреляции |
П р и |
исследовании стационарных линейных и нелинейных си |
стем в |
океане, а т а к ж е |
при прогнозе |
разнообразных океанологи |
ческих |
процессов часто возникает необходимость отыскать ли |
||
нейную статистическую |
взаимосвязь |
между несколькими процес |
|
сами . Д л я этой цели используют обычно |
коэффициенты |
частной |
и множественной корреляции. Пр и взаимноспектральном |
анали |
|
зе, как будет показано в § 4, понятие о |
частном коэффициенте |
|
корреляции обобщается в понятие частных функций когерентно сти, а о коэффициенте множественной корреляции — в понятие функций множественной когерентности.
С м ы с л частного коэффициента корреляции можно пояснить следующими рассуждениями . Пусть Xi(t), x2(t) и y(t) — т р и лю б ы е действительные случайные переменные случайных стацио
нарных |
процессов с нулевыми |
средними |
значениями, |
причем |
||
xy(t) |
и |
x2(t) |
могут быть коррелированными . Если корреляция |
|||
Xilt) |
и x2(t) |
обусловлена главным |
образом |
влиянием y(t) |
на обе |
|
эти переменные, то нахождение обычных коэффициентов линей ной корреляции может дать ложное представление об истинной
связи Xi(t) |
и x2(t). |
Ч а с т н а я корреляция устраняет этот |
недоста |
|
ток. Она удаляет |
из корреляции Xi(t) |
с x2(t) ту часть |
к а ж у щ е |
|
гося влияния Xz(t), |
которая фактически обусловлена y(t), а из |
|||
корреляции |
м е ж д у Xi(t) и y(t) — т у |
часть кажущегося |
влияния |
|
63
y(t), |
которая фактически обусловлена |
x2(t). |
П р и |
этом |
может |
|||
оказаться, что случайные переменные xx{t) |
и x2(t) |
некоррелиро- |
||||||
ваны, |
т. е. м е ж д у |
ними отсутствует непосредственная связь, и |
||||||
высокая линейная |
корреляция Xi(t) |
и |
Xz(t) |
в действительности |
||||
обусловлена |
тем, |
что существует |
линейная |
корреляция |
м е ж д у |
|||
.v2 (/) |
и y(t). |
Таким |
образом, частная корреляция определяет ли |
|||||
нейную статистическую связь м е ж д у двумя переменными, когда влияние остальных переменных исключено, а коэффициент част ной корреляции является мерой этой связи. Д л я получения рас четных формул коэффициентов частной корреляции обычно ис пользуют уравнение линейной регрессии (Брукс, Карузерс, 1963; Пановский, Брайер, 1967; Бендат, Пирсол, 1971). Если число пе
ременных равно двум, коэффициент частной корреляции |
явля |
|
ется обычным |
коэффициентом линейной корреляции (иногда его |
|
называют т а к ж е коэффициентом парной корреляции) . |
|
|
Пусть x(t) |
и y(t) — два любых вещественных стационарных |
|
процесса. Д л я |
фиксированного момента времени X\(t) и y(t) |
есть |
случайные переменные из рассматриваемой выборки. Б у д е м по
лагать, что средние значения x(t) |
и y(t) |
равны |
нулю. Тогда |
у р а в |
|||
нение линейной регрессии м о ж н о |
записать |
в |
виде |
|
|||
|
|
y{t)=cx(t), |
|
|
|
|
(2,1) |
где y(t) |
— прогнозируемое значение у (t), |
с — константа, |
подле |
||||
ж а щ а я |
определению |
(коэффициент регрессии). |
|
||||
Оптимальным способом определения |
с, к а к и любых коэффи |
||||||
циентов |
линейного |
уравнения, как известно, |
является |
способ |
|||
наименьших квадратов . При этом выполняется условие, что е —
ошибка разности y{t)—y{t) |
— |
является |
минимальной. |
Отсюда |
|||||||||
получаем |
уравнение, |
которому- д о л ж н о |
удовлетворять |
с |
|
|
|||||||
|
|
|
|
ас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия |
(2.2) |
с определяется |
к а к |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M[x(t) |
-y(t)] |
^ |
Rxy_ = |
вху_ |
|
|
|
3 ) |
|||
|
|
|
M[x*(t)] |
|
Rxx |
|
el |
|
|
{ |
' |
||
В уравнении (2.3) Rxx—Rxx(0) |
=в\х |
|
|
XX |
|
|
|
|
|||||
есть |
функция |
автокор |
|||||||||||
реляции |
x(t) |
при т = 0 , |
т. е. |
дисперсия |
процесса |
x(t). |
|
Rxy= |
|||||
= RXy(0)—axy |
— в з а и м н а я корреляционная функция x(t) |
и |
y(t) |
||||||||||
при т = 0 |
(взаимная |
дисперсия |
x(t) |
и y(t)). |
Следуя |
(2.3), |
опре |
||||||
делим остаточную случайную переменную |
y(t) |
по x(t) |
из |
у р а в |
|||||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ay(t)=y(t)-y(t)=y(t)-(~V-) |
|
|
|
|
x(t) |
= |
|
|
|
|||
|
|
|
= y ( t ) - [ ^ - ] x ( t ) . |
|
|
|
|
|
(2 . 4) |
||||
64
Н а й д ем дисперсию |
'переменной |
Ау((), |
обозначив |
ее |
a2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
^ ( 1 - ^ ) = ^ ( 1 - г у , |
|
|
|
|
(2.5) |
|||||
где |
г2 |
—гху'(®) |
— коэффициент линейной |
корреляции |
x(t) |
и |
||||||||||
y(t) |
|
при |
т = 0 , |
который можно |
определить |
из известного |
у р а в |
|||||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 |
/ 0 |
\ _ |
|
Я«1/(0) |
|
|
|
|
|
/2 |
6) |
|
г* |
удовлетворяет |
неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Очевидно, что если г* |
(0) = 0 , то а & у А |
у = а у у |
и м е ж д у |
x(t) |
и |
y(t) |
||||||||||
отсутствует |
линейная |
зависимость. Если г2 . |
(0) = |
1, |
то Од7/дг/=0 |
|||||||||||
и x(t) |
и y(t) |
|
|
|
|
|
|
ху |
|
|
|
|
|
|
||
полностью линейно связаны . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Рассмотрим теперь три л ю б ы е действительные случайные пе |
|||||||||||||||
ременные |
Xi(t), |
X2(t) |
и y(t) |
случайных стационарных процессов |
||||||||||||
с нулевыми средними значениями, причем |
Xi(t) |
и |
Xo(t) |
могут |
||||||||||||
быть |
коррелированными . |
|
|
переменную Xi(t) |
|
xz(t), |
||||||||||
|
Определим |
остаточную |
случайную |
по |
||||||||||||
а т а к ж е |
остаточную случайную |
переменную |
y(t) |
по |
x2(t) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A X i { t ) = X i ( t ) - [ ^ - ] x 2 ( t ) , |
|
|
|
|
( 2 Л |
|||||
|
|
|
|
|
|
Ay(t)=y(t)-[j^]b(t)- |
|
|
|
|
|
(2-8). |
||||
Согласно |
(2.5), функции автокорреляции д л я Axi(t) |
и Ay(t) |
|
при |
||||||||||||
т = 0 |
(дисперсии Axi(t) |
nAy(t)) |
есть |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
^ v A v = ^ y = / ? w ( l - ^ ) . |
|
|
|
(2-Ю) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
(2.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# 2 2 - Д ц |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r " = ~ i k y - ' |
|
|
|
|
( 2 Л 2 > |
||||
5 Зак . 11821 |
65 |
R-n = M[x2(l)Xi(t)], |
Roy=M[x2(t)y(t)]. |
(2.13) |
|||
Функция взаимной корреляции RAx |
A!J = |
RAx |
A y (0) |
между Ax^(t) |
|
и Ay(t) при т = . 0 будет |
|
|
|
|
|
Л Д Х 1 Д в ( 0 ) = А 1 [ А д Е 1 ( О У ( 0 ] = Л д Я 1 л У - |
(2-14) |
||||
Подстановка (2.7) и (2.8) в |
(2.14) |
дает |
' |
|
|
* - . * - * » [ < - - 3 5 ^ - ] = * ~ |
< 2 Л 5 > |
||||
Общепринятым обозначением дл я |
величины |
RAX,VAIJ |
является |
||
|
RiV.2. |
|
|
|
(2.16) |
Это обозначение показывает, что остаточные переменные AA'I(^)
и Ay(t) получаются вычитанием из Xi(t) и y(t) величин Xi(t) и
y(t) т. е. вычитанием из Xi(t) и y(t) прогнозируемых значений. Обозначим т а к же , как в (2.16), величины, введенные урав
нениями (2.9) и (2.10)
|
RAyAy = Ryy.2- |
(2.18) |
||
Поскольку средние |
значения |
полагаются |
равными нулю, част |
|
ный коэффициент |
корреляции |
при |
т = 0 |
можно определить из |
выражени я |
|
|
|
|
|
г\у,= |
|
. |
(2.19) |
|
|
A l l . 2 ' |
AJ/J/.2 |
|
которое удовлетворяет неравенству |
|
|
||
|
0 < г 2 1 и . 2 < 1 . |
(2,20) |
||
В тех случаях, когда средние значения не равны нулю, во всех приведенных выше в ы р а ж е н и я х корреляционные функции д о л ж
ны быть |
заменены |
функциями |
ковариации |
(Бендат, Пирсол, |
|||
1971). |
|
|
|
|
|
|
|
Исключив из y(t) |
и Xz{t) переменную |
xt(t) |
и |
отыскав |
связь |
||
м е ж д у y(t) |
и X2(t) |
после исключения этой переменной, получим |
|||||
R2V.u а исключив переменную y(t) |
из x\(t) |
и x%{t), |
получим |
Rixy |
|||
Вычисление частных коэффициентов корреляции дл я более чем трех независимых переменных имеет смысл выполнять только в тех случаях, когда линейная корреляция межд у п а р а м и пере менных не очень высока (около 0,5). Независима я переменная, которая наиболее высоко коррелирована с зависимой перемен-
66
