Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

нон, дает почти

столько

ж е сведении

о последней,

сколько мож ­

но получить от всех переменных (Брукс, (Карузерс,

1963).

Н а практике

можно

столкнуться

с исследованием линейных

пает несколько стационарных случайных процессов xi(t),

фор ­

мирующих на выходе один процесс yt (Бендат, Пирсол,

1971).

входе

одновременно. Т а к а я

з а д а ч а

на стадии

корреляционного

а н а л и з а решается отысканием коэффициентов

множественной

корреляции, я в л я ю щ и х с я мерой этой

связи.

Составив уравнение

регрессии

дл я xv(t)

одновременно по

Xz(t)

и y{t)

и выполнив

прогноз Xi(t)

по А"з(0 и y(t),

м о ж н о

най­

ти остаточную

переменную Axi(t),

произведя

вычитание из

Xi(t)

величины

Xi(t)

(прогнозируемое

по x%{f) и y(t)

значение

пере­

менной

Xx(t)).

Xi(t) и Axi(t)

Корреляция

и дает коэффициент

множествен­

ной

корреляции, который

иногда

называют

т а к ж е сводным

обычный коэффициент линейной корреляции м е ж д у

Xt(t)

и

Axi{t),

который

вычисляется

по формуле

(2.21).

где o2i23

= a\(\—rza)

(1—гг132),

г 1 2 — коэффициент линейной кор­

реляции переменных

Xi(t)

и

x%(t)\

riZ.% — частный - коэффициент

корреляции

м е ж д у Xt(t)

и y(t)

после

исключения x2(t);

CTI.23

—

остаточная

дисперсия. И л и

Ri.hj=

^

+ r

' »

- 2

W

*

.

(2.22)

В принятых

ранее обозначениях (2.21)

перепишется:

^

r

^

i

4

i

=

^

(2.23)

Rxx(0)=aL=o\,

(2.24)

А

Агс.Дх:,

^ =

^ ( 0 )

•

< 2 - 2 5 >

нена на более чем три переменные. В этом случае

коэффициент

множественной корреляции находится из в ы р а ж е н и я

г)

а "

2

2

, п 0 „ .

On .1234

•

Кт».1234=

1

(2.26)'

вышение может быть незначительным. <В таких случаях

прогноз

по

многим

предикторам

становится нецелесообразным.

Боль ­

шой

опыт,

накопленный

в

практике

метеорологических

прогно­

зов (Пановский, Брапер, 1967), свидетельствует

о том, что

уве­

личение

числа

переменных

(предикторов)

далеко

не всегда

при­

водит к улучшению качества прогноза, поскольку

коэффициенты

множественной

корреляции

между

четырьмя

и

более

пере­

менными

обладают малой

устойчивостью.

Кроме

того,

по

ме­

ре

увеличения

числа

переменных

становится

труднее

оцени­

вать значимость результата . Таким образом, применение

(2.26)

имеет смысл только в тех

случаях,

когда физическая

взаимо ­

связь с

предиктантом

не

отражена

какой-либо

другой

пере­

менной.

последующего

прогноза

среднемесячной

разности температур

воды

и

воздуха

в

районе

к о р а б л я погоды

«D»

(северная

часть

Атлантического

о к е а н а ) .

В

качестве

предикторов взяты:

разность

температур

воды

и воздуха в районе корабля погоды «D» в предшествующие

про­

гнозу

сроки и давление в центре Исландской барической депрес­

сии (Н),

которая является индикатором радиационных и динами­

ческих

процессов

в атмосфере. Из реализаций

среднемесячных

значений этих процессов за периоды

1951 —1960

гг. вычислялись

функции авто-

и взаимной корреляции, выявившие статистиче­

скую

зависимость

предикторов. Д л я

вычисления коэффициента

ционного

анализа необходимо было выбрать коэффициенты пар­

ной корреляции

исходя

из того, что заблаговременность прогно­

за была

з а д а н а

равной

6

месяцам . В соответствии

с этим коэф­

фициент

автокорреляции

гн- предшествующей t и

последующей

ж а й ш е м к заданной

заблаговременности прогноза. Коэффициен -

ты взаимной корреляции давления в центре Исландской

бариче­

ской депрессии и разности температур воды и воздуха

выбраны

на двух сдвигах: 1) Хну, соответствующем экстремуму

функции

взаимной корреляции, б л и ж а й ш е м у к заданной

заблаговремен ­

ности

прогноза.

Коэффициент корреляции гт-

характеризует

связь

давления

Я

и последующей разности температур воды

и воздуха f; 2)

хт,

соответствующем разности сдвигов

хи—хт-

множественной корреляции

Rr.ni',

который лишь

незначительно

превысил коэффициенты парной корреляции и

составил 0,72.

Этот

результат указывает

на

нецелесообразность

вычисления

Rt-.ni

в тех случаях, когда

парные коэффициенты

корреляции

сколько и парные коэффициенты корреляции.

Составление

уравнения регрессии с Rv.m

и

прогноз разно­

сти температур

воды

и

воздуха

в районе к о р а б л я погоды «£>»

•с заблаговременностыо

6

месяцев

показали,

что

множественная

нительно с прогнозами,

выполненными по уравнениям регрессии

с использованием Гц/ и

rHt-.

действия

различных: процессов, к а к определение соотношения

м е ж д у

различными механизмами передачи энергии, прогноз

спектральных компонент и др.

Д л я

изучения

частотной структуры связи вводится понятие

функции

взаимной

спектральной плотности, которая представля­

Вследствие того, что функция взаимной корреляции в

о б щ е м

случае не является четной, трансформанта

Фурье функции Sxy (со)

есть комплексная величина в отличие от

т р а н с ф о р м а и т ы

Ф у р ь е

ный спектр. Комплексную величину

Sxv(uj)

м о ж н о

представить

в следующем

виде:

Вещественную

Sxy{a) =CoXy.(®)+'LQxy((£>).

(3.2):

часть

взаимной

спектральной

плотности

Соху(со)

называют коспектром

(косинус-спектр), мнимую

часть

Qxy(®)—квадратурным

спектром (синус-спектр). Вещественная

часть

взаимного

спектра

находится как косинус - преобразование

Фурье четной части взаимной корреляции

п

Cov „ (со) = —^— { R+{x)

cos

axdx,

(3,3)

где

п

о

/ г + ( Т ) =

+

*

^

>

.

(.з.4>

И з

(3.4) следует,

что

R+{x)

является

четной

функцией, т. е..

R+(x)=R+(—т).

Существенно,

что

в

силу

четности

функции

R+i(%) ее можно рассматривать как некоторую

корреляционную

функцию

(Лившиц,

Пугачев,

1963).

Так

как

R+(x)—четная

функция, то и коспектр является четной функцией и

его н а з ы в а ­

ют четной (симметричной) частью взаимного спектра.

Операцией (3.4) осуществляется сглаживание э ф ф е к т а асим ­

метрии функции взаимной корреляции RXv(t),

которая

в

общем

случае не является симметричной. Симметрия

R+{x)

относитель­

но нулевого сдвига означает, что разность фаз между

процесса­

ми

равна

нулю, т. е., что

процессы

происходят

синхронно

(син-

ф а з н о ) . Коспектр,

будучи

спектральным

представлением

R+(x),

соответственно

характеризует распределение

по

частотам

энер­

гии

синхронного

взаимодействия.

Д р у г и м и

словами,

коспектр-

характеризует

в к л а д

энергии колебаний

различных частот

в об­

коспектр ( Л а м л и , Пановский,

1966

и др.)-

К а к

следует

из

(3:3)

и >(3.4), знаки коспектра

не

зависят

от

последовательности

выполняемых

расчетов

[x(t),

y(t)

или

y(t),

x(t)].

М н и м а я

часть взаимного

спектра

находится

как синус-

преобразование

Фурье нечетной части взаимной корреляции

со

Q*2/(co) =

—— jR-(x)

sincoTdr,

(3,5)

где

л

о

R-[x)=

5

•

(3.6}