Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

асимметрии, который имеет место в функции Rxy(x).

R-(x)

яв ­

ляется нечетной функцией: R-{x) =—R-(—x).

Асимметрия

функ­

ции /? - (т) проявляется в смещении максимума R-{x)

на

некото­

рый

сдвиг

хФО.

П р и

отсутствии

асимметрии

R-(x),

Qxy—0.

Неравенство

нулю

R-(x)

означает,

что процессы

имеют

некото­

рую разность фаз, т. е. происходят

несинхронно.

Квадратурный

спектр, будучи

спектральным

представлением

R~(x)

характеризует распределение

по частотам

энергии

несин­

характеризует

в к л а д

энергии

гармоник различных частот в об­

щ у ю ковариацию . ряда при условии, что гармоники,

содержа ­

щиеся во временном

ряде

x(t),

сдвинуты на четверть

периода

н а з а д по отношению к временному ряду

y(t).

Приближенное вычисление

(3.3)

и

(3.5)

осуществляется по

ф о р м у л а м

т

Со*

(со) =

- £ ^ 2

Hl)L(lAt)

c o s - ^ - .

(3.7)

7

2 л

~

тАх

т

Q

*

(со) =

~

2

б (/) М (/АО sin

•

(3.8)

(Обозначения

в

формулах

(3.7)

и (3.8)

см. в главе 1). Вычис­

ленные по (3.7)

и (3.8) функции

Со*у

(со) и

Q*y (со) в

дальней ­

персией

выражением

со

RxV(0)=jsxy(a)dw

(3.9)

—со

И Л И

со

Rxy(0)

= j Coxy((o)d(o.

(3.10)

—со

Приведенные выше определения коспектра и квадратурного

спектра,

а т а к ж е смысл

выражени й (3.9)

и ;(3.10)

поясним сле­

дующи м примером . П о данным

буйковой станции

продолжитель ­

ностью 92 суток (дискретность

наблюдений 1 час),

поставленной

в одном из арктических

морей, вычислены

взаимные корреляции

ставляющих скорости

на

горизонте 12 м (временные

м а с ш т а б ы

13 суток — 6 часов) . Дисперсии и и v

оказались приблизительно

одинаковыми и равными 300 см2/секг,

но в з а и м н а я

дисперсия

Ruv(0)

(ковариация

на

нулевом

сдвиге) составила лишь

смотря на то, что энергия

к а ж д о й

из компонент скорости значи ­

тельна, их о б щ а я в з а и м н а я

энергия

невелика.

П о с т а в и м перед собой следующий вопрос: является ли энер­

гообмен поперечных и продольных горизонтальных

д в и ж е н и й

слабым во всем диапазоне частот

спектра, или в одних времен­

ных м а с ш т а б а х v и и более интенсивно обмениваются

энергией,,

тогда

ка к в других м а с ш т а б а х энергообмен м е ж д у ними мал?-

Ответ

на этот вопрос дает анализ коспектра и квадратурного'

спектра пульсаций

компонент

скорости

(рис. П а ) . Рассмотрим

вначале

коспектр

Соиъ'(ю). Ка к видно

из графика

на рис. Па,,

взаимная

энергия

пульсаций

и я v распределена

по коспектру

0,042

0,054

0,126 . 0,167 0,209 0,251

•областях

спектра:

низкочастотной

(со = 0,010—0,111

рад/час)

и

в

окрестностях

полусуточной

приливной

частоты

(со =

— 0,50 рад/час).

В

остальных

частотных

интервалах

коспектра

в з а и м н а я

энергия

пульсаций

значительно

меньше,

чем в

двух

названных областях. Так, если

в з а и м н а я

дисперсия

в полосе ча­

стот

со =

0,010—0,030

рад /час

(определяемая ка к

S (со) Лео, где

Лео — ширина

основания спектрального максимума)

составляет

16,1

см2/сек2,

а

в

полосе

частот

0,030—0,110

рад/час

—

13,4 см2/сек2,

то во всех других

частотных

интервалах

коспектра

она имеет, как правило, порядок 0,1—0,9

см2/'сек2

(табл. 4), т. е.

приблизительно в 160—20 раз меньше взаимной

дисперсии в ос­

новных «энергообменных» зонах коспектра.

Таким

образом,

основной в к л а д в общую взаимную

ковариа -

цию

вносят низкочастотные компоненты и полусуточная

прилив­

н а я

компонента,

тогда

как в к л а д

колебаний

других

частот в об­

щ у ю ковариацию

v и и мал. П о д р о б н о е

представление о

распре­

дисперсии пульсаций v

и и в к а ж д о й энергонесущей полосе кос­

пектра. Рис. П а показывает, что все

главные энергонесущие

компоненты коспектра

коррелируют

отрицательно. В соответ­

но в 8 ра з превосходит сумму

взаимных

дисперсий

колебаний,

коррелирующих

положительно.

Этим

определяется

отрицатель­

ный знак

общей

корреляции v

и и, а т а к ж е

уменьшение

общей

взаимной дисперсии v и и вследствие знакопеременное™

корре­

л я ц и и v

и и на

разных частотах. Рассмотрим теперь квадра ­

турный

спектр

QU«(CU) компонент

v

и

и. К а к

показывает

рис. 11а, при сдвиге компонент

v и и на четверть периода

отно­

цессов

принципиально не изменяется.

По - прежнему

ведущая

р о л ь

в энергообмене принадлежит колебаниям

низких

частот, а

т а к ж е колебаниям полусуточной частоты.

С у м м а взаимных дисперсий колебаний, коррелирующих от­

рицательно, ка к видно из данных табл .

5

(гр. 3),

равна

—69,6 см2/сек2,

причем в к л а д низкочастотных

колебаний, а так ­

ж е

колебаний

полусуточной

частоты

в эту

сумму

составляет

•более 90%. О к о л о 60% взаимной энергии колебаний,

коррели­

рующих,

положительно, т а к ж е

сосредоточено

в низкочастотной

области

спектра

(гр. 6, табл . 5), ио эта часть

взаимной

энергии

почти в

10 раз меньше, чем аналогичная

величина для

колеба­

ний,

коррелирующих отрицательно. Этим

определяется

отрица­

реляционной функции, не равных

нулю.

О б щ а я

в з а и м н а я дисперсия

несинхронного взаимодействия

{площадь

«о д кривой квадратурного спектра) составляет

Ширина оснопашш

спектраль­

Ширина основания спектраль­

ного

максимума

-Со(«))Д ю

ного

максимума

+ Со(о))Дсо

рад/час

I

час

см'1сеи'

padjuac

см11[с с к'1

Коспектр

0,010--0,030

209

16,10

0,18--0,20

35,0—31,4

0,11

0,030--0,410

209--57

13,40

0,23--0,25

27,0—25,0

0,65

0.11--0,14

57- -45

0,53

0,38--0,42

16,5—15,0

0,5&

0,14--0,18

45- -35

0,72

0,52--0,54

12,0—11,8

0,21

0,20--0,22

31- -28,5

0,28

0,59--0,63

10.G—10,0

0,72

0,27--0,35

23 - -17,9

3,12

0,63--0,67

10,0—9,4

0,54

0,35--0,38

17,9— 16,5

0,87

0,69--0,72

9,,1—8,7

0,80

0,42--0,44

14,9- 14,2

0,24

0,72--0,75

8,7—8,4

0,90

0,44--0,48

14,2- 13,0

0,68

Ss=+-

0,48—0,52

13,0- 12,1

2,72

+4,50

0,54--0,56

11,6- -11,2

0,34

0,57--0,59

11,0—,10,6

0,12

Zi = -39,0

2,4-212=34,5

Квадратурный спектр

- Q (со) Дм

; Q(co)A®

0.008--0,050

785--125

57,60

0,05--0,08

125—78

3,60

0,08--0,11

78--57

1,10

0,11--0,15

57—42

•1,56

0,16--0,20

39--31

0,75

0,20--0,22

31—28

0,12

0,22--0,24

28--26

0,16

0,23--0,30

27—21

1,09

0,28--0,31

22,4--20,2

0,81

0,31--0,33

20,2—19,0

0,38

0,33--0,37

19,0--17,0

0,47

0,38--0,39

16,5—16,1

0,26

0,39--0,42

16jl- -14,9

0,43

0,44--0,47

14,3—13,3

0,18

0,42--0,44

14,9--14,2

0,60

0,60--0,61

10,5—10,3

0,08

0,46--0,48

13,6--13,1

0,28

22 =+7,3

0,48--0,52

13Л--12,1

4,40

0,52--0,54

12,1--11,6

1,15

0,54--0,56

11,6--1.1,2

0,19

0,56--0,60

11,2--10,5

0,80

0,61--0,64

10,2--9,8

0,19

0,04—0,66

9,8--9,5

0,67

62,3 см2/сек2,

тогда как взаимна я дисперсия синхронного взаи­

модействия

(площадь под кривой

коспектра,

см. 3 . 1 0 ) — л и ш ь

-34,5 см2/'сек2,

т. е. приблизительно

в 1,8 р а з а

меньше. Этим объ­

ясняется

тот

факт, что с увеличением сдвига

т/ корреляция ком­

понент

и

и v

возрастает и достигает максимума не на

нулевом

сдвиге,

а

на

сдвиге т = 4 0 часов

(коэффициент взаимной

корре­

л я ц и и — 0,20). Таким образом, обща я низкая

корреляция

между

компонентами и и и определяется

тем, что общая взаимна я энер­

взаимодействия м а л а по отношению к общей энергии

(диспер­

сии) к а ж д о г о из процессов (точнее

говоря, по

отношению к про­

изведению среднеквадратических

отклонений

этих

процессов) .

В приведенном выше примере

было пояснено,

к а к

связано

цессов

появляется

возможность

сравнивать взаимную

энергию

на фиксированной

частоте

с энергиями

к а ж д о г о из процессов на

той

ж е

частоте

путем

определения

отношений

этих

характери ­

стик

\Sxv(a)I

Coxy(a)

+

Qxv(a)

(З . П)

Л ( « )

= Sx(a)Sy(a)

Sx{a)Sv((£>)

Сопоставляя

(i3.ll)

и

(1.5),

/*Чсо)

можно

интерпретировать

к а к

коэффициент взаимной

корреляции на фиксированной часто­

те .

Функцию

F(o)

называют

когерентностью 1 .

Когерентность

F(o))

характеризует линейную

статистическую

связь

спектраль ­

ных

компонент

одинаковой

частоты

и аналогична

коэффициенту

линейной корреляции,

ио в

отличие от него зависит от частоты.

В силу того, что всегда

справедливо

неравенство

изменяться в пределах

от 0 до I .

П р и

определении степени

взаимосвязи

спектральных

компо­

нент

процессов

существенно в а ж н о

выяснить,

каково

соотноше­

ние взаимной энергии синхронного и несинхронного

взаимодей ­

ствия, поскольку именно от величины этого соотношения

зависит,

какова

будет

разность

фаз

колебаний

на фиксированной

частоте

юг. Из

(i3.ll)

видно, что при

Qxy(m)

= 0 ,

Соху(иц)

фО

разность

ф а з

колебаний

на

частоте

со* д о л ж н а

быть

равна

нулю,

так к а к