Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

иость фаз спектральных

компонент па

частоте со; равна 90°, т а к

как взаимосвязь м е ж д у

колебаниями

с частотой coi имеет место-

других случаях, т. е. при

Соху(т)

Ф0, ЯхУ{ач)ФО,

разность

ф а з

спектральных компонент

фиксированной

частоты

вычисляется

по

формуле

ф,,(со)-ф.(со)

= e . ^ ( ( o ) =

arctg

•

(3.13)

LOXY

(а)

0ДУ(СО) определяет отставание по фазе процесса

y{t)

от

процес­

са

x(t)

при условии, что Qxy(со)

считают

положительным

от 0>

до

180° и отрицательным

от 180 до 360°.

Так как 0(со) является углом, полученным из

(3.12), его

м о ж ­

но

преобразовать,

прибавляя или

вычитая величину,

к р а т н у ю

2,-т.

Н а

практике

такие

преобразования иногда

требуются

д л я

однако, во избежание произвола желательно по

возможности

обосновывать преобразования 0 ( ш ) физическими

соображения ­

ми, поскольку очевидно, что точки

0 (со>) —2/г/я (

/ =

0 ,

к

=

= 0 , 1 , 2 , 3 . . . )

можн о

расположить каким

угодно

образом.

Когерентность, являясь

спектральным

коэффициентом

кор­

реляции, одновременно служит мерой устойчивости

разности

сраз. Если

разность ф а з процессов

постоянна F(co) =

l , если

р а з ­

ность фаз

неустойчива,

то

Я ( с о ) - + 0 .

При геометрической

интерпретации

взаимной

спектральной

плотности как векторной величины направлением

вектора

я в л я ­

ется Qxy(a),

а

его модулем

iCo9-}/

(a)+Q2xy

(со) •

П о н я т и я когерентности

и разности

фаз

поясним,

п р о д о л ж а я

терес д л я исследователя

в первую очередь представляют именно

эти частоты, так как на них сконцентрирована

наибольшая

часть

общей дисперсии процессов v и и. Рассмотрим

график

когерент­

ности v и и, при построении которого по оси

абсцисс

о т к л а д ы ­

вают

частоты

со, а по оси ординат — значения

f (со)

(рис.

116).

Д л я

удобства

анализ а

на

графике

когерентности

крестиками

обозначены энергонесущие

частоты

спектра пульсаций

и.

к р у ж ­

к а м и — энергонесущие частоты

спектра пульсаций и. П о

графи ­

ку когерентности видно, что

большинство максимумов

Fvu(co)

пость спектра, равную 0,008 рад/час).

Это указывает

на

то,

что

степень

корреляции

наиболее

высока

у

спектральных

компонент

и и v с наибольшей

энергией. Значения спектральных коэффи ­

циентов

корреляции

на частотах

0,03;

0,25;

0,29;

0,32;

0,50—

0,52 рад/час

равны

0,70 или превышают эту величину.

Таким образом, корреляция основных энергоиесущих компо­

нент спектров v и и значительно превосходит общую

корреляцию

процессов v и и, и если в целом составляющие вектора

течения

практически

некоррелированы, то

большинство

энергонесущих

компонент тех ж е

процессов

тесно

связаны м е ж д у

собой.

Р а с ­

смотрим,

например,

соотношение энергии к а ж д о г о

из

процессов

и их взаимной энергии на частоте

со, =

0,50 рад/час.

В з а и м н а я

энергия

синхронного

взаимодействия и и и Covu(со*)

= 9 7

см2/сек2,

в з а и м н а я

энергия

несинхронного

взаимодействия

Qvu

=

= 115

смг/секг

(рис.

11с).

Энергия

колебаний

и—Su(wi)

=

= 116 см2/сек.2,

энергия

колебаний

v—Sv

(соt) = 3 0 4

см2/сек2; со­

ответственно

соотношение энергии

каждого из процессов и их

взаимной

энергии

на

частоте со; равно

согласно

(3.11)

пг

^

1 /

9 7 2 + П 5 2

1 /

24 634

F (

a ) = V

3 0 4 - П 6

^ V l s s m ^ 0

- 7

6

-

ных компонент

v и и. Разность фаз

на всех анализируемых ча­

стотах иногда

представляют в виде

д и а г р а м м ы фаз, при постро­

случае, когда когерентность на всех

частотах высока, что

обыч­

но редко случается на практике.

Если когерентность

имеет'

ше полезной информации, чем

точки, соответствующие

частотам

с высокой когерентностью.

Д л я

оценки разности

фаз в

(со), составляющих v

и и на от­

дельных

частотах, мы

вместо

фазовой д и а г р а м м ы

приводим

частот, на которых f(co)

высока

(высокой будем считать

^(со),

превышающую 0,5). К а к

видно

из табл . 5, разности фаз

в (со)'

ни иа одной из рассматриваемых частот не равны нулю, т а к

к а к

значения квадратурного

спектра на этих частотах не равны

ну­

лю. Разности

фаз нигде не равны т а к ж е 90°, так

как

ненулевыми

являются и значения коспектра. Разность фаз

при

решении

ря­

да вопросов

удобно в ы р а ж а т ь не в градусах, а

в единицах

вре­

мени (табл.

5) .

Т а б л и ц а 5

Когерентность и разность фаз поперечной

(v)

и продольной (и) составляющих скорости

Частота

Период

Разность фаз

Когерент­

колебании,

колебаний,

ность

paoiuac

час

град

час

0,025

251

0,73

254

177

0,067

94

0,59

133

35

0,100

0,63

0,64

Л 86

32,4

0,260

24,1

0,69

91

6,1

0,301

20,8

0,75

236

13,6

0,318

19,7

0,77

146

8,0

0,427

14,7

0,57

206

8,4

0,502

12,5

0,76

229

8,0

0,536

11,7

0,66

279

9,1

0,595

10,5

0,67

320

9,3

0,603

10,4

0,63

323

9,3

гереитиостн

обычно обусловлено

тем из процессов, который име­

ет очень малую спектральную плотность

в исследуемой полосе

частот.

4. Редки,

но возможны т а к ж е

случаи,

когда автоспектры на

ря

на

это

когерентность

на

этой

частоте

принимает

значения

м е ж д у 0 и 1. Когерентность

в таких

случаях

рассматривать

неце­

лесообразно.

При

вычислениях

когерентности

необходимо учитывать

так­

ж е

возможное влияние

шумов,

которые уменьшают

полученную

величину Fxy(a),

если случайные

процессы

x(t)

и y(t)

содержат

некоррелированные

шумовые

компоненты

n(t)

и

m(t).

Спект­

ральные

плотности процессов

x(t)

и y(t),

полученные

в

резуль­

тате расчетов,

равны

5* ( < B ) = S „ ( < » ) + S „ ( ( O ) .

(3.15)

S j ( ( o ) = S e ( < D ) + S m ( c o ) .

(3.16)

Их взаимна я спектральная

плотность

Sxy{w)=Suv(a).

(3.17)

Если бы не было

помех,

когерентность

получилась

бы

равной

5 п ( с о ) 5 „ ( м )

О д н а к о

вследствие

воздействия

некоррелированного

шума,

вместо истинной, интересующей нас когерентности Fuv(co)

про­

цессов x(t)

и y(t),

получаем

когерентность

f t

, (

n

U

1 ^ ( " ) 1 2

15»r(a>)| a

=

Х

« К ' '

Sx(a)Sv(a)

[ S M ( c o ) - f 5 , , ( c o ) ] [ S „ ( c o ) + S r o ( c o ) J

2

Fuv(a)

<

,

,

Г Sn(a)

, Sm i(to)

I

Г Sn ((u)

1

Г Sm(a)

1

L

S„(©)

~ h

Sv(o)

-I

L S„(w ) J

lSv((o)

J

< ^

r

(со) -

(3.19)

которая,

очевидно, будет меньше истинной

когерентности.

Ошибки вычисленных значений взаимной спектральной плот­

ности

могут

б'ыть найдены

ка к путем

расчета

точечных

оценок

(определения

дисперсий

S*

'(со)), та к и путем определения

дове-

ху

рительных

интервалов. Д л я вычисления

дисперсий 5*

•(<») необ­

ходимо

знать

истинные

значения

Sxu(co),

которые,

как

правило,