Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

з а к л ю ч а е т ся

в определении вторых

производных Sxy(a>)

по со.

Поэтому в

практике предпочитают

оценивание Sxy(u>)

довери­

оценивают

модуль

и аргумент

взаимного

спектра — когерент­

ность и разность фаз .

При вычислении

доверительных

интервалов

когерентности

(Granger, Hatanaka, 1964; Бендат, Пирсол,

1971)

привлекают

вспомогательную функцию Z(co)

Z (со) = arcth F*.(«>) =

- у - In

,

(3.20)

Z(co) имеет

распределение, близкое

к нормальному . Средним

значением Z(со) является

Pz (со) = ( n - 2 ) - 1 arcth F (со),

(3.21)

CT|=(n-2)-i,

(3.22)

г д е п — число

степеней свободы.

Поскольку Z(со) распределена почти нормально, вероятность

того,

что она будет принимать значения

не менее

Z

„ и не бо-

лее Za

* может быть записана следующим

образом:

' - т

p \ Z

а < Z ( f f

l ) - ^ ( " )

3 £ z J = l - a

,

(3.23)

где

Z a — Ю О а - п р о ц е н т н а я

точка

нормального

распределения.

П о с л е подстановки (3.21)

в (3.23)

и решения относительно -F(co)

< t h

[ z ( c o ) - c r | + c r z - Z a ] .

(3.24)

а"

И з

в ы р а ж е н и я i(3.24)

можно найти два доверительных

предела

к а к

функции п., F*(co),

а, межд у которыми с вероятностью Р =

ясним примером. Пуст ь необходимо найти

доверительные

преде­

л ы дл я F(co), которая вычислена из двух

выборочных реализа­

ций длиной N=1

100 суток, с дискретностью 1

сутки, при

макси­

мальном сдвиге

корреляционной функции

/7г =

50 суток.

Определим

число

степеней

свободы г г = 4 4 . Рассчитаем

а2

и

oz

по

формуле

(3.24);

a2 z

=

0,02;

a z

=

0,16.

И З табл . 6 найдем

Za-

При

Р =

80%

а

= 0,10;

Z 0

, i o = l , 2 8 . После

подстановки

ol

oz

и Z0 ,io в уравнение

(3.24)

оно примет

вид

th

[ Z ( c o ) - 0 , 2 2 ] < F ( c o X t h

[Z(co)+0,18] .

(3.25)

Д л я

расчета

•Z(co)

по

формуле

(3.20)

з а д а д и м

значения

^"(со)

и соответствующие им значения Z(co):

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

Z(co)

0,42

0.55

0,69

0,87

1,10

1,48

Доверительные

пределы

когерентности

представлены в табл .

7.

Т а б л и ц а

7

Доверительные пределы для истинного значения

когерентности F((£>),

соответствующие

80% доверительной

вероятности при га=44

0,-Ю

0,50

0.G0

0,70

0,80

0,90

Пределы

нижний

0,20

0,32

0,44

0,57

0,71

0,85

верхний

0,54

0,02

0,70

0,78

0,86

0,93

П р и б л и ж е н н о е

определение

того

значения

когерентности,

ниже

которого

она

является

недостоверной

(с

95%

вероятностью),

м о ж н о произвести т а к ж е по

соотношению

/•(со)

У ft

(3.26)

приводимому в работе Хаурвнца и др . (1.964).

Согласно 1(3.26), при / г = 4 4

^(со) =0,30 .

Оценки

достоверности

аргумента

взаимного

спектра — раз ­

ности

фаз — м о ж н о

отыскивать

различными

способами.

Одним

из

наиболее

распространенных является способ,

предложенный

в работе

Д ж . Б е н д а т а и А. П и р с о л а

(1971). Доверительные ин­

тервалы разности фаз вычисляются из соотношения

А 0 (со) = а г с

sin

АВ.г.у(со)

(3.27)

Вху(а)

Истинное

0(со)

с

заданной

вероятностью

лежит

в пределах

от

[ в ( с о ) - А в ( с о ) ] до [ 0 ( с о ) + А 0 ( с о ) ] .

•6*

83

А В ^

) 2 = ^ { ^ п - 2 Д 1

- Я

( m ) ] } - | g L ,

(3.28)

где

п — число

степеней

свободы, Fn^>, а — критические

значения

F — распределения

с и—2 степенями свободы

при уровне

значи­

мости

а,

которые

выбираются из табл . 8,

B V ] /

( C D ) отыскивается

из

уравнения

B - ( W )

'

( 3 - 3 0 >

Т a G л и ц а

8

Критические значения ^-распределения

р.

Р.

%

п

75

90-95

п

75

90—95

4

2,00

4,32

21

1,48

2,57

5

1,85

3,78

22

4,48

2,56

6

1,76

3,46

23

1,47

2,55

7

1,70

3,26

24

1,47

2,54

8

1,66

3,11

25

1,47

2,53

9

1,62

3,00

26

1,46

2,52

10

1,60

2,92

27

1,46

2,51

11

1,58

2,86

28

1,46

2,50

12

1,56

2,81

29

1,45

2,50

13

1,55

2,76

•

30

1,45

2,49

14

,1,53

2,73

40

1,44

2,44

'"

15

1,52

2,70

48

'1,43

2,42

•16

1,51

2,67

60

1,42

2,39

17

1,51

2,64

80

1,41

2,37

18

1,50

2,62

120

1,40

2,35

19

1,49

2,61

1,39

2,30

20

1,49

2,59

Вху(ы)

называют

усилением

по частоте

со (Granger,

Hatanaka,

1964). Эту характеристику можно

рассматривать

как

коэффици­

ент

регрессии

процесса

x(t ) с процессом

y{t)

на частоте

w. Про -

Bxy((i))

СоХу

(со)

екциями

на координатные

оси являются

— .

.

и