Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

т а к ж е

возможности прогноза этих процессов значительно рас­

ширяются, если наряду с обычным взапмноспектральньш

ана­

лизом

привлекать аппарат частного и множественного

спект­

рального анализа . В отличие от теории частного

корреляционно­

го анализа, а т а к ж е

вопросов приложения этого

анализа

к

реше­

нию

специфических

технических

и

метеорологических

задач,

сравнительно подробно освещенных в соответствующей

литера­

туре

(Брукс,

Карузерс, 1963; Пановский, Брайер, 1967),

теория

и вопросы применения частного и множественного

спектрально­

го

анализа

фактически не изложены

в отечественных техниче^

ских

и специальных океанологических публикациях. Вместе с

тем

д а ж е сравнительно небольшой

опыт успешного

.применения

этого

анализ а в океанологии (Привальокий, 1968)

показывает,

что

он может

дать

весьма полезные

и интересные

результаты.

В дальнейшем

изложении мы будем следовать

Бендату,

Пирсо­

ционного

анализа и т а к ж е оперирует с остаточными

стационар­

ными процессами, но в их спектральном представлении. В

связи

с этим вводится понятие функции

остаточной

(частной)

спект­

ральной

плотности, которую д л я

краткости

будем

называть в

дальнейшем остаточным (частным)

спектром.

ж е т

быть дано

следующим

образом . Пусть Хи есть прогнози-

руемый

по yt

процесс

ХЦ.

Разность xlt—Хи=Ахц,

аналогично

•§ 2,

является

остаточным

случайным процессом.

Остаточным

(частным) автоспектром процесса xit

является преобразование

•Фурье

остаточного

процесса

Axlt.

Обозначим полученный

авто-

спектр

S,n.y(w).

Образова в

разность

yt—yt=Ayt

и

выполнив

преобразование

Фурье

Ауи

получим

остаточный

автоспектр

Svv.i(a)

процесса

yt.

Хц,

ХЦ, iji.

Рассмотрим

три стационарных

случайных процесса

можн о найти,

прогнозируя

х и по x2t,

х п

по

yt и

т. д., получим

шесть остаточных автоспектров процессов хи,

%ги

yt-

SH.Z(CO)

I

S2 2.i(ffl)

I

^ууЛ(а),

I

I

(4.1)

I

I

5,ii.v (o)

I

Szi.y((u)

I

Syyz(a).

П о аналогии

с уравнением

(2.9), остаточные автоспектры могут .

быть найдены из уравнений типа

S , i . 2 ( ( o ) = S 1 1 ( © ) [ l - F 2 2

( ( o ) ] ,

(4,2)

S w ^ ( t o ) = S „ „ ( ( o ) [I—Fig

(©)]

(4.3>

пли

вообще

5£ i(co)Sj j(cu)

J

(4.4)>

где

(со) — о с т а т о ч н ы й

автоспектр

процесса

i,

прогнозируемо­

го по /, 5i,(co)

— о б ы ч н ы й

автоспектр

процесса

i;

S;J(CO) — о б ы ч ­

ный

взаимный

спектр процессов /, /;

/4/(00) —• обычная

когерент­

ность

спектральных компонент процессов

i , / на частоте

со.

Н а

основе

(4.2) — (4.4)

остаточный автоспектр

можно интер­

ванной частоте. И з <(4.2) — (4.4) следует,

что

Su.j—Sn((£>),

когда

Р2.(а)

=0,

т. е. когда

процессы i и / на

частоте

со

некогерентны.

Если

F 2 . ( c o ) = . l ,

что

возможно, когда

процессы

i

и /

на

частоте-

со полностью

когерентны, 5n..7(co) = 0 .

П р и

N процессах

может

быть получена я - мерная матрица остаточных автоспектров.

Приведе м формальное определение остаточных

(частных)

взаимных спектров трех

стационарных

случайных

процессов

x\t>

Хц> у и Если

из процесса

Хц исключить

его прогнозируемое

по

хц

значение Хц.2

и получить остаточный процесс Ахц.%

и из

процесса-

yt исключить прогнозируемое по x2t

значение

yt.t

и

получить

остаточный процесс Ayt.2, то выполнив преобразование

Фурье-

ковариационной

последовательности

М[Ахц.2-Аг/о-т],

получим,

остаточный

взаимный

спектр 5iV .2 (со)

процессов

xit

и

yt.

Дейст­

Syy-2

Syl.2

(4.6)

Siy.2

Su.z

г де Syi.2,

Sly,2

—

остаточные

взаимные

спектры, причем S y i . 2 и

Siy.2, — комплексно сопряженные величины, Syy,2,

5 ц . 2

—

остаточ­

ные автоспектры процессов tjt и Хц.

Матрицу

(4.6)

называют

остаточной

спектральной

матрицей.

Д л я

разделенных в

(4.5)

пунктирной линией групп, как можно по­

казать, выполняется

соотношение

Sx>*= [f™ 5 н ] _

Н [ S a ] - 4 S » , - S s , ] .

(4-7)

П о р я д о к

расчета

Sxy.2

дается формулой

(4.8),

которая

показы­

вает,

как

вычисляются

члены остаточной

матрицы (4.6).

'уу

Sy2 • Soy

Sy2—5oi

Sxy.2 —

S22

S22

(4.8)

Sjo-Szy

>'!/

о

О 2*1

И л и

окончательно

дл я

5iy .2f(w)

5iy .2 (co) =Siy(a)

[

1 —

S 12(a)-Szy(a)

"1

(4.9)

592(co) -Siy (со)

J

В о о б щ е

Sij(&)

•iSji(o))

"J

Sih.i(a)

= 5 i f

t ( c o ) [

1 —

(4.9a)

5 jj(ff») - 5 № (со)

J

Е с л и

хц

и x2t

некогерентны,

(4.9)

приобретает вид

Si„.2(co)=Sij,(co),

Sih.j(a)

=Sih((£)).

(4.96)

цессов может быть обобщен дл я

N процессов хц

на входе

линей­

ной системы и

процесса на выходе yt

(Бендат,

Пирсол,

1971).

Р а с ш и р е н н а я

до

(Af-f-1,

N-\-i)

членов

спектральная

матрица

уу

y

i

>уг

Sy%

. . .

Syx

S

Sy

Siy

5 ц

Sl2i

S13

. . .

5)дг

5 ухх —

iS2i

S22

S23

(4.10)

•S.Vy

"S.vi

I 5JV2

SjST3

S.wv

.Деление спектральной

матрицы

(4.10)

показано

т а к ж е пунктир­

ными линиями

в

(4.11)

A (2. 2)

B(2,N-\)

•S" y.Y.V

С (N-l,

2)

D{N-\,

i V - 1 )

(4.11)

где A(2,

2), В(2,

N-l),

C(N—l,

2), D{N-l,

N-l)

являются

подматрицами

либо с двумя, либо с (/V— 1) строками

и колонка­

ми:

Л (2,2)

=

5У 1

В ('2,

iV— 1)

=

Sy2

5 у з

SyN

5j2

5i3

SIN

S 2 y

S 2 i

^22

5гз

.S2iV

^Зу

•$31

^32

5 3

3

S3N

C ( t f - 1 , 2 ) = ,

D(N—1,

iV—1) =

(4.12)

SNV

SJVI

•S.Y2 S.Y3

>JVJV

Остаточную спектральную матрицу межд у

и yt

можно запи­

сать

>xy.23-I\TZ

Syy.23-N

Syi.23.-N

(4.13)

S[y.23-N

5.11.23...Д'

Четыре

члена Sxv.23-N

могут

быть определены

путем

выполнения

н а д матрицами А, В,

С, D

следующих

действий:

>д:у.23,..N=A-BD-i-C,

(4.14)

где D~x — матрица, обратная

D.

К а к в обычном взаимноспектральном

анализе

оперируют по­

нятием

обычной

функции

когерентности

/ ^ ( а ) ,

та к

в частном

взаимноспектральном

анализе оперируют понятием функции част­