Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

рошо описывают

широкий класс крупномасштабных явлений.

Именно в

таком

приближении, например, получены основные

результаты

теории

течений, приливов. Многие океанологические

стических связей м е ж д у внешним воздействием

(входом)

и его

результатом (выходом) .

Рассмотрим вопрос о том, к а к связаны м е ж д у

собой статисти­

ческие характеристики входных и выходных процессов.

Пусть

ную импульсную

функцию

6(т)

(дельта-функция Д и р а к а ) ,

мате­

матически определяемую

как

6 ( т ) = 0

для

хфО,

е

j б ( т ) с ? т = 1

для

всех

е > 0 ,

(5.3)

—е

о

е

§&(x)dx=

jb(x)dx=

—

д л я

всех е > 0 .

-s

о-

(Бендат,

1965).

Пусть

x(t) есть

сигнал

на входе системы (внешнее

возмуще ­

ние на входе), a y(t)

— на выходе. Через весовую функцию вход­

ной и выходной сигнал

могут быть связаны следующим

образом:

со

y(t)

=

\ h{x)x{t-x)dx.

(5.4)

о

П р и этом

учитывается,

что

поскольку реальная физическая си­

мущения, весовая функция

таких систем д о л ж н а удовлетворять

условию

ft(T)=0

при т < 0

В качестве характеристики линейных динамических

систем

часто

используется т а к ж е передаточная функция

Н(Р),

которая

м о ж е т

быть

определена

как

преобразование

Л а п л а с а

весовой

функции

со

H(P)=\h(x)-er**dx.

(5.5)

о

где р— комплексная частота,

p — b-\-i®.

Действительная

часть

комплексной

частоты

б

есть

коэффициент

затухания,

мнимая

часть

соответствует частоте

гармонического

сомножителя

зату­

х а ю щ е г о колебания . Д л я

гармонического

колебания

действитель­

н а я

часть

соответствующей

ему

комплексной

частоты

равна

нулю .

П р и б-*-0, т. е. при

замене

р на

/со, преобразование

Л а п л а с а

совпадает с

преобразованием

Фурье, и

передаточная

функция

м о ж е т

быть записана в виде обращения

Фурье

весовой

функции

со

Я(со) =

j h ( x ) e - i ° " d x = y ( i a ) .

(5.6)

о

В форме (5.6) передаточную функцию называют

т а к ж е

час­

тотной

характеристикой

y(ia)

системы. Таким

образом,

в

част­

ном

случае

(6 =

0) понятия

передаточной

функции

и частотной

характеристики

совпадают.

Передаточная

функция,

к а к

следует

•В дальнейшем термины «передаточная

функция»

и «частот­

н а я характеристика» мы будем употреблять

в смысле

(5.6).

со

u{t)

=

§ h(x)ei<*lt-Vdx=y(ia)eia>t

.

(5.7)

о

Ч а с т о т н а я характеристика

может

быть представлена

в виде

У(«о) =

М с о )

I

•ei^=Pia)-\-iQ(a),

где | * / ( с о ) | — м о д у л ь ,

определяющий амплитуду на выходе си­

стемы при частоте

со

(амплитудная частотная

х а р а к т е р и с т и к а ) ,

qp (со) — сдвиг

ф а з ы реакции

на выходе системы

по отношению-

к фазе внешнего

возмущения

((разовая частотная

характеристи ­

к а ) . Р(а)

называют вещественной частотной характеристикой,.

Q(co) — м н и м о й

частотной характеристикой

Щи)

=

\у(<о)\

созф(со),

(5.9)

Q(co) =

ly(to) [ зт-ф(со),

(5.10)

|y(co)| =

[ ^ J c o ) + Q 3 ( t o ) ] 2 ,

(5.11)

c p ( c o ) = a r c t g - | g | - .

(5.12)

Амплитудная

и

вещественная

частотная характеристики я в л я ­

ются четными функциями со, т. е.

Ы с о ) | =

[у( - <со)|,

(5.13)

Р ( с о ) = Р ( - с о ) ,

(5.14)

а ф а з о в а я

и

мнимая

частотные

характеристики — нечетными

функциями

со,

ф(со)=—<р(—со),

(5.15)

Q ( c o ) = - Q ( - c o ) .

(5.16)

Весовую и

передаточную

функции,

а т а к ж е частотную х а р а к т е ­

стационарной системы, с помощью которых эта

система м о ж е т

быть полностью описана.

Весьма в а ж н ы м является то обстоятельство,

что динамиче ­

выходе

системы

(с дисперсиями,

функциями

корреляции и

спектральной

плотности) .

Если известны

динамические характеристики

системы, а т а к ­

ж е

статистические

характеристики

процессов

на

входе

системы,

то

могут

быть

найдены характеристики на

выходе

системы,

С другой стороны, по известным статистическим

характеристи ­

кам

входного

и

выходного процессов определяются

динамиче ­