Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 213

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

существует некоторая линейная система, на входе которой дейст­ вуют два стационарных случайных процесса Хц и x%t, а на выхо­ де — один процесс yt. П у с т ь необходимо установить степень ли­ нейной зависимости между спектральными компонентами этих

процессов на

некоторой

фиксированной частоте со. Обозначим

спектральные

компоненты

исследуемых

процессов

соответствен­

но -Vi(co), х2 (со),

у (со). Если поставленную

задач у

решать, оты­

скивая обычные

когерентности F22(a),

F2y((a),

F2y(a),

не исклю ­

чена возможность получения ложной информации о статистиче­ ских связях и в том случае, когда JCI(со) и х2 (со) будут высоко ко­ герентны, и в том случае, когда Xi(co) и х2 (со) некогерентны (Бендат, Пирсол , 1971).

Рассмотрим ситуацию первого типа: Xi(co) и Л'2(со) высоко' когерентны. Тогда Fz (со) может оказаться значительно завы ­

шенной по сравнению с истинной

линейной связью межд у

Xi(co)

и у (со). Высокие

значения Ff

(со)

могут при этом

быть

о т р а ж е ­

нием

только

того

факта,

что

х%(и>) высоко когерентна

с Xi(co).

В действительности ж е

межд у Xi(co)

и у (со) может

вообще не

быть никакой физической связи. Если дл я такого случая

 

рассчи­

тать

частную

когерентность

м е ж д у

JCi(co) и у (со),

она

 

будет

близка к нулю. Н о и

обычная, и частная когерентности

 

м е ж д у

х2 (со)

и у (со)

д о л ж н ы

быть близкими

к единице.

 

 

 

 

 

Рассмотрим ситуацию второго типа: Xi(co) и

х2 (со)

 

некоге­

рентны и проходят через физически существующую

линейнук>

систему, формируя на выходе у (со). Обычная когерентность

м е ж ­

ду *i(co) и у (со) окажется в этом случае заниженной

 

относи­

тельно истинной когерентности, поскольку в спектральную

ком­

поненту процесса

yt

вносит

свой

вклад, помимо

*i(co),

 

т а к ж е

х2 (со). Так как Xi(co)

и х2 (со)

некогерентны, этот

в к л а д

 

практи­

чески проявляется в виде шумовой компоненты в (/(со) на вы ­

ходе. П о д о б н а я ситуация будет иметь место

и в том случае,

если

рассчитать обычную когерентность межд у

^(со) и

у (со). Тогд а

шумовую компоненту в у (со) будет д а в а т ь

Xi(co).

Так как

р а с ­

сматриваемая система в действительности является линейной,

истинная связь между Xi(co) и

у (со) или

х2 (со)

и

у (со)

д о л ж н а

была бы оказаться линейной, a

F2

(со)

и

F2

 

(со)

д о л ж н ы

были

бы быть близкими к единице. Однак о этого

не произошло

из - за

присутствия шума либо в виде Xi(co), либо

в

виде

Хг(со).

Ч а с т ­

ная ж е когерентность м е ж д у хх (со)

и у (со), при расчетах

которой

шум х2 (со) исключен, получится

равной

или

близкой к

единице..

Близкой к единице д о л ж н а

получиться

и частная

когерентность,

м е ж д у х2 (со) и у (со).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, частная когерентность выявит

истинную л и ­

нейную взаимосвязь xit, x2i

и yt,

д а ж е

если

она

не выявляется

по обычной когерентности и безотносительно

к тому,

я в л я ю т с я

ли дв а входных процесса

коррелированными

или

некоррелиро -

94

ванными. Частную когерентность трех процессов F2.k .(а>) мож ­

но выразить через остаточные авто- и взаимные

спектры

следу­

ющим

образом:

 

 

 

 

 

^ ( ш ) - ^ ( с о ) 5 й , , ( с о ) '

 

( 4 Л 5 )

причем

0^.Fik,j(a)

^ d . Аналогично (4.15)

можно

записать

част­

ную когерентность

F\.. (со), F\jh (со), F2.jh

(со), ^

(со), F 2 . . (со).

Таким образом, при исключении различных процессов i, /, k и пе­ ремене порядка вычисления получим шесть значений частной когерентности, причем функции F2k . (со) и F2U (со) и соответст­ венно другие пары являются комплексно сопряженными .

И з

подобия

(4.15) и

(2.19)

очевидно, что частная

когерент­

ность

является

спектральным

отображением к в а д р а т а

частного

коэффициента

корреляции, о чем упоминалось

выше. И з

(4.15)

видно т а к ж е , что в случае двух

процессов частная

когерентность

является обычной когерентностью /*\ft(co).

 

 

 

 

Н а

основании (4.15)

можно дать следующее

определение

частной когерентности.

Ч а с т н а я когерентность

является

мерой

линейной статистической связи спектральных компонент оста­ точных процессов Aij и Akj на фиксированной частоте, когда эти процессы прогнозируются по j . Д р у г и м и словами, частную ко­

герентность можно рассматривать ка к

обычную когерентность

двух

остаточных

процессов. Д л я

остаточных процессов

может

быть найдена т а к ж е разность фаз

 

 

 

 

е . , ( с о ) = t s l f * A ; \ = - g ^ V -

и л е )

 

 

ReOift.j(co)

СОгй.Дсо)

 

где

Qi/i.ji(co) — остаточный

(частный)

квадратурный

спектр,

Coih.j

(со) — о с т а т о ч н ы й (частный)

коспектр процессов i

и k, из

которых исключен процесс /.

 

 

 

 

Использование

и трактовка

F2h.

(со) и

вполне

анало­

гичны интерпретации обычной когерентности и разности фаз . Обобщение функций частной когерентности на случай N процес­ сов хц на входе и yt на выходе м о ж н о дать в следующем виде:

F2

( Ш ) = .

[ - W ^ c a ) ] 2

(

1 7 )

В теории частного спектрального

анализа часто т а к ж е

опери­

руют понятием

комплексного

частного коэффициента

регрессии

на частоте со,-, который представляет

собой

 

 

 

О22.ь(С0)

 

О1 2 .з(С0)

 

 

95

С м ы сл частного коэффициента регрессии состоит в следующем . Если спектральная компонента может быть моделирована в виде

Х1<(ш)=а2 (со)А-2г(со)+ 2 о3 (со) •x-j t(cu)+et(co),

(4.19)

(где — некоторый процесс, не зависящий от всех Хц), то Ri2.h((£>) будет практически оценкой, коэффициента регрессии а2 (со). В частном случае двух процессов Хц, хи коэффициент ре­ грессии принимает вид

#12 (со):

•S12(co)

•S22

(C0)

(4.20)

5г2(сй)

5 I 2 (OJ)

 

 

Если при этом спектральная компонента -Vu(co) может быть мо­ делирована в ы р а ж е н и е м

(4,21)

причем i?i2 (со) =А (со) е'ф ( ( 0 ) , то действительная функция Л (со) на­ зывается усилением или амплитудным усилением х( « относитель­ но Хц, а ф(со) называется приращением фазы . Следует отметить то обстоятельство, что остаточные спектры — частная и обычная когерентность — имеют весьма важное значение при нахождении модулей и аргументов передаточных функций. Эти характери ­ стики вполне определенным образом связаны с передаточными функциями, о чем пойдет речь в § 5. В § 2, гл. 2 упоминалось, что в з а д а ч а х исследования линейных систем с множеством про­ цессов на входе Хц И одним yt на выходе линейная статистиче­ ская связь процессов входа-выхода устанавливается путем оты­ скания коэффициентов множественной корреляции . Если в по­ добной линейной системе требуется на фиксированной частоте установить связь спектральных компонент Xi(a) процессов на входе и у (со) процесса на выходе, мерой такой линейной стати­ стической связи является функция множественной когерентности.

Пусть число процессов на входе будет £ = 1 , 2, 3, . . . , q; спект­ ральную матрицу с NXN членами дл я входных процессов мож ­ но записать в виде

S\i

S i 2

•Sf<7

S%\

S2 2

 

(4.22)

>o2 •>t?(j

Тогда функция множественной когерентности межд у xit и всеми другими процессами хц, хп . . . xgt и yt, исключая хц опреде­ лится выражением

96

 

^

> ) =

l - [ S « ( c o ) - S < ( ( o ) ] -

 

(4.23)

где 5' (со) — i - i i диагональный элемент

матрицы,

обратной

(4.22).

Если на входе

системы

действуют

только

два

процесса

хп

и

х-11, а на выходе один у и матрица

Sxx(a)

запишется

 

 

 

 

 

 

s y l

Syz

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn

S12

 

 

(4.24)

 

 

 

Sly

 

S*>2

 

 

 

 

и функция множественной когерентности между

A-I(CO), х2(ш)

и

//(со)

будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ r a i ^ ( t 0 ) = 1 - [ S w S 1 1 , J ~ 1 '

 

 

( 4 l 2 5 )

где S l

y y — п е р в ы й

диагональный

элемент

матрицы, обратной

(4.24). Функции множественной когерентности являются вещест­ венными в интервале от нуля до единицы

0 < ^ ( Ю ) < 1 .

Когда число процессов равно двум (один на входе системы, дру­ гой на выходе), функция множественной когерентности

Р2

/ , л

[Sig(co)]3

с , ,

(4.26)

F t 2

" И

с / \ с /

1

= П з ( с о ) .

У Л

 

О ц ( С 0 ) о 2 2 ( С 0 )

 

 

представляет собой обычную когерентность.

Выражени е дл я функции множественной когерентности мо ­

жет

быть

т а к ж е

записано следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

(ш) =

1-

5Ц.Р(СО)

 

 

(4.27)

 

 

 

 

5 ц (со)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Р

—

множество (2, 3, . . . т),

5 ц . Р

— частный спектр

про ­

цесса

Хц, полученный после

исключения

из xit

процессов

х2и-

Хаи

•

• • ,

x m i . Из сравнения (4.26)

и

(2.26)

видно,

что

функция

множественной

когерентности

является

обобщением

понятии

к в а д р а т а множественного коэффициента корреляции. Помимо того, что функция множественной когерентности является мерой линейной статистической связи м е ж д у процессами при условиях,, оговоренных выше, она имеет и другое важно е назначение. Бли ­ зость F2ip(a) к единице является признаком того, что а) система

процессов на входе-выходе является линейной системой с посто­

янными параметрами; б) полученные оценки

спектральной и

взаимной

спектральной

плотности являются несмещенными;

в) к а ж д ы й

из входных

процессов свободен от

шума (посторон-

7 Зак . 11821

qj

ний шум не сказывается на выходном процессе); г) учтены все входные процессы, формирующие выходной процесс. Перечис­ ленные признаки являются одновременно условием для получе­ ния несмещенных оценок истинных частотных характеристик ли­ нейных динамических систем, о которых пойдет речь ниже.

§ 5. Статистическое описание линейных

динамических

систем

 

Теория случайных

стационарных

процессов

позволяет ре­

шить практически в а ж н у ю задачу

отыскания

вероятностных

характеристик реакции

системы по известным характеристикам

воздействий. Физическая природа динамической системы, осу­ ществляющей преобразование случайной функции внешнего воз­

действия в

случайную

функцию

реакции, с

математической

точки зрения

не имеет

значения.

Представляет

интерес лишь

совокупность математических операций (оператор системы),

которая ставит в соответствие

з а д а н н ы м

функциям (внешние

воздействия — вход системы)

другие

функции

(реакция

систе­

м ы — выход) . Оператор

системы является

ее

наиболее

общей

характеристикой и может

быть

з а д а н

в виде уравнений,

опреде­

л я ю щ и х физические процессы в элементах системы и связываю ­ щих реакцию на выходе с входными возмущениями.

Исследование системы по ее входным и выходным сигналам представляет собой одну из задач известной проблемы «черно­ го ящика» . Понятие «черный ящик» обозначает некоторую си­

стему, внутренняя

структура которой неизвестна и недоступна

д л я исследователя.

Изучение

структуры и

поведения

системы

проводится только

на основе

сопоставления

сигналов

на входе

и выходе. Различные статистические, в том числе прогностиче­ ские задачи, в гидрометеорологии фактически являются задача ­ ми «черного ящика» .

Например, многие исследователи настаивают на существен­ ной роли одиннадцатилетнего цикла солнечной активности в многолетней изменчивости гидрометеорологических процессов, в то время как механизм этой связи остается неизвестным. Изу­ чение связи различных гидрометеорологических процессов с по­ вторяемостью солнечных пятен, заданной хотя бы в виде чисел

Вольфа,

представляет

собой задачу

«черного ящика» .

В том

случае, когда

известна о б

щ а я структура динамической

системы, описываемая какой-либо математической моделью,

возникает з а д а ч а идентификации модели и реального

процесса.

Р а з р а б о т к о й методов идентификации с учетом реально

действу­

ющих входных и выходных процессов занимается одно из на­ правлений технической кибернетики, называемое кибернетиче­ ской диагностикой (Гельфандбейн, 1967).

О к е а н

можно рассматривать как

некоторую

динамическую

систему,

описываемую уравнениями

движения,

неразрывности,

9 8

Смотрите также файлы