Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

к а с а т е л ь н о го н а п р я ж е н и я ветра в энергию составляющих скоро­ сти дрейфового течения заданного м а с ш т а б а с помощью пере­ даточной функции была предпринята А. Д . Ямпольским (1966). Особенности процесса передачи энергии ветра течениям полно­ стью описываются теоретической передаточной функцией опре­ деленного вида. Этот подход адекватен описанию процесса с по­ мощью линейных уравнений движения в предположении, что составляющие скорости могут быть р а з л о ж е н ы в ря д Фурье по вертикальной координате, причем амплитуда к а ж д о й гармоники является функцией координат и времени.

Рассмотрим, как связаны м е ж д у собой динамические и ста­

тистические

характеристики одномерной стационарной

системы.

К а к

было

показано, если на входе

линейной динамической си­

стемы

действует

случайный стационарный

процесс x(t),

то его

с в я з ь

с процессом

на

выходе y(t)

описывается

соотношением

(5.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корреляционная функция процесса на выходе запишется

 

 

Яуу

(Ш

—M[y(ti)y(tz)

] — Ryy

(т).

 

(5.17)

Подстановка вместо

y{t\),

y(.t2) в ы р а ж е н и я

(5.4)

приводит к

 

 

 

СО

 

 

СО

 

 

 

 

 

Rvv М =

I h

(TI)

[ I h (т2 ) Rxx (x—r2+ti)

dxz ] dxi >

 

о0

где

Rxx

( t — T 2 + T 1 ) = M [x (ti-Xi)

x {U—хг) ] .

(5.18)

Соотношение

(5.18) определяет связь

м е ж д у корреляционными

функциями процессов на входе и выходе и весовой функцией ли­ нейной стационарной системы (Лившиц, Пугачев, 1963). Соотно­

шение (5.18)

м о ж н о

использовать дл я отыскания связи

м е ж д у

спектральной плотностью Svv(cd)

процесса на выходе y(t)

и спек­

тральной плотностью Sxx((£>)

процесса

на входе линейной

систе­

мы . В соответствии с определением

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

Syv (со) =

4г

j

Ryy (х) e-^dx,

(5.19)

 

S** (со) =

~

-

j " Rxx

(x) e-^dx.

(5.20)

 

 

 

 

—CO

 

 

П о д с т а в л я я

(5.18) в

(5.19),

получим

 

 

 

 

оо

 

 

CO

 

SC T (co) =

J А-(т,) { h(xz)

[

Rxx(x-X2+

 

103

+ T i ) e - ' - » ' d f ] d T 2 } d T i -

(5.21)

После замены переменной т на та(то=т—tz-j-Xi) с учетом (5.6) соотношение (5.21) примет следующий вид:

 

Syv(a)

=

\y(ia)\^Sxx(co).

 

 

(5,22)

Формула

(5.22) связывает

спектральные плотности

входного

и выходного

процессов

и амплитудную частотную характеристи ­

ку системы. При известных Sxx{(£>),

S ^ c o ) по

(5.22)

можно опре­

делить \y(ia)\.

Связь

межд у

спектральными

плотностями

вхо­

д а — выхода

системы,

ка к

следует

из (5.22),

значительно

более

проста и наглядна, чем связь

межд у корреляционными функция ­

ми. Спектральные плотности

связаны алгебраическим

соотноше­

нием, а корреляционные функции значительно более

с л о ж н ы м ,

интегральным соотношением

(5.18). Поэтому если

необходимо

отыскать корреляционную функцию процесса на выходе по ста­ тистическим характеристикам процесса на входе, проще это сде­

лать, используя

спектральную плотность процесса

на входе и

частотную характеристику

исследуемой линейной системы ( Л и в ­

шиц, Пугачев, 1963) по соотношению

 

 

со

 

 

Ryv

( т ) = 2 j

| у (too) 12 SX X (со) cos axdx.

(5.23)

 

о

 

 

В выражени и (5.23) в качестве характеристики системы исполь­ зуется амплитудная частотная характеристика, которая явным образом может быть в ы р а ж е н а через параметр ы линейной си­

стемы, тогда

как в

формуле

'(5Л8) в качестве

характеристики

системы используется

весовая

функция, которая, ка к правило, не

в ы р а ж а е т с я явным образом через параметры

системы.

Связь м е ж д у

функцией взаимной корреляции

процессов вхо ­

д а — выхода,

функцией

автокорреляции процесса

на входе и ве­

совой функцией системы, аналогично (5.18)

можно получить из:

соотношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

Rxy(x)=

Ihix^R^it-x^dxi-

 

(5.24)

 

 

 

 

о

 

 

 

Д л я взаимной

спектральной

плотности, по

аналогии с (5.21) и

(5.22) найдено следующее выражение (Гельфандбейн, 1967)

Sxu{(n)=y{i(o)Sxx(a>). (5.25)

Из (5.25) легко определяется частотная характеристика

104

I

Н а основе (5.26) получен

ря д соотношений,

имеющих

в а ж н о е

значение для практического

определения динамических характе ­

ристик одномерной линейной системы.

 

 

Действительная Р(со) и мнимая Q (со) части

частотной

х а р а к ­

теристики связаны соответственно с действительной и мнимой

частями функции

взаимной

спектральной

плотности следующи­

ми

зависимостями:

 

 

 

 

 

Р { а )

= ^ М - ,

 

(5.27)

 

 

 

S.v.v(C0)

 

 

 

 

 

•Ьл-х(со)

 

 

 

 

Ф ( » ) = а г с ^ 4 Э Г Т - -

( 5 - 2 9 )

 

 

 

•*>хх(Ы)

 

 

Qxy(a)—квадратурный

спектр, Соху—

коспектр. Д л я весо­

вой

функции

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Г

 

 

 

 

/г(т) =

— I [Р(а)

cos сот— Q(co) sin сот]Ло.

(5.30)

 

 

я о

 

 

 

 

 

П р и Т ^ О .

 

 

В ы р а ж е н и я (5.26—5.30)

при известных

спектральных

плотно­

стях

S,j„, Sxy,

которые

м о ж н о вычислить по данным

наблю ­

дении, являются

исходными дл я практического определения ди­

намических характеристик одномерной линейной системы. П р и этом предполагается, что помехи, ошибки, искажения внутри си­

стемы отсутствуют, и ее реакция определяется

только внешними

возмущениями .

 

 

 

 

 

 

 

Соотношения, аналогичные (5.25) и (5.26),

получены

д л я пе­

редаточных

функций

(Бендат,

Пирсол,

1971; Гельфандбейп,

1967)

S£y{a)=Hx((u)Sxx{a),

 

 

 

(5.31)

 

•

 

 

 

Я , ( с о ) =

S ™ { " \

 

 

(5.32)

В ы р а ж е н и я

(5.18—5.32), описывающие

связи

статистических и

динамических характеристик,

получены

 

д л я линейных

динами ­

ческих систем, на входе которых действует один процесс,

порож ­

дающий соответственно

один

процесс на

выходе. Однако доста­

точно часто приходится иметь дело с линейными системами, на

входе которых действует несколько

входных

процессов, генери­

р у ю щ и х один процесс на выходе. В случае

некогерентных про­

цессов на

входе, ка к показано в книге Д ж .

Бендата, А. Пирсо-

л а (1971),

в ы р а ж е н и я (5.18—5.32)

остаются

справедливыми . В

с л у ч а е ж е

коррелированных процессов на входе картина услож ­

няется.

 

 

 

105

Р а с с м о т р им случай, когда на входе системы действуют д в а когерентных процесса Xi(t) и х 2 ( 0 , п о р о ж д а ю щ и х один процесс иа выходе. Передаточны е функции и частотные характеристики систем могут быть найдены по информации о спектральной плот­ ности из выражений

5 1 г / ( _ с о ) = Я 1 ( с о ) 5 1 1 ( ю ) + Я о ( с о ) 5 1 2 ( о 5 ) ,

 

(5.33)

5 2 г / ( с о ) = : Я 1 ( с о ) 5 3 1 ( с о ) + Я 2 ( с о ) 5 о 2 ( с о ) .

 

(5.34)

Если при этом F 2

j 2 ( C U ) ^ = 1

и

(со) ФО

решением

(5.33)

и (5.34)

являются

 

 

 

 

 

 

 

 

Н Л & ) -

5 и ( с о ) [ 1 - ^ ( с о ) ] '

 

'

( 5 - 3 0 >

 

*»(*>) [

1 -

fflff]

]

 

 

Я П » )

=

- L .

 

S"™**}")

 

•

(5.36)

где

 

52 2 (co)

[ 1 — F2r

(со) J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F]A»)

=

-

,

 

 

 

(5-37)

 

 

 

о н ( ы ) о 2 2 ( С 0 )

 

 

 

И Л И

и

,

s

Я

4 (со) =

t/

/

\

Я2 (со) =

•Sl v -(t o)52 2 (co)—52„(co)Sia-((o)

, „ - v

g

, g

, чr

(5.35a)

013(00)002

(со) —

|oi2 (co) | -

 

52 ,Дш)5ц(ср)—Su,((o)S2 i'(u))

, „ „ v

.

—

— -

(5.36a)

on(co)o2 2 (co) — |oi2 (co) I "

Знаменател ь уравнения (5.35) представляет собой спектр оста­

точного

процесса

Axi(^)

(см. § 4 гл.

 

I I ) . К а к упоминалось

в § 4,

Axi(t)

получается

после

вычитания

из Xi(t) результата

линейно ­

го прогноза Xi(t)

по xi(t).

Числитель в

(5.35)

является в з а и м ­

ным

спектром

остаточных

процессов

Ay(t)

и Длз(^), где Ay(t)

по ­

лучается

к а к

разность

исходного

и

прогнозируемого

по

x2(t)

процесса

y(t).

Учитывая

 

это,

уравнения

(5.35)

и (5.36)

м о ж н о

переписать в следующем

 

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЯЦсо) —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5ц.2 (со)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.38)

 

 

 

 

 

 

 

•S27/.1

(со)

 

 

 

 

 

 

 

 

Я2 (со)

= •S22.l(co)

 

 

 

 

или при тригонометрической форме записи комплексных величин

106

 

 

 

 

l-ffi'(co) | - =

-

Su3

(co)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.38a)

 

 

 

 

| Я 2 ( с о ) | 3 =

 

5 TO.i(w)/ = '2j/i(a))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2 2.l(CLl)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф ,(ов) = arctg

— - — - —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L Re5j„.2(co) J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.386)

 

 

 

<pa (co)=arctg — - 5 - 5

 

\ '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

Ке52 г / Л (со)

J

 

 

где Sty.z,

Szy.u

. . . , S11.2 п т. д. — функции

остаточной

спектраль ­

ной

плотности,

Р\ущ9

• F%

 

— функции

частной

когерентности,

|#II(CU) |,

|Я2 (со) |, ф1(со), ф2 ((й)

— соответственно

модули и аргу­

менты передаточных

функций. Рассмотренный выше

случай яв ­

л я е т с я наиболее

общим . В

частном

случае

некоррелированных

входных

процессов,

когда F 2

2

( c o ) = 0 ,

члены

Si2'(co) и 52 i(co) так ­

ж е

равны нулю,

и уравнения

(5.35)

и (5.36)

сводятся

к соотно­

шениям

типа

(5.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я 1 ( со) = Ь т Т - '

Я,(со) = 4^ - .

или в тригонометрической форме

| # i ( c o ) | 2 =

 

5 t o ( C U ) F 2 I J / ( C . ) )

 

Sa(co)

 

 

 

 

 

 

 

| Я 2 ( с о ) | 2 -

Syy(a)F22y(a)

 

 

5 2 2 ( C U )

 

 

 

 

 

 

 

, ,

,

Г

ImSl v (co) ]

9 ,(co) =

a r

c t

g [ - ^ - ^

r

J

. .

,

Г

lmS2y{a)

 

1

( 5 - 3 9 )

(5.40)

(6.39а)

(5.396)

Н а

основании (5.33—-5.36) можно т а к ж е выразить

когерент­

ность

Fa y (co) и ^ ' ( с о ) коррелированных процессов на

входе че-

107

Смотрите также файлы