Файл: Гинзбург И.П. Пограничный слой смеси газов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 204

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 97 -

dt

j=t

J

( 2 .1 )

 

 

 

 

 

Рассмотрим сначала левую часть уравнения ( 2 . 1 ) . В соот-

ветствии с рис.З [ложно рассмотреть количество движения

I

-й

компоненты газа в элементарном

объеме b V -p iV itIV

,

про­

суммировать по всем элементарным объемам и получить выражение для количества движения I -й компоненты в объеме V" , т .е .

к --Urn

Г

P.-VjAV-fffpiyidV.

 

( 2. 2)

 

aLhi

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение'

количества

движения

в

единицу

времени

в соответствии с известным правилом

может

быть

записано та к :

§ = ± (

Ш

р

л

м М ^ +

[

[ р

л

vtn d s .

а

(V)

 

 

(V)

 

(S)

 

 

После применения преобразования Гаусса - Остроградского преды­

дущее соотношение

преобразуется:

 

-“*•

—у.

 

. д

w i _

d k i . f f r j d f l j V j

. д

dt

dt

■ иШ и)+а$1Щ)*П(р№1МУ. (га)

 

 

 

 

 

 

 

-

98 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим правую часть

уравнения

( 2 Л ) .

Внешние

силы

 

 

 

 

, действующие на массу mL

,

находящуюся

в

объеме У ,

будут

складываться из объемных и поверхностных сил.

 

 

 

Величина объемных сил, действующих на

I

-ю

компоненту га­

за , считается пропорциональной массе. Объемные или

массовые си­

лы могут

быть представлены выражением

 

JJj 0, F d V

 

 

,

где F; ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M rL

с

-й

компоненты

суммарная сила, действующая на единицу массы

жидкости

или га за .

К

объемным силам могут

быть

 

отнесены

силы

тяжести или другие силы, обусловленные ускоренным движением

всей массы жидкости,

а также силы, возникающие

 

от

действия

электрических и магнитных полей, например,

сила Лореитца. Кро­

ме

то го ,

обозначим

суммарную

силу, действующую

 

на

 

L

частицы

со

стороны других

J

частиц

смеси га зов (

I t j

 

)

через

 

 

 

 

 

’ а ПРИТ0К количества движения,

связанный

с при­

то ко м

массы U)L

, через

f f f Ш['Zi<iV-

 

 

 

 

 

 

 

 

К

поверхностным

силам, действующим на

L -ю

компоненту

га за ,

относятся силы,

действующие на поверхность

S

,

ограни­

чивающую объем V , со стороны окружающей жидкости. Эти силы

мы представш в виде

сил давления и сил трения.

Будем называть

парциальным давлением

рс

поверхностную силу,

действующую на

элементарную площадку, проведенную через данную

то чку , величи­

на которой ке зависит от ориентации площадки, к которой она

приложена (са.рио.Э,).

Силы парциального давления,,

действующие

на

весь

объем У ,

могут быть

представлены

л видо

-ffp-n’d.S .

где

П

-

'

единичная нормаль к

элементу

 

 

 

cs;

1

, 0

внешняя

 

поверхности СО ,

а знав

"

-

" показывает, что

силы давления

неправлены

в

сторо­

н у ,

обратную направлению нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ’ca yrr.тирующую силу

тропхя также

предо га лж

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

-

99 -

 

 

 

JfT-

dS f

гдэ

t in

являе тс я

напряженней трения,

т . е .

ве к -

тором

силы

трения,

действующей на площадку с единичной пло­

щадью,

положение

которой в пространстве определяется

единичной

 

 

-г

 

 

 

 

 

 

 

нормалью

л .

 

 

 

 

 

 

 

С целью дальнейших упрощений преобразуем двойные интегра­

лы по поверхности

Ь

в тройные

интегралы по

объему

7 .

Рас­

смотрим,

например,

выражение для сил давления

~JJp;ncLS-

 

Б соответствии с

 

 

 

 

IS)

 

 

правилом Остроградского - Гаусса запишем, что

JfpLndS =ffpi{Uas(n*j()+jcos(nj) +tcos(n*z)]dS =

(s)~ " is)

(2 .4 )

где

знак

Чр[

обозначает

градиент давления pL

 

т . е .

 

 

 

, л_ д( ) ? . ! (

) ^ + дС )

к

 

 

 

 

 

 

) - Т ( Г *

L

+

 

J

д г

 

 

 

 

 

 

дх

1

 

 

 

 

 

 

Упростим

выражение

для

сил трения, учи ты ва я,

что

напря­

жение

трения,

приложенное

к

площадке,

нормалью к

которой я в ­

ляется

~П ,

т .е . величина

(Z in)

,

монет быть

представлена

в форме Коши,

т .е .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t Ln = т и

С 0 9 ( п У ) + ? i y C O S ( n j } + Z i z COS{n}z ) }

 

( 2 . 5 )

где

Z-Lj

(j- X ^ jZ )

-

лалршкепие

трения, приложенное к

площадке,

нормалью к которой

являе тс я

направление

j

, т .е .

х. У ,z.

Сучетом формулы Коши запишем

J jz ln d $ -JJ\xLхСО$(п*х) +TL cos( n j ) +Г(2COS(n*z)}dS

(S)

(S) L

J

 

 

-

100 -

 

 

d r a , df iy +

m t l . v

( 2.6)

■ If f

dx

dy

dz

 

(v)

 

 

 

 

Подставляя соотношения ( 2 . 4 ) , ( 2 .6 ) в правую часть урав­ нения ( 2 .1 ) с учетом соотношения ( 2 .3 ) , отбрасывая в силу про­ извольности объема V тройные интегралы, получим закон изме­ нения количества движения для L -л компоненты газа в диффе­ ренциальной форме:

dt

 

 

dx (fi-Vi

+ dy {ft vi vcy)+dz (pi vi viz) =

(2 .7 )

 

 

 

 

 

 

 

dzti

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= P - f r 7P i + ^ f + l f + ^dzt + P i f i +

 

 

 

Просуммировав по всем компонентам смеси

^

уравнений

(2 .7 )

получим

уравнения движения

для смеси га зо в:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w t № . ? r . . 1 .

S f f

 

 

(Я)

 

(Я)

Я

, я

а

, Я ч

 

о Я ч

( 2 . 8 )

+

/

i

F‘

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приче^.1

в

силу третьего закона Ньютона, L р^гL ~0

 

, а та к-

жа

Ц Ш; Z /

=0 ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(О

L L

 

 

 

 

 

 

В дальней­

 

Введем

осредненные характеристики смеиит га зо в.

шем будем называть

средней

скоростью смеси га зов величину

 

 

 

 

 

 

pi ^С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V ~~~~P

'

 

 

 

 

(2 .1 0 )

 

Будем говор ить, что истинная

скорость движения

L - il ком­

поненты

газа

V/

отличается от

средней

скорости всей

смеси

п.ч некоторую

величину

С:

которую назовем диффузионной

Смотрите также файлы