Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.06.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и присоединим к нему еще одну точку А из R1. Получаем новый репер, определяющий пространство R k + l . Оно имеет с R1 только

одну общую точку А ,

так как в противном случае по фор­

муле (3.1) подсчитываем:

(k+\)+l—и>0

 

или k + l^n,

что

противоречит условию.

 

 

 

 

 

 

 

 

Присоединим к новому реперу еще одну точку В из R1. Воз­

никает пространство Rk+2,

имеющее с R1

только одну общую

прямую АВ, и т. д. В конце концов убеждаемся, что образы R'1

и R1 определяют совместно пространство

 

Rq, репер которого

включает

в себя

(q+\)

= (k+\)

+ (1+1)

точек. Ri

именуется

объединением

образов

Rh

и R1.

Символическая запись:

=

= Rk-Rl.

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

(3.2)

 

 

 

q =

k +

l + l .

 

 

Формула (3.2) позволяет подсчитывать размерность объ­

единения

двух

пространств,

не имеющих

общих

элементов.

Например, два пространства

Ri

и R3 дают

в объединении

R8,

если они не включены сами в пространство более низкой раз­ мерности.

5.

Пусть

имеется множество

геометрических

образов

0tczRn.

Известно, что образ Фг- пересекается в одной

или не­

скольких точках с пространством

Rs.

Известно также, что t

точек

общего

положения вполне

определяют образ

Ф,, т. е.

составляют его репер.

 

 

 

Для того чтобы выделять по мере

надобности любой эле­

мент Ф{ из указанного множества, будем применять следую­

щий способ. Фиксируем в Rn

заранее

систему

отнесения, со­

держащую t пространств Rs:

Ris, R2S,...,

/?д

Все они зани­

мают общее положение. Отметим в каждом из них по одной

точке (или соответственно по несколько

точек). Тогда

репер

элемента Ф, набран, и элемент Ф, выделен. 1

 

Положение точки А \ в пространстве Rs

определяется

коор­

динатной системой, включающей в себя

s одномерных

обра­

зов (3.1.1). Иными словами, положение точки А \ определяют

б' параметров. Всего на выделение

элемента Ф,- расходуется

параметров

 

j<i, = s-t.

(3.3)

1 Образ Ф( может не пересекать Rs в действительных точках. Но в дан­

ном рассуждении различие между действительными и мнимыми элементами несущественно.

75

Число ]Ф условимся называть в дальнейшем

информационным

индексом

элемента Фг-. Размерность множества, состоящего из

элементов

Фи также, очевидно, определяется

числом j Ф. Тер­

мины «размерность» и «информационный индекс» дублируют

друг друга, но первый из них относится, как правило,

к мно­

жеству элементов,

а второй — к элементу

множества.

В этом

и заключается их

различие, полезное для

практики.

 

6. Определим информационный индекс элемента Ri"\ вхо­ дящего в множество всех Rm, заполняющих пространство Rn.

Согласно формуле (3.1) Rm пересекается в точке с прост­ ранством Rn~m. Значит, в данном случае s=(n—m). Репер элемента Rm состоит из ( т + 1 ) точки. Поэтому t=(m+l). Применяя соотношение (3.3), получаем

jm=(n—m)(m+l).

(3.4)

Итак, если Rn рассматривается как совокупность линейных образов Rm (а не как совокупность точек), то его размерность равна ( я — m ) ( т + 1 ) . Например, прямые линии, заполняющие R3, составляют четырехмерное множество. Плоскости, запол­ няющие Ri, составляют шестимерное множество и т. д. Заост­

ряя эту мысль, следует сказать, что геометрическое

простран­

ство не имеет определенной

размерности;

размерность

его за­

висит от выбора тех объектов, которые будут приняты в каче­ стве элементов множества. Это утверждение снова напоминает нам об инвариантной неопределенности, предпосланной поня­ тию о размерности пространства (3.1.1). Одним из ингредиентов такой инвариантной неопределенности является, как было показано, представление о геометрическом элементе. Учитывая

это, условимся

кроме символа Rn

применять

также

(в случае

необходимости)

символ

R"11,

который позволяет

заметить,

что размерность п возникает при выборе элемента Rh При

/ = 0

индекс

/ опускается.

 

 

 

 

 

 

 

 

7. В

пространстве

Rn

выделим

линейный

образ

Rk

и рас­

смотрим множество всех R1, содержащих в себе R'', при усло­

вии, разумеется, что !>k.

Это множество условимся

именовать

звездой.

Образ Rh — центр

звезды, образ

R1—ее

элемент.

Каждую звезду характеризуют три числа: k,

I и п. Символиче­

ская запись:

RMn.

 

 

 

 

 

 

 

 

Зная

числа

k, I, п,

нетрудно вычислить

информационный

индекс элемента звезды. Воспользуемся соотношениями

(3.3)

и (3.4). Здесь

s=(n—/).

 

Поскольку образ R1 проходит

через

(fe+1) заранее фиксированных точек, составляющих

репер

Rh,

7ti

то подлежит

свободному

выбору

еще (/+1) —

(& + !) = ( / — k )

точек, т. е. в данных условиях

t=

( I — k ) . Поэтому

 

 

 

 

 

j3B=(n-l)(l-k).

 

 

 

 

(3.5)

 

Заметим, что, приняв за центр звезды точку, получаем / з в =

— (п—/)•/.

Если

же размерность

k уменьшить еще на одну

единицу,

полагая

в качестве

центра

пустой

объект — нуль

(ср. 1.2.5, 1.2.6), то звезда НЫп

вырождается

в пространство

R~~]J",

т. е. в множество элементов R1, заполняющих Rn, а фор­

мула (3.5) автоматически переходит в (3.4). Если звезду

R*>ln

рассматривать как множество элементов R1, образующих ли­

нейное пространство, то естественно использовать

предложен­

ный выше символ

/ ? ( " - ' ) С-И)/'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. Нелинейные

пространства

 

 

 

1.

Внутри пространства Rn

кроме

линейных

образов

R'\

R l , . . . , R n ~ l

существует

бесконечное разнообразие

искривлен­

ных форм. Простейшие из них имеют размерность 1 и распола­ гаются на плоскости.

Каждый криволинейный образ, если он является объектом изучения, должен обладать определенными свойствами, позво­ ляющими выделить его из бесконечного множества других криволинейных форм. Иными словами, каждый такой образ FN связан с некоторым геометрическим аппаратом, состоящим из линейных пространств и доставляющим последовательно, фигура за фигурой, все элементы, принадлежащие FN. Криво­ линейный образ FN задан, если указан алгоритм его построе­ ния или, что то же самое, если указан его репер.

Рассмотрим, например, на плоскости геометрическую кон­ струкцию, включающую в себя три точки Sx, Q, S2 и две пря­ мые линии Sj и s2 (рис. 3.1). Алгоритм построения, доставляю­ щего элементы кривой линии /, заключается в следующем:

а)

проводим прямую a^Si

(/=1);

 

б)

отмечаем

точку

A{=aiXsi;

 

в)

проводим

прямую

/== Л1 Qi;

 

г)

отмечаем

точку / 1 2 = /Xs 2 ;

 

д)

проводим

прямую

a 2 = S 2 ^ 2 ;

 

е)

отмечаем

точку

Ms^alXa2.

в геометрии

Элемент М принадлежит

кривой /, которую

принято именовать коническим

сечением, или

коникой, или

кривой

второго

порядка.

Повторяя построение, будем получать

77

другие точки, принадлежащие /. Если на самом первом этапе

выбирается прямая а

1 = 5 1 5 2 , то, очевидно, на последнем

этапе

получаем

точку M =

S2.

Отсюда

видно, что кривая /

проходит

через Si,

S2.

Она проходит также через точку P

=

S\Xs2.

 

Фиксируем заранее пять точек кривой

f: Su

S2,

М,

N, Р.

Тогда можно через Р

провести линии s b s2,

а затем, используя

лучи SiN,

S2N

и т. д., найти центр Q. Нетрудно проверить

(или

доказать), что выбор

прямых s

^ P , S2ZDP

не влияет

на

окон­

чательный результат. Следовательно, пять

точек

общего

поло­

жения составляют репер

кривой

второго

порядка.

 

 

Рис. 3.1

Рис. 3.2

2.Алгоритм построения подразумевает наличие некоторого репера; из алгоритма, как мы только что видели, можно из­ влечь репер. С другой стороны, задание репера подразумевает наличие некоторого алгоритма. Бесполезно указывать репер, если неизвестно, как получить на основе его все другие элемен­ ты искомого геометрического образа. Один и тот же репер мо­ жет определять различные и несхожие во многих отношениях объекты. Например, пять точек определяют и многоугольник, имеющий пять вершин, и кривую второго порядка. Поэтому всегда полезно помнить об условном значении действующих здесь терминов и конкретных представлений: искривленное пространство FN зависит от выделенного репера; выделенный репер должен быть дополнен алгоритмом построения; алго­ ритм построения базируется на использовании линейных про­ странств R°, R1 . . . RP и, разумеется, на всей предшествующей этому инвариантной неопределенности.

3.Конструкцию, показанную на рис. 3.1, заменим аналогич­

ной фигурой, состоящей из трех прямых su s2, q и двух точек

78

Si, S2

(рис. 3.2). От точки Aiczsi

(/=1) последовательно пере­

ходим

к точкам Lczq, A2czs2

и получаем

прямую

т=АхА2.

Продолжая эти операции, выявляем множество прямых т, п, I

Такое

множество называют обычно пучком

второго

порядка.

Оно представляет собой пример одномерного нелинейного пространства, элементами которого служат прямые линии. Через каждую точку на плоскости проходят два элемента дан­

ного множества. К числу

этих элементов относятся и

прямые

S \ , s2, SiS 2 =p . Нетрудно

заметить, что пять прямых

sit s2, р,

m, п, входящих в пучок второго порядка, позволяют фиксиро­ вать рассмотренную конструкцию. Пять прямых общего поло­ жения составляют репер пучка.

4. Повышая размерность пространства, содержащего не­ линейную форму, и вводя соответствующий алгоритм построе­ ния, нетрудно выделить кривое пространство двух, трех, четы­

рех измерений и т. д.

 

Например, в R3 фиксируем скрещивающиеся прямые /, пг, п.

Алгоритм построения включает в себя

две операции:

а) на прямой / выбираем точку L

(/=1);

б) через точку L проводим прямую линию k, пересекающую

m и п.

 

Полученная прямая линия k представляет собой элемент множества. Совокупность таких прямых образует одномерное кривое пространство F1. Однако если рассматривать множе­

ство точек, входящих в F1, то мы заметим, что они

заполняют

некоторую поверхность, т. е. составляют двумерный

образ F2.

В геометрии

этот образ

принято

именовать линейчатой

квад­

рикой, или поверхностью

второго

порядка.

Во избежание

дву­

смысленности и по аналогии с предыдущим (3.1.6)

условимся

обозначать

нелинейное

пространство

символом F"1', где / —

размерность

линейного

элемента

R1,

порождающего

Fn.

При 1—0 индекс / в обозначении

опускается.

 

 

5. В качестве иллюстрации рассмотрим еще одно нелиней­ ное пространство F211 =F3.

В R4 фиксируем плоскости а, р\ у, 6, не принадлежащие вместе или по группам одной звезде R*-2' " (k = 0; 1). Алгоритм построения включает в себя пять операций:

а)

проводим

RlzDanRl^^

(/=1 +

1=2);

б)

отмечаем пересечение ^ X ^ = t;

в)

находим

точку М =

яХу;

 

г)

берем объединение

Rt=M6;

 

д)

отмечаем

прямую m==Rlxn.

'

79

Смотрите также файлы