Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.06.2024

Просмотров: 160

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

точку A'czR1". В результате приходим к однозначному (в одну сторону) или многозначному процессу кодирования: всем точ­ кам А{ образа RJ соответствуют одна или несколько точек

A'czR™

Пространство RJ обычно именуется проектирующим эле­ ментом; пространство Fh (если оно существует)- центром или

ядром проектирования.

 

 

 

 

 

 

 

4. Заменяя пространство R"

пространством/7 '"",

проще все­

го

выбрать в /\) п какую-либо

звезду Rhh\

удовлетворяющую

требованию

 

 

 

 

 

 

 

 

(п — l)(l

— k) — m.

 

 

 

 

 

Тогда проектирующими элементами будут служить прост­

ранства

RilZDRh, а центром

проектирования — Rh.

Процесс

ко­

дирования называется в этом случае операцией линейного

про­

ектирования.

 

 

 

 

 

 

 

Например, в пространстве R3

выделим звезду R0'1,э.

Символ

ее

как

самостоятельного

пространства-

Z?2'1.

Размерность

ее

как

точечного пространства определяется

по

формуле

(3.6): 2 + 1=3. Отсюда видно, во-первых, что з в е з д а / ? э ' 1 , 3 может быть использована для проектирования на плоскость а ( т = 2), во-вторых, чго она пригодна для проектирования точек трех­ мерного пространства (/п + / = 3). Оба упомянутых выше требо­ вания (3.3.3) выполняются.

Другой пример. В пространстве R5

выделим звезду,

пригод­

ную для проектирования точек R5 на

пространство R3.

В этом

случае нужно иметь:

 

 

 

(5 — /) (/ — k) =3;

 

 

3 + / = 5.

 

 

 

Из полученных уравнений находим 1 = 2, k=l. Звезда

2 - 5

может быть использована для намеченного линейного проекти­ рования.

Если пространство Fmil, заменяющее R", нелинейно, то ход рассуждений в принципе сохраняется. Рассмотрим, например, в R'a пространствоFm >1 , элементами которого являются лучи, пе­ ресекающие фиксированные прямые рад. Для того чтобы вы­ брать один луч, достаточно отметить на р и q пару точек. От­ сюда видно, что j = m — 2. Размерность Fm>x как точечного мно­ жества находим по соотношению (3.6): 2+1=3 . Итак, прост­

ранство

F2/1

пригодно для проектирования точек

R3 на

точки

R7. Операция

проектирования в этом случае называется

нели­

нейной.

Центром проектирования служат прямые р

и q.

 

84

 

5. После

того

как проекционный аппарат — пространство

fnni

— выбран, нужно сопоставить элементы Fmlt

с элемента­

ми

Rm. Как

уже

говорилось (3.3.1), это сопоставление (коди­

рование) может осуществляться различными способами, среди которых полезно отметить один особенно простой, хотя и не всегда выполнимый, прием.

 

Согласно требованиям «а» и «б» выдвинутым в

(3.3.3),про­

странство Fm>l%

как

точечное

множество, имеет размерность

п.

Соотношение

(3.6)

позволяет записать: т + 1 = п. Отсюда

/ =

= п — in и, следовательно, пересечение элемента RlczFm>1

с

Rm

даст точку R'xRm

=

R0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем — если это возможно — пространства Rv,

F'"1'

и

Rm

в такое расположение, чтобы элементы Rt'cz Fm!'

пересекали

Rm . Тогда каждому определен­

 

 

 

 

 

ному Ril

отвечает в Rm

опреде­

 

 

 

 

 

ленная

точка

 

 

R^-SBR^XR"1.

 

 

 

 

 

Иными

словами,

процесс коди­

 

 

 

 

 

рования сводится при этих ус­

 

 

 

 

 

ловиях

к процессу

пересечения

 

 

 

 

 

элементов

RJ

с

Rm.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так, проектируя точки трех­

 

 

 

 

 

мерного

 

пространства

R3

на

 

 

 

 

 

плоскость а с помощью звезды

 

 

 

 

 

/?0 Л '3 ,

 

можем условиться

пе­

 

 

 

 

 

ресекать лучи звезды с пло­

 

Рис. 3.4

 

 

скостью

а (рис. 3.4). В резуль­

 

 

 

тате

этой

операции

точкам

 

 

 

 

 

Л,

В,

С, . . ., cz.R3,

лежащим

на

луче kzsS,

сопоставляется

их

проекция — точка А а ==Ва...,

принадлежащая а.

 

 

 

 

6. Обобщая предыдущие рассуждения, можно рассмотреть

пространство

Fm!',

 

элементами

которого

служат

нелинейные

обе азы F1. Например, семейство концентрических

окружностей

на

плоскости

представляет

собой одномерное

пространство

/у'1 ,

причем

нижний индекс в

обозначении указывает

на

ис­

кривленность элементов этого пространства. Как точечное мно­ жество, пространство F)IX имеет размерность 1 + 1=2. Оно пригодно поэтому для проектирования точек плоскости на пря­ мую или кривую линию.

Вообще все, что говорилось выше о проектировании эле-

ме; тов Rn на элементы

Rm, непосредственно

распространяется

и ка случай двух нелинейных пространств Fn

и Fm.

Для

того

чтобы отчетливо

понять

это, достаточно вспомнить,

что

Fn и

F'", так же как R"

и Rm,

представляют собой, прежде всего, два

85

множества. Различие между линейными и нелинейными прост­ ранствами возникает лишь при их взаимном и относительном сопоставлении. На развитые выше представления об операции проектирования это условное различие никакого существенно­ го влияния не оказывает.

Возможные дальнейшие обобщения связаны с использова­ нием в процессе проектирования таких геометрических прост­ ранств, элементами которых являются разноименные по отно­

шению к Rn образы. Столь далеко обобщенные варианты

опе­

рации проектирования здесь не рассматриваются.

 

 

 

 

 

7. Проектируя элементы Rn

на R™, для каждой точки

AczRn

поручаем одну или несколько проекций А', А", А'",

.... в

Rw.

 

Одна проекция возникает в ре­

 

зультате линейного

проектиро­

 

вания. При нелинейных

вари­

 

антах

источником

 

многознач­

 

ности

служат

обычно

следую­

 

щие

обстоятельства:

либо

че­

 

рез точку

A<^Rn

проходит

не­

 

сколько проектирующих

обра­

 

зов;

либо

через

А

 

проходит

 

единственный

проектирующий

 

образ, но

он

пересекает

Rm

в

Рис. 3.5

нескольких

точках, либо,

нако­

4

нец,

оба

фактора

действуют

одновременно.

 

 

 

 

 

 

На рис. 3.5 показано проектирование точек плоскости а на прямую k. Проектирующие образы — прямые линии — должны казаться коники f. При данных условиях через каждую точку

Acza общего положения проходят две проектирующие

прямые,

и точка эта имеет, следовательно, две проекции — А,/,

А," (ко­

дированием пересечение niiXk=Aii'

и т. д.).

 

§ 4. Ограничения пространства на бесконечности

I . Структура геометрического пространства в том виде, в каг.ом она представляется интуитивному воззрению, не позво­ ляет сделать никаких определенных заключений о характере «замыкания» пространства па бесконечности. Однако на прак­ тике, при конструировании и использовании геометрических мо­ делей, часто бывает необходимо замкнуть пространство, т. е. высказать некоторые предположения, или, вернее, утвержде-

86

пин, относительно характера геометрических образов, ограни­ чивающих пространство па бесконечности.

По-видимому, свойства пространства на бесконечности мо­ гут быть установлены произвольно или почти произвольно. Осо­ бенного внимания, с исторической и практической точек зрения,

заслуживают следующие три варианта

моделей:

 

а)

пространство

Rn

завершается

на

бесконечности

единст­

венной точкой

 

 

Rn

 

 

 

 

 

 

 

б)

пространство

завершается

на

бесконечности

единст­

венным подпространством

(гиперплоскостью)

Rn~x;

 

в) пространство R11 завершается на бесконечности единст­

венной (п—1)-мерной

 

квадрикой F n _ I .

 

 

 

2. Для того чтобы получить

 

 

 

 

отчетливое

и

по

возможности

 

 

 

 

наглядное

представление

 

об

 

 

 

 

этих

вариантах

моделей,

рас­

 

 

 

 

смотрим их на примере дву­

 

 

 

 

мерного

пространства — пло­

 

 

 

 

скости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

Вычертим

на

плоскости

 

 

 

 

окружность /

с

центром

 

И2

 

 

 

 

(рис. 3.6). Все точки, располо­

 

 

 

 

женные вне ее, промоделируем

 

 

 

 

точками, расположенными

вну­

 

 

 

 

три. Это показано на примере

 

 

 

 

точки

А\.

Проводим

через

А\

 

 

 

 

луч

UiA\

и

касательные

к /

 

Рис.

3.6

 

прямые A]Ki, А\1\. На пересе­

 

 

 

 

чении Л ill ^ и К\1\

находим модель — точку Л2 . В геометрии та­

кой способ моделирования имеет специальное наименование —

инверсия.

Нетрудно показать, что инверсия переводит произвольную прямую а\ в окружность а2, проходящую через центр Ь2. Если точка Ах пробегает вдоль прямой ах, удаляясь в бесконечность,

то ее

модель А2

пробегает

окружность

а2

и приходит в

центр

U2. Отсюда

можно заключить, что все

прямые

плоскости про­

ходят

через

одну

точку

£/ь

расположенную

 

в

бесконечности.

Моделью ее служит центр окружности / — точка

U2.

 

б)

Спроектируем элементы плоскости

а

на

плоскость |3

(рис.

3.7). Для операции

проектирования

используем

звезду

50,1,з_ Хочки плоскости а моделируются точками плоскости |3;

прхмые линии аЛ,

Ь*... — прямыми ар , 6а .... Если точка Аа

прибегает прямую

аа, удаляясь в бесконечность, то на модели

87

(in плоскости p) точка Aa пробегает прямую ар и приходит в точку Uр. Последняя возникает на пересечении луча SU$, па­ раллельного а*, с плоскостью (5.

Повторяя это рассуждение, убеждаемся, что на плоскости р определяется прямая щ, принадлежащая плоскости \^>S, па­ раллельной а. Прямая и р —- модель геометрического образа иа, расположенного на бесконечности. Поскольку прямые линии

моделируются прямыми

линиями, можно утверждать, что об­

ра., иа— прямая линия.

 

 

Рис. 3.7

Рис.

3.8

в)

Спроектируем элементы

плоскости

а

па полусферу F2

(рис.

3.8). Для операции проектирования

используем звезду

£0,1,з_ Полученные на полусфере элементы спроектируем обрат­

но на плоскость а. Здесь действует звезда 7"0 '1 '3 , причем

Т —

полюс сферы F2,

взятый иа диаметре ST_La.

 

В результате

точки плоскости а моделируются точками той

же плоскости, расположенными

внутри окружности и2. Напри­

мер, точка А\ переходит в A'aF2,

а затем — в А2. Легко

заме­

тить, что концентрические окружности ju, имеющие центром точку 0 = 57'Ха, моделируются окружностями f2i с тем же центром. Окружность и2 , принадлежащая ко второй совокуп­

ности, является, очевидно,

моделью

образа иь замыкающего

плоскость а на бесконечности. Образ

их принадлежит к первой

совокупности, т. е. является

окружностью.

3. Приведенные примеры иллюстрируют равноправие пере­

численных, а также и многих других

геометрических моделей

бесконечности, относящихся к двумерному пространству. По­ высив размерность на единицу, получим трехмерное простран­ ство, замкнутое точкой, плоскостью или сферой (квадрикой).

«а

Смотрите также файлы