Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Прямая т представляет собой элемент множества. Оче­ видно, она пересекает все четыре плоскости. Совокупность таких элементов образует пространство F2 / 1 . Так как каждая прямая линия является одномерным точечным пространством,

6. Пересечение нелинейных пространств с линейными про­ странствами и между собой определяет новые геометрические образы, размерность которых устанавливается с помощью со­

димо брать размерность точечных пространств и полученное число также относить к. точечному множеству, так как именно

мнимых. Ясно, что в любом случае размерность этого образа равна единице.

Те же самые соображения действуют и при оценке пересече­ ний двух нелинейных пространств. Две коники, расположенные в одной плоскости, имеют четыре общие точки. Размерность пересечения равна нулю (1 + 1 —2 = 0).

Разумеется, можно рассматривать также пересечения ли­ нейных и нелинейных множеств, элементами которых являют­ ся прямые линии, плоскости, трехмерные пространства и т. д.

и составим бесконечное множество, элементами которого явля­

составляют р-мерную поверхность, или /7-мерное пространство, FP—Fgl>l. Если р<п и существует линейный образ, который в

80

Рекомендуется проверить таким способом размерности про­ странств, упомянутых в 3.2.6, а-д.

Поскольку признак, разделяющий элементы Ri на два клас са, не задан заранее, постольку и размерность р не имеет сво­ его формально определенного выражения. Как только этот признак выбирается и задается, так сразу же выявляется - - по крайней мере в принципе — и размерность р. Приведенные выше примеры иллюстрируют этот факт.

§3. Операция проектирования

1.Два пространства, имеющие одинаковую размерность, обычно оказываются весьма пригодными для взаимно одно­

значного кодирования (см. 1.4.9; 1.4.10). Это означает, что с помощью сравнительно про­ стых геометрических операций удается попарно сопоставлять элементы, принадлежащие пер­ вому и второму пространствам.

Отметим, например, на пло­ скости а окружность / (рис. 3.3)

поставим прямую а, Ь, с, ..., cz R m , и наоборот. Если точка А лежит вне окружности f, то проведем через нее касательные к / прямые АК и AI. Через точки К, I проходит прямая а. Если точка С лежит внутри окружности /, то проведем через нее хорды — KI и MN. Обратным построением находим точки А и

82

В — образы прямых а = / С / и bs=MN. Через А, В проходит пря­ мая с.

В геометрии этот способ кодирования носит название кор­ реляции [36—40]. На основании принятых аксиом доказывается, что точки и прямые сопоставляются взаимно однозначно и с сохранением непрерывности.

Другие разнообразные геометрические приемы позволяют сопоставлять элементы других пространств. Во всяком случае эта приемы достаточно естественны и просты, они достаточно успешно конкурируют с кодовыми таблицами (которые здесь должны были бы продолжаться до бесконечности), если толь­ ко оба пространства имеют одинаковую размерность.

2. Элементы двух пространств, имеющих различную размер­ ность, также можно организованно сопоставить друг с другом, но при этом по чисто практическим соображениям приходится отказаться от взаимной однозначности. Главным ограничени: ем оказывается сохранение непрерывности. Если кодирование должно сохранять непрерывность — а это практически всегда необходимо, или, по крайней мере, чрезвычайно полезно, — то нужно пойти на использование неоднозначного кода (1.4.11; 1.4 12). Модель, сконструированная на основе такого кода, ста­ новится гомоморфной. В подобных случаях широко распрост­ раненным и удобным геометрическим средством, позволяющим сопоставлять элементы двух пространств, является операция проектирования.

3. Пусть рассматриваются два пространства: R" и Rm, при п>т. Сущность операции проектирования сводится к замене пространства Rn пространством Р " / ' 1 с соблюдением двух обя­ зательных условий: а) через каждую точку пространства Rn прмходит но меньшей мере один элемент /<У; б) точки, через которые проходит бесконечное множество элементов RJ, либо не существуют, либо составляют пространство Fh, размерность которого k<Ll.

После осуществления указанной замены получаем два про­ странства Fml' и R™, обладающие одинаковой размерностью. Такие пространства допускают практически удобное однознач­