Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Еще один шаг в том же направлении приводит к четырехмер­ ному пространству, замкнутому точкой, гиперплоскостью ^ 3 или гиперквадрикой F3. Заметим, что в частном случае окруж­ ность, квадрика, гиперквадрика и т. д. могут распадаться со­ ответственно на пару прямых, пару плоскостей, пару гипер­ плоскостей Ri3, R23 и т. д.

Этог вариант модели особенно широко используется на прак­ тике.

В проективном пространстве действуют все обычные геомет­ рические аксиомы, и притом действуют они без исключений. Так, в проективном R3 любые две прямые либо пересекаются, либо скрещиваются; параллельные прямые пересекаются па

5. Представление о замыкании пространства на бесконеч­ ности связано с идеей перемещения, удаления его элементов все дальше и дальше, без конца. Однако после того как та или иная модель бесконечности принята, нет никакой необходимо­ сти опираться на такую конкретную интуицию. Рис. 3.7 демон­ стрирует это весьма недвусмысленно. Прямая и?, на плоскости р может быть помечена индексом со и может получить назва­ ние образа, «ограничивающего плоскость р на бесконечности». Тогда все остальные прямые плоскости р оказываются «обыч­ ными» прямыми. Это особенно легко понять, если заметить, что

конечности, распространив его и на другие линейные образы типа звезды. Например, звезда S 0 , 1 , 3 (см. рис. 3.7) включает в себя множество прямых и плоскостей. Одну из этих плоско­ стей пометим индексом оо п будем относить ее к бссконечпо-

•89

сти. Если связать этот момент с операцией проектирования, то

появляется элемент, поименованный бесконечностью, и все рас­ суждения, проводившиеся ранее применительно к пространст­ ву R2 (к плоскости), распространяются теперь и на простран­ ство Л?2'1 (на звезду). Разумеется, такой же прием может быть использован и для звезды произвольной размерности и произ­ вольного вида Rhln^RPlt. Равноправие всех элементов звезды воспринимается как очевидный факт. Она является, так ска­

друга по той или иной совокупности свойств и признаков. Здесь лучше избежать выражения «моделируют друг друга по циклу информации» (ср. 1.4.2), так как речь идет о бесконечных мно­ жествах и трудно было бы говорить об информации / 0 в обыч­ ном смысле.

Два пространства, которые моделируют (т. е. заменяют) друг друга по заранее установленной совокупности свойств и

рассматриваться одновременно как эквивалентные и как не­ эквивалентные структуры, в зависимости от исходной позиции оценивающего их наблюдателя.

Если мы имеем дело с эквивалентными структурами, то, очевидно, интересующие нас свойства и признаки сохраняются неизменными для того и для другого пространства. То, что сохраняется неизменным при данном рассмотрении, при уста­ новленной операции, в математике принято называть инвари­ антом. Поэтому эквивалентными структурами можно также

Задача этого параграфа сводится к описанию нескольких характерных и получивших широкое распространение эквива­ лентных структур. Каждому такому описанию предпосылается

90

указание на определенный инвариант, составляющий основу эквивалентности. Необходимо помнить, что указание это не является исчерпывающим и несет в себе довольно явный эле­ мент случайности: ничего иного и нельзя ожидать при выделе­ нии заведомо небольшого острова из необозримого моря ин­ вариантной неопределенности.

2. Назовем эквивалентными два пространства, обладающие одинаковой размерностью. Иными словами, число, характери­ зующее размерность, является здесь инвариантом. При таком широком критерии эквивалентную пару могут составлять ли­ нейное и нелинейное пространства, линейное пространство и звезда и т. п. Ниже записаны некоторые возможные эквива­ лентные пары, обозначенные с помощью оговоренных выше символов.

запись, укажем на плоскость и поверхность второго порядка (позиция 1); па прямую линию и пучок прямых второго поряд­

няться не только число, характеризующее размерность, но и линейная форма пространства.

В эквивалентные пары здесь могут входить пространство Rn и звезда /?ft'™==tf"'<; звезда /?ь''" = Я"'г и звезда Rr^ — R"^.

Пользуясь формулой (3.5), нетрудно подобрать конкретные примеры эквивалентности. Совокупность плоскостей, проходя­ щих через одну точку в R3, и совокупность трехмерных про­ странств, проходящих через одну прямую в R\ составляют эквивалентную пару: (3—2) (2—0) = 2 = /f, / 2 = (4—3) (3—1) =2 . Совокупность прямых, проходящих через одну точку в /?4, и совокупность плоскостей, проходящих через одну прямую в R5, также составляют эквивалентную пару (/i = 3; / г = 3 ) .

91

цидентности) элементов пространства, на их взаимных пере­ сечениях и объединениях [36, 40]. Так, например, утверждение «две прямые в R3 могут пересекаться или скрещиваться» ха­ рактеризует позиционные свойства R3.

Конечно, определенный инвариант, выявленный с помощью приведенной выше формулировки, едва ли можно ощутить как нечто достаточно определенное. Однако попытка как-то разви­ вать и детализировать эти положения была бы в данных усло­ виях явно неуместной (§ 1.1). Во всяком случае будем иметь в виду, что инвариантными здесь остаются линейные структуры пространства Rhl1 и все теоремы, которые относятся к R"!l и вытекают из обычной системы геометрических аксиом, пред­

У2