Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.07.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где е > 0

— допустимая точность, тогда значение а =

а 0

дает

искомую

оценку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

V (а =

а0)

> е,

то

промежуток наблюдения

следует

увеличить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод неканонических разложений. Так как спектральная

плотность

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

,

а 2

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

>

 

 

 

то процесс X (t)

не

является

дифференцируемым, если

— со ^

со sg; оо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако

данный процесс является дифференцируемым

в

огра­

ниченной

полосе

частот,

например,

для

| со | < Q <

оо.

 

Пусть априори известно, что в полосе частот | со | ^

Q

неизвест­

ный параметр а значительно больше Q. В этом случае спектраль­

ная плотность sx

(со)

аппроксимируется

плотностью

 

 

 

 

 

 

 

s ~ v N = - S r >

 

 

 

( I L 2 5 >

являющейся спектральной плотностью стационарного белого шума.

Для спектральной плотности (11.25) плотность распределения р (со) = имеет аналитическую структуру (11.17), следова­ тельно,

т ш

12я2 а2

Кц(0)

Отсюда, для параметра а имеем следующую оценку

V М*Х,- i (О(I)

Аналогичным образом используется метод оценки параметра а, основанный на вычислении выбросов случайного процесса X (t).

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ВКЛЮЧЕНИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Условия работы системы управления. Рассмотрим подвижное основание, ориентированное определенным образом в простран­ стве. На основании расположен объект управления. Под влиянием случайного внешнего воздействия основание изменяет заданную ориентацию. Система управления включает в себя объект управ­ ления, датчик, определяющий величину внешнего воздействия, управляющую ЦВМ (рис. 6). Истинная ориентация определяется в ЦВМ по значениям сигналов, поступающих с датчика.

54

Обозначим через X (t) = (Хг (t), Х2 (t), Х3 (t)) величину ошибки в определении координат центра масс объекта управле­ ния. Начало работы объекта управления определяется выработкой в ЦВМ команды «Включение», которая подается с пульта упра­ вления.

Пусть в реальном масштабе времени момент времени tB харак­ теризует время выдачи команды «Включение» в ЦВМ, ta + т — время получения команды объектом управления, т > 0. Необ­ ходимым условием выработки команды «Включение» является

выполнение следующих

неравенств:

 

 

at<Xt(tB

+ x)<bt

( ( = 1 , 2 , 3 ) ,

(11.26)

где at, bt — заданные числа.

ПУ

ЦВМ

>

пи

<—

д

 

 

 

 

t

1

 

 

 

Рис. 6. Получение команды «Включение» управляющей ЦВМ:

Д — датчик, определяющий внешнее воздействие; О — объект управления; ПУ — пульт управления; ПИ — преобразователь информации

 

Ошибки X (t)

образуют

массив статистических

данных R =

=

(Х(^), X (t)2,

•'• ., X (tn)),

хранящийся" для целей обработки

в

памяти ЦВМ; tn < tb.

 

предположе­

 

Относительно

ошибок X (t) делаются следующие

ния:

 

 

 

1.X,- (t) — стационарные случайные процессы, имеющие нор­ мальный закон распределения, причем X,- (t), X/ (t) (i Ф j) — независимы.

2.Моменты распределения процессов X,- (f) неизвестны. Ана­

литическая

структура

моментов

распределения

MXt (t) — пг^

 

 

 

MXt

( Q = m , .

 

 

 

 

 

 

Ku

~ai

I T

I /

_ _ _ n

 

, a,

т |,

(11.27)

 

(T) = crfe

~ "

"' (cos P;T +

 

- j ^ - sin Р,-1

 

где qt. =

(m., a-, a(.) — неизвестный

параметр моментов

распре­

деления;

—оо < mt- <

оо, а(. > 0, аг

>

0.

 

момента

Из сделанных предположений следует, что выбор

времени,

в

который выдается

команда

«Включение»,

является

решением задачи экстраполяции статистических данных. А именно,

по известной реализации

процесса

X (t), образующего

массив

статистических данных R за время ltv

tn], требуется предсказать

значение реализации в момент времени, равный

/ в + т.

Однако

в отличие от классических

задач экстраполяции

данных

[11, 24]

55

момент времени tB - f т. заранее не фиксируется, а фиксируется значение экстраполируемой величины. Выбираются те моменты времени, экстраполируемые значения которых удовлетворяют неравенству (11.26). При этом момент времени tB должен удовле­ творять неравенству

* „ < ' в + Т < ' д .

где / д — заданное значение.

Алгоритмы, определяющие выбор команды «Включение». Рас­ смотрим прежде всего алгоритм обработки статистических данных массива R с целью определения неизвестных параметров q,-, вхо­ дящих в аналитическую структуру моментов распределения.

Так как моменты распределения процессов XL (t) имеют оди­ наковую аналитическую структуру, то достаточно дать алгоритм

обработки для одного из процессов,

например

для Хг

(i).

Спектральная плотность, отвечающая корреляционной функ­

ции (11.27) равна

 

 

 

S l (ш) = _ i _ L _

-

т .

(11.28)

Используем метод обработки данных, основанный на некано­ ническом разложении процесса Хх (t). Плотность распределения случайной величины со, входящей в неканоническое разложение, согласно формулам (11.14), (11.28)

 

, ч

2а

+

 

 

я (a»_p2_.a 2j2 + 4 a y •

Момент Mw2

равен

 

 

Мсо2 =

со

 

1—К"и(0) = а? 4 - Pi-

[ со2р (со) da =

 

— СО

 

1

 

 

 

/

Предположим, что процессы Х\ (t), Х[ (t) эргодичны. В ЦВМ вычислим интегралы

-

i

—

Г Xi(t)dt

=

m\*,

1ц

tj_

J

 

 

 

 

Ч

 

 

 

 

rl^T.\(X1(t)-mffdt

 

=

of>

in—h

J

 

 

 

 

7 - Ц -

\x\\t)

dt=M*X['

 

(t),

in — h

i

 

 

 

 

56

являющиеся оценками

для

моментов соответственно тъ

аи

MX'2 (t).

 

 

 

Так как MX'2 (t) =

ахМа)2,

то оценка для а1 равна

 

. Исходя из значений, определяющих допустимую область для параметра a i , получаем, что для a i берутся только те значения, при которых выполняется следующее ограничение:

Л 1 * Х " ( 0 > о 1 * р ? .

Рассмотрим алгоритм выбора команды «Включение». Задача

экстраполяции статистических данных

для процесса

Х±

(t)

со­

стоит в определении значения процесса

Хг (^„+ f t ), по известным

значениям процесса Х± (г^), . . ., Хг

(tn),

входящим в

массив

R,

где k >

1 — фиксированное число.

Так

как процесс Хх

(t) нор­

мально

распределен, то наилучшим

приближением для

значения

л

^i (^н+л) является линейная функция S а;Хг (tj), в которой

коэффициенты a-t соответствуют величинам, при которых при­ ближение

 

2

(11.29)

М

 

принимает минимальное

значение.

 

Так как спектральная функция процесса Хг (t)

является

дробно-рациональной, то

коэффициенты ajt при которых

миними­

зируется величина (11.29), определяются достаточно просто. Для

этого представим

спектральную плотность

(11.28) в

виде

 

 

 

 

 

'

_

2а\а{

 

а] + $\

 

 

 

 

 

s ^ a

>

— — —

|Q(ia>)|«

'

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' Q (z)

= B0 +

BlZ

+

 

Btz*.

ш

=

z,

 

 

 

 

S0

=

— a j - ^ p 2 ,

 

Bx=—2ab

 

 

 

 

 

B2 = 1, i

=

Y~\.

 

 

Тогда

[11] экстраполяция на один шаг равна

 

 

^ 1 ( ^ 1 ) = - - § г [ А Л ( и + а д ( < я _ 1 ) ] .

(п.зо)

Экстраполяция

на два шага дается соотношением

 

 

Хг (/„„)

=

-

4

 

- [ 5 Л

(*««) + № (*„)],

(11.31)

5 7

в котором значение Х1 (tn+1) определяется формулой (11.30). Последовательная интерация формул (11.31), (11.30) позволяет экстраполировать значение процесса на любое число шагов вперед.

Указанная

процедура

проводится

для всех координат

Xt (t)

(i = 1, 2,

3).

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если момент времени

trl+1

удовлетворяет

усло­

вию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t,i < tn+l < *А,

*п+1 — x > 0,

 

а экстраполированное значение Х{

{tn+1)

(i = 1, 2, 3) удовлетво­

ряет неравенствам

(11.26),

тогда

команда

«Включение» подается

в момент

времени

tR =

tn+1

— т.

Если

в

момент времени

tn+l

условия выработки команды «Включение» не выполнены, то пере­

ходим к экстраполяции значений процесса Х{

(t) (i =

1, 2, 3)

на два шага вперед, если только момент времени tn+2

удовлетво­

ряет условию

 

 

 

 

tn<tn*<t*-

 

 

(".32)

Если условие (11.32) не выполнено, то команда

«Включение»

не может быть выдана на отрезке времени [tn+1,

tn+2].

Если же

условие (11.32) выполняется, тогда вычисляется

значение

Xt

(tn+2)

и проверяется, удовлетворяет ли полученное значение неравен­ ствам (11.26).

Оценка реализуемости алгоритмов. Рассмотрим реализуемость алгоритмов, определяющих выдачу команды «Включение», с по­ мощью управляющей ЦВМ, основные параметры которой соот­ ветствуют ЦВМ «Днепр» [7] .

Допустим, что массив R содержит 1500 чисел по 500 для каждой координаты Xt (t) (i = 1,2, 3). Предлагаемые для реали­ зации алгоритмы рекуррентны относительно массива статистиче­ ских данных. Поэтому вопрос об объеме памяти ЦВМ, необходи­ мой для реализации алгоритмов, не является основным.

В алгоритме обработки статистических данных основные фор­ мульные зависимости связаны с вычислениями следующих вели­ чин:

°Г = 1гЕ

~m *''

M*X\\t)

= ~ S

Xi (tk),

N = 500,

являющихся оценками

соответственно

для моментов тъ аи

MX'2, (t).

 

 

 

'58

Смотрите также файлы