Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

В алгоритм входит значение производной первого порядка от процесса Хг (t).

Вычисление производной Х[ (t) будем производить с помощью численных методов [5], а именно: численного дифференцирования, используя значения процесса Хг (t) в 6 узлах. Составим таблицу восходящих разностей процесса (табл. 1).

Таблица 1. Вычисление восходящих разностей

Восходящие разности определяются соотношениями

V " + , X 1 ( / r ) = V X 1 ( g - V X 1 ( f r _ a ) . Тогда [5] производная

*S<1)

где sil) — числа Стирлинга первого рода, т. е. коэффициенты многочлена

Для указанного метода численного дифференцирования дается среднее время вычисления производной (табл. 2).

П р и м е ч а н и е . В табл. 2 и 3 при определении среднего времени реше­ ния алгоритмов не учитывалось время обращения к запоминающим устройствам-

59

Алгоритм экстраполяции статистических данных достаточно прост. Экстраполяция данных процесса X , (t) на одинтлаг состав­

необходимо увеличить в 3 раза среднее время обработки коорди­ наты Хг {t}.

8. ОЦЕНИВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, ИМЕЮЩИХ НЕУБЫВАЮЩУЮ ДИСПЕРСИЮ

Постановка задачи. Как отмечалось в п. 2, процессы с незави­ симыми приращениями и мартингалы имеют неубывающую дис­

ставляет собой либо случайный процесс с независимыми прира­

фикации неизвестных параметров, входящих в моменты распре­ деления процесса xt (t) (i — 1, I);

ипредъявляющие к памяти ЦВМ минимальные требования. Нужно отметить, что процесс Хс (t), являющийся мартинга­

60

Требования, предъявляемые к памяти ЦВМ, будут минималь­ ными, если алгоритмы оценивания допускают последовательную обработку массивов.

Метод оценивания с применением неравенства Чебышева. Рас­ смотрим одномерный процесс X (t), представляющий собой лю­

Условие (П.ЗЗ) означает, что известно максимальное значение реализации процесса \Х (t)\ или оценка сверху за время Т.

Аналитическая структура моментов распределения процесса содержит неизвестные параметры размерности k и р соответственно для математического ожидания mx (t) и корреляционной функции Кх (t, t). Обозначим п = max (k, р). Зафиксируем временную последовательность

номер члена данной последовательности, причем число г выби­ рается максимальным из всех чисел, которые удовлетворяют не­ равенству

В силу того, что процесс X (t) имеет независимые приращения, случайные величины z„, z£- (t = 1, m) взаимно независимы.

Составим статистики

61

- Рассмотрим две группы статистик щг и щг, соответствующие значениям s = 1 и s = 2. Возьмем любое е > 0, тогда в силу неравенства Чебышева

где Р — вероятность события, указанного в фигурных скобках; Duu — дисперсия величины и]г,

В силу неравенства (11.33) имеем следующие оценки:

Mzf < 4 V S .

Отсюда следует, что

т2°с4

т. е. с увеличением г значения е2 уменьшаются. Предположим, что число г выбрано столь большим, что max {е^ e3 j- ^ е3 . Тогда соотношение (11.39) заменится следующим

Р{\и\г-Ми\г\<г}^\-г,

т. е. с вероятностью большей или равной 1 — е

\uir — Mulr\<e, \и]г— Ми]г\ < е.

Учитывая, что Muir — 0, составим функционал

Определим момент M u 2 r . В силу равенства (11.40) достаточно определить величину дисперсии DzL. Имеем:

62