Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.07.2024
Просмотров: 114
Скачиваний: 0
|
По массиву статистических данных |
R вычислим значение ста |
||||||||||||
тистик |
uir, |
ufr и момента Ми~сп |
причем в каждой |
точке |
ti (i — |
|||||||||
= |
1, |
т) |
последовательности |
(11.34) |
вместо |
моментов |
тх (£), |
|||||||
Кх |
(t, |
t) |
берется |
их аналитическая |
|
структура. с |
неизвестными |
|||||||
параметрами |
q, |
q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Найдем минимальное значение функционала (П.41) по всем |
|||||||||||||
координатам |
параметра |
q Э Q (Q — область допустимого |
измене |
|||||||||||
ния параметра). |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
m i n |
V1 = |
V1(qm), |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
q € Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем минимальное значение функционала (11.42) по всем |
|||||||||||||
координатам |
параметра |
q £ Q (Q — область |
допустимого |
изме |
||||||||||
нения |
параметра), при |
условии, |
что |
q = q m . |
Пусть |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
_min V 2 = |
V2 |
(qm ). |
|
|
|
||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ i ( q m ) < e , |
|
|
|
(11.43) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
V 2 ( q m ) < e , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
e > |
0 — заданное число, |
характеризующее допустимую точ |
|||||||||||
ность в определении параметров, входящих в моменты распреде
ления тх (t), Кх (t, t), |
то наилучшими |
оценками в смысле сред |
|
него квадратического |
будут значения |
q = q m , q = |
qm. |
Если не выполняется хотя бы одно из неравенств |
(11.43), зна |
||
чит либо допустимая точность в определении параметров q, q завышена, либо число точек т , входящих в последовательность (11.34), мало. В этом случае следует или уменьшить допустимую точность, или увеличить время наблюдения, т. е. увеличить либо е, либо число т.
Необходимо отметить следующее.
1. Имеет место простое соотношение между числом т, которое характеризует количество взятых для обработки дискретных наблюдений над процессом X (0 за время Т, и числом п, значение
которого равно наибольшей размерности между параметрами q, q.
Действительно, при построении статистик uir (i = 1, N) ис пользовалось условие ns^N. Совместно с неравенством • (11.36) имеем
п {г + 1 ) < N (г + 1 ) < m + 1.
Вместе с тем, выбор числа m определяет величину шага дискрет ности, с которой следует формировать массив статистических дан ных R. Других ограничений снизу на число пг нет.
63
2. Если моменты MX (0), MX- (0) неизвестны, то математиче ское ожидание и корреляционная функция процесса X (t) опре деляются с точностью до постоянного значения.
Алгоритм оценивания математического ожидания и корреля ционной функции процесса X (t) при последовательной обработке
массивов |
статистических |
данных |
Rx (X — 1, Л) сводится к сле |
||
дующему. |
|
|
|
|
|
1. |
Для |
каждого массива |
аналогично |
последовательности |
|
(1Т.34) |
рассматривается |
последовательность |
моментов времени |
||
Т\-\ <± t\\ < t\a < • • • < t%m <С Тх.
При этом массив для одномерной координаты наблюдаемого про
цесса |
X (t) равен Rx = (X (txi) |
X |
(tXm)). |
|
2. |
В-каждом массиве R^ выделим последовательности tt_1+jNi |
х . |
||
Данные последовательности в силу своего построения не пере секаются ни внутри массива, ни между массивами.
3. |
Образуем |
случайные величины |
zox, |
|
ziX |
согласно |
формуле |
|||||||||
(11.37). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Составим |
для |
каждого |
массива |
Rx |
статистики |
иих |
по |
||||||||
формуле (11.38). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Введем следующие обозначения: Usiri |
— ujru |
I!)л |
— |
стати |
||||||||||||
стики |
и*г\ полученные при одновременной |
обработке в ЦВМ мас- |
||||||||||||||
/ сива |
R x (J |
R 2 ; |
Uhz — |
статистики и]г, |
|
полученные |
при |
одно |
||||||||
временной обработке в ЦВМ массива |
R i |
L) |
U R j |
и |
т. д. |
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UsirX = -l[Ula-i) |
|
|
|
|
|
|
|
(И.44) |
||||
Причем UirA |
= |
ifir |
(X = 1, Л). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Формула (11.44) позволяет с помощью рекуррентных соотно |
||||||||||||||||
шений получить статистики и\г при последовательной |
обработке |
|||||||||||||||
статистических |
данных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Определив статистики и]г, |
составим |
функционалы |
Vь |
|
V,, |
||||||||||
минимизация которых даст оценки для |
моментов |
распределения |
||||||||||||||
mx (t), |
Кх |
(t, |
t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Идентификация параметров распределения с помощью стати |
||||||||||||||||
стической |
проверки |
гипотез. |
Пусть |
X |
|
(t) — одномерный |
|
про |
||||||||
цесс, представляющий собой любую координату процесса |
X |
(t). |
||||||||||||||
Делаются |
следующие |
предположения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1)X (t) — нормально распределен.
2)X (I) является либо процессом с независимыми прираще ниями, либо мартингалом.
3)Даны дискретные множества Г и Г, содержащие конечное число известных параметров размерностей k и р соответственно.
Известно, что q £ Г, q £ Г.
64
Задача обработки статистических данных R состоит в том, чтобы определить, какое именно значение из множества Г прини
мает параметр q, из множества Г — параметр q. |
|
|
Как следует из п. 2, если процесс X (t) |
нормально |
распределен |
и нормально распределены его разности |
X (^) — |
X ( 4 - i ) . где |
моменты времени tt взяты из последовательности (11.34), то про цесс X (t) имеет независимые приращения. Поэтому идентифика цию параметров q, q достаточно провести только для процессов, имеющих независимые приращения.
Для идентификации параметров q, q рассмотрим последова- . тельность моментов времени (11.34); по формуле (11.37) образуем последовательность случайных величин z0 , zL (i = 1, т). Составим статистики
Щ = } / -j^h |
(i = 0, 1, т). |
(11.45) |
Значения vt (i = О, 1, т) образуют независимую выборку объема т + 1, полученную из генеральной совокупности, отве чающей случайной величине и, которая имеет нормальный закон распределения с параметрами Mv = 0, oi = Mv2 — Mz\, т. е. «€ N (0, ст„).
Поставим гипотезу Я : q = q 0 ) q = q 0 . Данная гипотеза экви валентна условию, состоящему в том, что при значениях пара метров q„, q„ выборочные значения vt (i = 0, 1, т) взяты из
N (0, а0).
Используем следующий результат [17].
Пусть у — случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, у которой математическое ожидание~/Иг/ и дис
персия Сту = |
М |
[у—My]2 |
неизвестны. |
Проверяется |
гипотеза |
|
относительно |
того, что математическое |
ожидание My |
= 0, ди- |
|||
сперия а2 = |
а\. |
Обозначим |
через |
|
|
|
|
|
|
1 |
'" |
|
|
значение выборочного среднего. Тогда длягипотезы My = 0 критическая область уровня а
где постоянная с0 определяется из условия
Си |
|
|
\&('j)dy |
= a. |
(11.46) |
о |
|
|
5 |
Л . Т. Тарушкина |
65 |
Здесь Xm (у) плотность распределения хи-квадрат с т степенями свободы.
Для аи = Оо область принятия гипотезы
|
1 |
'" |
- |
|
|
C i < |
— |
S |
{Уi — У)2 |
< с2 , |
|
где постоянные с ъ с 2 определяются из |
условия |
|
|||
Со |
|
с, |
|
|
|
\xn,(y)dy= |
^ |
\ |
yx„(y)dy=l-<x. |
(11.47) |
|
с, |
|
с. |
|
|
|
Применим этот результат к проверке гипотезы Я . Тогда для гипотезы Mv = 0 критическая область уровня а
|
|
|
г |
i = 0 |
( |
1=0 \ |
|
|
|
1=0 |
• ) . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где постоянная |
|
с0 |
определяется согласно условию (11.46); для |
||||||||||||||
гипотезы о том, что дисперсия |
выборки |
(11.45) равна ' а\ = |
Мг\ |
||||||||||||||
область |
принятия |
гипотезы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
/ |
|
|
|
т |
|
\2 |
|
|
|
|
|
|
* |
|
< |
^ |
Е |
Ь |
- |
^ |
2 |
> |
|
<<•• |
( 1 |
М 9 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i = 0 |
\ |
|
|
|
1=0 |
|
/ |
|
|
|
где постоянные сг, |
с, определяются согласно условию (11.47). |
||||||||||||||||
Следует |
отметить, |
что |
для |
определения |
постоянных с ъ |
с.г |
|||||||||||
удобно условие (11.47) представить в несколько иной форме: |
|||||||||||||||||
учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
if/Jn{y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
my&i+2{y), |
|
|
|
|||
получаем |
|
С2 |
|
|
Со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
J iGt (У) dy= |
J Xm+2 (у) dy=\ |
|
— a. |
|
(11.50) |
||||||||
|
|
|
|
с, |
|
|
с, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
[17] |
показано, |
что данные |
критерии |
проверки |
гипотез |
яв |
||||||||||
ляются равномерно наиболее мощными и несмещенными. |
|
||||||||||||||||
Заметим, что |
если |
гипотеза |
Я отклоняется, то это означает, |
||||||||||||||
что отклоняется хотя бы одно |
из условий |
q = q„, |
q = q 0 . |
|
|||||||||||||
Алгоритм идентификации параметров с помощью проверки |
|||||||||||||||||
гипотез при последовательной обработке массивов статистических |
|||||||||||||||||
данных |
сводится |
к |
следующему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Задаются значения параметров q = |
q 0 |
) q = |
q 0 . |
|
|||||||||||||
2. |
Для |
каждого |
массива Wx статистических данных вычис |
||||||||||||||
ляются |
случайные |
величины |
zux, |
za, |
определяемые |
формулой |
|||||||||||
(11.37); |
по |
формуле |
(11.45) |
определяются |
статистики |
viX. |
|
||||||||||
66
3. На каждом массиве |
вычислим значения |
тт
|
|
i = l |
|
|
i = l |
|
Рассмотрим |
рекуррентные |
соотношения |
||||
|
|
В% = В%_г |
+ |
Ь% |
(Х=\, |
Л), |
где А1 = а1, В1 |
= |
Ь1. |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
т |
|
|
|
1=0 |
|
|
i = 0 |
|
На каждом массиве R^ в |
ЦВМ |
вычисляются значения ak, t \ , |
||||
запоминаются значения Ak, |
Вк. |
|
|
|||
4. Определим |
значения постоянных с 0 , |
с ъ с 2 при заданном |
||||
. уровне значимости а гипотезы Н. Для этого введем функцию
распределения |
|
X |
|
(х) = Р (хГп < |
|
Fm |
х\ = \ & (у) dy. • |
|
|
|
о |
Тогда условие (11.46) дает следующее уравнение для опреде |
||
ления постоянной |
с0: |
|
|
Fm (со) |
= ос. |
Из условия (11.50) получаем систему уравнений для определения
постоянных |
с ъ |
с 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Fm (с г) — Fn |
(с•,) |
= |
1 — |
а, |
|
||
|
|
|
|
|
Fm+2 (с2 ) |
— |
Fm+2 |
(с2 ) |
= 1 |
— |
а. |
|
Заметим, что если т < |
29, тогда для определения постоянных |
|||||||||||
с 0 , с ъ |
сг |
следует |
использовать |
табулированные |
значения функ |
|||||||
ции |
распределения |
Fm (х). |
Из |
математической |
статистики из |
|||||||
вестно, |
что |
для |
т ^ 30 |
следует использовать |
асимптотическое |
|||||||
выражение для плотности распределения хи-квадрат, так как %т асимптотически нормальна N (га, 2га). Приближенное значение для функции распределения Fm (х) дается следующим выражением:
\V~2m)
( т ^ З О ) ,
где
|
о |
|
Однако более |
точным считается приближение |
|
Рт(х)**0,5 |
+ Ф(V2x — У2т^\) |
( m ^ 3 0 ) . |
б* |
|
67 |