Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.07.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

"Если в системе управления заранее фиксирован

объем

ста­

тистических данных для проведения обработки, то числа с 0 ,

с х , с2

вычисляются заранее. Если же объем не фиксирован,

то в

алго­

ритм обработки включается дополнительно и алгоритм определе­

ния постоянных с 0 ,

с ъ с 2 .

 

 

5. Вычислив значения чисел Ал,

Вл и

определив постоянные

Co. c i >c 2 i проверим,

выполнено ли

условие

(11.48). Если оно вы­

полняется, то гипотеза Н отвергается. Если условие (2.48) не вы­ полняется, то проверяется условие (11.49). Если оно выполняется, то гипотеза Я считается истинной.

Обычно при выборе а берут одно из стандартных значений та­ ких, как 0,005, 0,01, 0,05.

Оценивание неизвестных параметров с помощью метода макси­ мального правдоподобия. Пусть X (t) — одномерный процесс, представляющий собой любую координату процесса X (/). Де­ лаются следующие предположения:

1)X (/) — нормально распределен;

2)X (t) является либо процессом с независимыми прираще­ ниями, либо мартингалом.

Для оценки неизвестных параметров, входящих в моменты распределения процесса X (f), поступим следующим образом.

Возьмем случайные величины z 0 l , zt (i = 1, т)\ они незави­ симы и нормально распределены. Рассмотрим плотность вероят­ ности события

« о < г о < " о +

du0,

« i < Z i < « i +

duu

um<zm<um-{-dum.

 

Она равна

т

/=о

где

1

Р,(и:)= r L е

а)-= Ми].

2°

;

В качестве значений us возьмем выборочные значения и; = z-r Найдем частные производные

dlnL дЫЬ dqr --dqs

(Г = 1, k\ S—1, р),

где q = (qi, • • •> qk)> q = (Яи

qP)-

68

Согласно методу максимального правдоподобия оценки для неизвестных параметров определяются из условия обращения в ноль частных производных. Составим функционал

р

s = l

dqs

 

Найдем минимальное значение функционала У 2 по всем зна­ чениям неизвестных параметров, взятым из области допустимых

значений;

обозначим

минимальное

значение функционала

V2

через У 2 т .

< е, где е >

0 — заданное число,

характеризую­

Пусть

V2m

щее допустимую точность в определении параметров. Тогда

наи­

лучшими

оценками в смысле

среднего квадрэтического

будут те

значения

параметров,

при

которых

функционал

V 2

принимает

минимальное

значение.

 

 

 

 

 

 

Пусть

V2m

> е, и допустимую точность в определении неизвест­

ных параметров снизить нельзя. Тогда необходимо увеличить число точек массива R, т. е. увеличить число т.

Однако следует отметить, что метод максимального правдо­ подобия может и не привести с увеличением числа /п к более точ­ ному оцениванию. Как отмечается в [ 9 ] , оценки, получаемые по методу максимального правдоподобия, могут быть даже смещены.

Алгоритм не обладает свойством аддитивности относительно обработки статистических данных, входящих в массивы R^, и предъявляет к- памяти ЦВМ жесткие требования. Реализация алгоритма в случае, когда объем памяти ЦВМ не достаточен для хранения всего массива R, осуществляется с помощью составных решений (см. п. 5).

Об оценке моментов распределения процессов, являющихся мартингалами. Как уже отмечалось, если X (t) — мартингал с нор­ мальным законом распределения, то обработка данных процесса X (f) при условии, что разности распределены нормально, про­ водится так же, как и для процессов с независимыми прираще­

ниями. Допустим, что X (t)

— мартингал,

распределение кото­

рого отлично

от

нормального. Из условия

(1.31)

следует

 

 

 

 

М [X (*,) _

X (t^)]

[X (t{)

-

X (tt_J] =

О,

 

для I ф\,

i,

j =

0, 1,

tn; т. е. X (t)

имеет ортогональные

прира­

щения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как аргумент t имеет смысл времени и

0 «s t <

оо, то,

перейдя

к

новой

переменной

со.= In t,

получим

область

измене­

ния —оо

<

со <

оо .

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем

стохастический

интеграл

Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y(u)=

\

eiaudX(a),

 

 

 

(11.51)

где и — некоторый вспомогательный аргумент.

69

Нетрудно проверить, что Y (и) есть стационарный процесс, причем

 

М | dX

(со) |2 = sy

(со) dco,

 

 

где

Sy (со) — спектральная

плотность

процесса.

 

 

 

Интеграл (11.51) представляет собой спектральное представле­

ние

стационарного

случайного процесса.

 

 

 

 

Вычислим момент

 

 

 

 

 

 

 

УИ I X (со + Асо) — X (со) Р

= MX'2

(со +

Лео) —

MX2

(со) =

 

= /С, (со +

Асо, со +

Асо) —

Кх (со, со).

 

(11.52)

 

Из условия (11.52) следует, что для дифференцируемой функции

 

 

К'Л®,

(о) = 5„(ш).

 

 

(11.53)

 

Так как по условию для функции Кх (tx,

t2) задана ее анали­

тическая структура,

то из

условия (11.53) следует,

что

известна

и аналитическая структура спектральной плотности sy (со). Таким образом, перейдя от реализации процесса X (со) к реа­

лизации процесса Y (и) и произведя обработку данных стационар­

ного процесса Y (и) так, как это указано в п. 6, получим оценки

для неизвестных

параметров спектральной

плотности

sy (со).

Используя

условие

(11.53)

и тот факт,

что

при t = 0 известны

значения

MX

(0),

MX2

(0),

определим

корреляционную

функ­

цию Кх ( М 1 ©)•

 

 

 

 

 

 

Оценка взаимной корреляционной функции. Рассмотрим любые

две координаты

X,- (/), Х у

(t)

процесса X

(t). Допустим, что ХД(/),

Xj (t) — процессы с независимыми приращениями. Возьмем по­ следовательность моментов времени (11.34) и образуем разности (11.37):

 

 

z0 = Xi(tQ)—mi

 

(*„),

 

zk

=

X , (4) -

Xt . (4_х) -

mt

(4) +

mt (4_i),

Чи =

Уi & ) -

Уi Vk-i) -

,nj

(tk) +

m, (4_i).

Тогда для

любого момента времени

tk

 

;i=0

yi(h) = I l Уп-

n=0

Здесь zn (n = 0, 1, k) — взаимно независимые случайные вели­ чины; уп (п = 0, 1, .&) — взаимно, независимые величины. Допу-

70

стим, что zs,

у5

зависимы

между

собой,

a zs,

ур

при s =h р —

взаимно

независимы.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mzsyp = MzsMyp

=

О,

 

 

 

 

Ku(tk, tn)

=

Ku{mm{tk,

 

tn),

min(ff t >

tn)).

Для

оценки

функции

Кц (tlt

t2)

следует

взять статистики,

аналогичные

(11.38),

а

именно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• • • - f - Z ( r - H ) ЛГ-1

 

Л Л - l ] .

 

 

 

 

 

 

Аналитическая структура корреляционной функции Кц (t, t)

определяется так, как-указано в п. 2, с использованием

канони­

ческого

разложения процессов с независимыми приращениями.

 

Пример.

Рассмотрим определение параметров, входящих в мо­

менты распределения случайного процесса X (/), имеющего незави­

симые приращения,

с

помощью

массива

статистических

данных

R

= (X (tx),

. . .,

X

(tm)).

Точки

tt

равномерно

распределим на

промежутке

Т =

[О,

 

Т].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналитическая структура математического ожидания дается

отрезком

степенного

 

ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/п( (0

=

2 > / >

 

 

 

 

 

 

'(П.54)

где k — фиксированное

число;

1=0

(i = 0,

1,

k) —

неизвестные

ai

коэффициенты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

Разложение

(11.54)

является

частным

случаем

разложения

(1.14).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналитическую структуру корреляционной функции пред­

ставим одним

из

следующих видов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min (s, t)

 

 

 

 

 

 

 

0),

 

 

 

 

Kx(s,

t)

=

 

j

 

%Ьтчт(и)

du

+

Kx(0,

 

(11.55)

 

 

 

 

 

 

 

0

\m=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kx (s, 0 =

p

min (s, О

 

 

 

 

(0,

0),

 

 

 

 

2

bl

J

<f2m (u)du

+

Kx

.

(П.56)

где cpm (и) известная система функций на

Т;

bm

(k =

1,

р)

— не­

известные параметры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве

функций

cpm (и) можно взять, например, ортого­

нальные

полиномы

Чебышева,

полиномы

Якоби, если от

проме-

71

Смотрите также файлы