Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.07.2024

Просмотров: 86

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тогда команда

«Коррекция» в момент времени,

равный tl t

не выдается. Если

в момент времени tx имеет место

неравенство,

противоположное (11.63), то в момент времени tx выдается команда «Коррекция».

Оценка реализуемости алгоритмов обработки. Рассмотрим реали­ зуемость алгоритмовобработки статистических данных, поступаю­ щих с акселерометров, с помощью управляющей ЦВМ, основные параметры которой совпадают с управляющей ЦВМ «Днепр» [ 7 ] .

Пусть массив R0 содержит 1500 чисел по 500 в каждом канале измерений. Алгоритмы обработки данных рекуррентны относи­ тельно массивов статистических данных, поэтому при реализации

алгоритмов

 

обработки

вопрос

об объеме памяти ЦВМ не является

основным.

Дадим

оценку

среднего

времени

решения.

Время,

- необходимое

для обработки массива статистических данных Ra ,

при условии, что процесс a (t) стационарен,-определяется

данными

табл. 2. Оценим среднее время, необходимое

для идентификации

параметров

 

Ь0, Ьл

корреляционной функции

(П.59) при

проверке

гипотезы b;

= bt

(i

=

0,

1), в случае, когда

процесс a

(t) имеет

независимые

приращения.

 

 

 

 

 

 

От массива чисел

Rn перейдем к новому массиву чисел, состав­

ленному из разностей (11.37) (табл. 3).

 

 

 

 

Таблица 3.

Оценка

среднего времени, необходимого для

проверки

гипотезы

 

 

 

 

 

 

 

Количество

операций

 

Среднее

Вычисления

 

 

 

 

 

 

 

 

время

 

 

сложений

умножений

делений

10" 3 с

 

 

 

 

 

Л

л

 

 

 

500

—

 

—

30

 

 

 

 

 

500

500

 

—

155

Проверка

 

условий

 

 

2

2

 

 

1

0,8

(11.48)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка

 

условий

 

 

2

—

 

2

0,7

(11.49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для получения среднего времени решения по трем координатам ах (t), « у (t), аг (0 следует увеличить в три раза среднее время решения по одной координате.

10. ОЦЕНИВАНИЕ МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ОДНОРОДНОГО И ИЗОТРОПНОГО ПОЛЯ

Постановка задачи. Пусть X (8) = (Хх (8), . . ., Xt (8) —

измеряемая координата системы управления, XL (6) (i = 1, 4) является однородным и изотропным полем, обладающим свой-

77

ством

эргодичности. Здесь 0 = ( 0 Ь . . ., Qk) —

точка /г-мерного

пространства в . Предполагается, что поля Xt

(0), X,- (в) (i =/=

=h j) —

независимы.

 

В каждый момент времени tn (n = 1, т) в систему управления поступает значение измеряемой координаты X (0„).

Моменты распределения поля X (6) неизвестны. Пусть

т Л . = ( т ь . . . , /«,),

где nij — MXi (8) — неизвестный параметр математического ожи­ дания поля X/ (0); q, — неизвестный параметр, входящий в ана­ литическую структуру корреляционной функции

 

 

М [X, (9Х) - т,] [Xt

(92 ) _

т , ] = Ки (01 2 ),

где 9 1

2 =

|вх — 9 2 j — длина вектора

0 г — 6 2 .

Таким

образом, известны:

 

 

1)

значения поля X (Э„) (п =

1, т)\

2)

аналитическая структура корреляционных функций Кц (0i2 ).

Требуется оценить параметры т д . ,

q- и тем самым определить

моменты распределения поля X (0).

 

Оценивание моментов распределения поля с помощью перехода

к стационарному процессу. За время работы системы управления, равное Т, в ЦВМ образуется массив статистических данных

R, = (X(91 ), X(0m )). (11.64) Рассмотрим поле XL (0) и его массив статистических данных

полученный из массива (11.64) выделением значений поля X,- (0). Из множества точек 0„ (п = 1, т) выберем те, которые отличаются только одной координатой, например, первой. Для выбранных точек 9„ составим из массива (11.65) новый массив статистических •данных

R , „ = ( y ( ( 6 ; ) ,

. . . . Yiib'r)).

(П.66)

Здесь

 

 

 

Yi{b's) = Xt{bs,

6,,2,

0,l A ) ( s = l T 7 ) .

 

Если в поле X (0) фиксированы все координаты кроме одной, то оно вырождается в стационарный случайный процесс. Поэтому массив статистических данных (11.66) представояет собой реализа­ цию стационарного случайного процесса У,- (Q's). Следовательно, задача оценки моментов распределения поля сводится к оценке моментов распределения стационарного процесса. Оценка момен­ тов распределения стационарного процесса с помощью обработки массива статистических данных (11.66) проводится так, как это указано в п. 6. Обозначим полученные оценки для стационарного

78

процесса Yi (0S) через m*i, q*\, где индекс 1 указывает на то, что

оценки получены в результате обработки процесса, значения

кото­

рого зависят от первой координаты точки 0.

 

Аналогичную процедуру проделаем для второй, третьей и т. д.

вплоть до k-й координаты точки 6.

 

 

В результате получим последовательности оценок

 

т'а,

m-2,

.. •,

mik,

(11.67)

 

_<7п»

як

• • • > Я*1к-

(П.68)

Последовательности

(11.67), (11.68) состоят из случайных

вели­

чин и имеют в силу однородности

и изотропности поля X (6) оди­

наковое распределение.

Выборочные

средние

 

 

—*

 

I

v

'

 

 

—*

 

1

р

»

 

 

Qi =

-г

L

9ч

 

дают несмещенные оценки т\, q* соответственно для неизвестных параметров /?г,:, qt поля X (0).

Последовательности (11.67), (11.68) представляют собой част­ ный случай составных решений (см. п. 5).

11. ОЦЕНИВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ, ИМЕЮЩИХ КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЧАСТНОГО ВИДА

Постановка задачи. Пусть X

(t, 0) =

(Хх (t, 0), . . ., Xt

(t, 0) —

измеряемая координата системы управления

за время Т,

причем

 

N

 

 

 

 

 

 

 

Т = S Т.,

Т, -

[(i —

1) Т*,

iT%

Т* > 0;

 

 

 

i = i

 

 

 

 

 

 

 

X; (t, 0) — случайное

поле; t

6 Т, 0

= '(0 Х )

. . ., О^) — точка

(k— 1)-мерного пространства;

8r £ ®г — заданное

множество.

Обозначим через X (t, 0) любое из полей X,- (t, 0).

 

Делаются

следующие

предположения.

 

 

0) та­

1. Поле X

(t, 0) нормально

распределено. Поле

X (t,

ково, что аргумент© постоянен на промежутке времени 7\. и может

изменяться лишь от промежутка

Тп к

промежутку

Тр (п

^ р).

2.

Известны выборочные

значения

поля

X

(t,

0„),

t £ Т„

(я =

\TN).

 

 

 

 

 

 

 

3.

Выборочные значения

X (t,

0„),

t£ Тп;

X

(t,

0„),

t^lp,

где п ф р независимы.

79

4. Математическое ожидание поля

MX{t,

Q) = ms{t,

6)

есть функция от аргументов t и 6, его аналитическая структура определяется разложением (1.59), в котором Д, (t) — система функ­ ций ортонормированная на Г*.

5. Корреляционная функция поля

М [X,. (t1}

-

m. (tlt

в,)] [X,. {tt, 02 ) - mt

(t2, 62 )]

=

зависит от аргументов

t l t 8 1 (

t2, G2 ,

ее аналитическая

структура

определяется разложением (1.49), в

котором

cpv (t)

— система

функций, ортонормированная на Т*.

 

 

 

Требуется:

 

 

 

 

 

 

1) дать методы статистического оценивания и идентификации неизвестных параметров, входящих в моменты распределения

поля

X (t, 6);

 

 

 

 

 

 

2)

рассмотреть

возможность

оценивания

взаимной

корреля­

ционной функции

 

 

 

е я

) - т , & , вя)]

=

 

M[Xt(tu

Q J -

m ^ ,

ШЪУ*

 

 

=

Кц{к,

вь к,

92 );

 

 

3) построить аогорнтмы, обладающие необходимой точностью

ипредъявляющие к памяти ЦВМ минимальные требования.

Переход к эквивалентной задаче. Заметим, что при условиях, наложенных на поле X ((, 0), для каждого 16 Т„ имеет место каноническое разложение частного вида (1.46):

г

 

 

x(t, K ) = mx{t, e , o +

/ е т „ ,

(Н.69) •

irr v cov (вл )

 

где Ху — ортонормированные случайные

величины,

имеющие

нормальный закон распределения; cov (0) — положительные функ­ ции для всех v и 9.

Возьмем в качестве ортонормированной системы функций Д, (t) в разложении (1.50) ортонормированную систему функций cpv (t). Без ограничения общности можно считать, что число функций в разложениях (1.50) и (11.69) одинаково, так как в случае надоб­ ности в разложения можно добавить члены с нулевыми коэффи­

циентами.

Разложение (11.69)

представим

в виде

X(t,

% ) :

Г - f c - l

S

 

 

 

(11.70)

 

 

1=1

u,=l

 

 

V

C0V (Ип)

Умножая почленно разложение (11.70) на функции cpv (t),

производя

интегрирование

по

t£Tn

и

учитывая, что

80

Смотрите также файлы