Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Взаимная корреляционная

функция равна

ri

ri

9vf

Фи/ (^)

Ku(tlt

6 l f

t2, 02 ) =

2

J]

М х « * д / Kco^COx) co,l; (02 )

v = l

n =

l

причем значения

моментов

Mx^x^j

неизвестны.

Построим

выборочные

моменты

1

N

M''XviX^f

=

д. .

^ A-'V(-ftX'j,.-i,

где выборочные

значения

xvik, х^к

определяются

по

формуле

(11.74). Оценки M*xv[xll/

являются

несмещенными

для

моментов

MXyiX^j.

чайного поля X =

X (t, 0 Ь 02 ). Обозначим

через X(t,

0) любую

координату

поля

X (t,

0).

Предположим, что выполнены

следующие

условия:

1) параметр 0 = (0 Х , 02 ) изменяется

дискретно

с

шагом дис­

кретности равным

Г*,

кроме того, на промежутке времени Тс —

= [(i— 1) Т*, iT*) параметр 0

принимает

постоянное

значение

Т=

ЪТ,\ 8,6 6,

(i =

l,

2);

£ = 1

2) любых два значения поля

X

(tlt

0„),

X (t2,

Qp),

п Ф р,

таких,

что

| tx—t2\

> Т*, статистически независимы. Данное

условие

означает,

что

зависимость

между

двумя

выборочными

значениями

поля наблюдается только в том случае, если разность

времен

удовлетворяет

условию

\tx—

t2\ «g

Т*.

Основными независимыми факторами, влияющими на кон­

трольно-измерительные

данные,

являются:

Учитывая

указанные факторы,

будем предполагать, что поле

X (t, 0) имеет

нормальный закон

распределения, следовательно,

матическое

ожидание

MX

(t,

0)

и

корреляционную

матрицу

Кх

(ti,

01, t2,

02 )-

В управляющей ЦВМ 2 вычисляется некоторый функционал Ф,

зависящий от

моментов

распределения поля X

(t, 0), т. е. Ф =

=

Ф (t,

MX

(t,

0),

Кх

(t,

9,

t,

0).

Функционал

Ф определяет

ре­

жим работы объекта управления. В моменты времени kT*,

2kT*,

3kT*,

где k — заданное число, вычисляются интегралы

(Н-1) кт*

(t = 0,

1, 2,...)

J

ФйГ

ikT*

в

управляющей

ЦВМ2 . Если

Л т

<

(1+1)

кТ--6

(11.79)

J

ФсИ^Вп,

IkT*

где

Аа, Вп, б—заданные

числа,

то

Ц В М 2 выдает команду

на

объект

управления

«Режим

/i-й»

на

отрезке

времени,

равном

[(/

+

1)

kT*,

(i

+

2)

kT*].

Затем вычисляется интеграл на следующем отрезке времени.

Если

(£+2) kT*—&

Am^

J

Ф Л < 5 т ,

(11.80)

( ( + 1)

kT*

где А,п,

В,п,

б — заданные числа,

то

Ц В М 2 выдает команду

на

объект

управления

«Режим

m-й»

на

отрезке

времени,

равном

[((

+

1)

kT*,

(i

+

2)

kT*].

трольно-измерительных

данных

MX(t,Q)

=

m0x(t,Q),

|

M[X{t,

Q)~MX(t,

0 ) ] 2 =

(П.81)

=

Kox(t,

0,

t, 0),

t(zT.

J

режим работы

системы

управления.

Каноническое разложение поля. На каждом промежутке вре­

мени Т; (i —

1, N)

поле X

(t, 0) является функцией только одной

переменной

t £ Т..

Предположим,

что при каждом фиксирован­

ном значении

0 функция

X (t, 0)

непрерывна в среднем по t.

c o s | £ ( v - l ) f , s l n | ? ( v — l ) f ( v = T T r ) .

(П.82)

U v

- c o s | £ ( v - ' l ) *

( I I " 8 3 )

^ М

б 7 ~ ° г * ^

*'•<•

Y(t) = X(t, вД-шЛ,

0,.)

(11.84)

определяемый

соотношением

(11.84),

для

t 6 Т,-

является стацио­

нарным процессом. Допустим, что процесс

Y (t),

t£TL,

обладает

свойством эргодичности. Тогда в ЦВМ2 вычислим интегралы

ст*

IT*

iT'

- 1 г J

Y(t)dt=-±r

j

X(t,Qt)dt—±r

J

mx(t,QPdt.

( i - l ) T*

( i - l ) T*

( i - l ) T*

(11.85)

iT*

1

J

Y(t +

r)Y(t)dt

=

T*

( i -1l)) rr**

1

iT'

j

[X (t +

т, %l)-mx

(t +

т, 8,)] [X (t,

Qt) - mx

(t, 0,)] dt,

( i

- l )

T *

(11.86)

ожидания тх (t, 6).

Для определения неизвестных параметров, входящих в ана­

литическую структуру

математического

ожидания

тх

(t, в),

составим

функционал

Л',

I

iT*

*2

^ T e r S ' T

5 "

J

1Х(/,^)->пх((,^)}с11

,

(11.87)

1 i = l i

( i - l ) г*

J

где /V, ^

/ 7 ^ .

Найдем минимальное значение функционала (11.87) относи­

тельно неизвестных параметров, входящих

в математическое ожи­

через

Vlm.

Если

Уш

<

е, где е>> 0 — допустимая точность в оценивании

неизвестных

параметров,

входящих

в математическое

ожидание

т х

(t> ^)> тогда

в качестве значений для неизвестных

параметров

bjVll,

входящих

в аналитическую

структуру математического

ожидания тх

(t,

0), следует взять те значения параметров, кото­

рые доставляют

минимум

функционалу (11.87).

Допустим, что параметры b j v l l определены исходя из значений,

2 /=1 l

(1 - 1)Г*

*

г

12

X

[X(t,

Qt)-ms(t,

Bi)]dt-2

1 ^ ~

C O S

- ^ (

V - 1 ) T

,

(11.88)

v = l

'

I

где

Nz ^

P%—

суммарная

размерность

неизвестных

парамет­

ров, входящих в

функции cov

(0).

Найдем минимальное значение функционала (11.88) относи­

тельно неизвесных параметров a»v 0 , wvl,

входящих в функции cov

(0),