Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.07.2024

Просмотров: 88

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

'[(га

1) Т*, пТ*) для

t£

Т„,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

пТ*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(«—1) г*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ( - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.71)

Значение

zv (G„) определяет выборочное значение

поля

(б),

зависящего от аргумента 6 как точки в (k —

1)-мерном

простран­

стве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

выборочные значения

поля

X

(t,

9„)

известны

для

всех t 6

Тп

(п — 1, 7V), то известно

и N независимых

выборочных

значений поля zv (9), т. е.

2 v l

(9г ), . .

.-, z v W

(9W )

для

каждого

фиксированного значения

v (v =

1, г)._

Поле

zv

(9)

нормально

распределено в силу того, что величины ,vv нормально распре­ делены.

Определим аналитическую

структуру функций

cov (9). Возь­

мем для простоты линейную

аппроксимацию

 

 

• к-1

 

<Мв) =

а ^ + 5 > ¥ / 0 , ;

(11.72)

 

1=1

 

где Доуо, wVi — неизвестные постоянные, причем в силу того, что cov (9) неотрицательны, на неизвестные параметры наклады­ вается дополнительное ограничение

4 - 1

(11.73)

vO + S ^ v A > 0.

• W.

 

Отсюда следует, что задача оценивания и идентификации мо­ ментов распределения поля X (t, 9) эквивалентна следующей. Имеется N независимых наблюдений над случайным полем zv (9) для каждого фиксированного значения v (v = 1, г). Поле Zy (9) нормально распределено. Требуется дать оценку неизвестным па­ раметрам bjVyL, wv0, wvl, входящим в разложения (1.50), (11.72) при условии (11.73), и являющимися неизвестными параметрами моментов распределения случайного поля г? (9).

Оценивание неизвестных параметров с помощью выборочных моментов. Используя равенства (11.71), (11.72), случайную вели­ чину xw представим в виде

/=1 ц = 1

W.

+

2l

Wyfitn . (11.74)

\0

 

1=1

 

Для каждого значения v

найдем выборочное

среднее

 

N

 

 

 

 

/•=1

 

 

 

Л . Т. Тарушкина

 

 

 

81

и выборочные центральные

моменты порядка

с

1

N

 

где с общее число неизвестных параметров blni,

wv0, wvi, входящих

в разложения (1.50), (11.73), т. е. с есть размерность неизвестного

параметра, входящего в моменты распределения поля X (t,

6).

При

/V —> со

с вероятностью 1 выборочные центральные

мо­

менты сходятся

к сооответствующим

центральным моментам, т. е.

 

 

limmcv—\iv,

 

 

 

 

Л/->со

 

 

где ц.у =

Мху.

 

 

 

Так

как случайная величина xv

нормально распределена

со

средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной единице, то значения моментов |л£ известны, причем моменты нечетного по­

рядка равны

нулю.

 

 

Составим

функционал

 

 

 

V2v = -Lt(mT-^'f

( v = r 7 ) .

(Н.75)

сп=1

Найдем минимальное значение функционала (11.75) по всем значениям bjnl, wv0, wvi при ограничении (11.73).

Если минимальное значение функционала (11.75) не превосхо­ дит заданное число е, где е > 0 характеризует допустимую точ­ ность в определении параметров, входящих в моменты распреде­ ления поля X (t, 6), то наилучшими оценками в смысле среднего квадратического для неизвестных параметров будут те значения, при которых функционал (11.75) принимает минимальное значение.

Если минимальное значение функционала (11.75) превосходит значение е, то либо допустимая точность, с которой требуется опре­ делить параметры, завышена, либо число реализаций N мало. В этом случае следует или снизить допустимую точность, т. е. увеличить число е, или увеличить число реализаций N, т. е. уве­ личить число выборочных значений поля X (t, 0).

Указанная процедура проводится для всех функционалов

V 2 v .

Для реализации алгоритма оценивания, основанного на ме­

тоде выборочных

моментов,

необходимо следующее.

 

1. Вычислить значения zv

(Э„), определяемые формулой (11.71).

Процесс

вычисления аддитивен

относительно массива статисти­

ческих

данных,

образованного

из выборочных значений

поля

X(t, в).

2.Найти выборочные моменты распределения случайной ве­ личины xv, определяемой формулой (11.74). Для этого рассмотрим рекуррентные соотношения

•At — An_i -\- хп,

Bn = Bn^ + xl (n = TTN),

82

•где

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

Ai =

x i , AN =

X xn>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = l

 

 

 

 

 

 

S i

= x i ,

BN

=

 

 

 

 

На каждом отрезке времени

T„ (п

=

I , N)

в ЦВМ вычисляются

значения

х„, xl,

запоминаются

значения

А„,

В„.

 

3. Составить функционалы (11.75) и произвести их минимиза­

цию по неизвестным параметрам b.v,it

wv0,

wvl при

ограниче­

ниях (11.73).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Идентификация неизвестных параметров на основании стати­

стической

проверки

гипотез. Рассмотрим

поле z^ (8).

Согласно

формуле

(11.71)

его

моменты

распределения

равны

 

 

 

аг 2 у (0) =

М [ г Л

ft—1 S

 

 

 

 

 

 

, ( в ) - М-гS„ ( еW*(i) ] 2 =/).

 

 

m2V(Q)

= Mzv(Q)

= I i

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ft-i

 

 

 

 

 

Фиксируем значения v и 8. Случайные величины zv (8) нор­

мально распределены zv^N(mzv(Q),

 

o2 V

(8)).

 

Предположим,

что известно конечное

дискретное

множество

значений, которое может принимать каждый из неизвестных пара­ метров, входящих в моменты распределения случайной величины zv (8). Пусть

(11.76)

— некоторые возможные значения параметров, взятые из данного дискретного множества значений.

Для проверки гипотезы Я , состоящей в том, что неизвестные параметры принимают значения, отвечающие значениям (11.76), введем случайные величины

« v n = 2да (6„) — tnzv (0Л ) (п= 1, N) и рассмотрим статистики

v/i

Значения vvn образуют независимую выборку объема N, полу­ ченную из генеральной совокупности, отвечающей случайной ве-

6*

83

личине v, имеющей нормальный закон распределения с парамет­ рами Ne (о,, о„ (во).

Проверку

гипотезы Н следует проводить так, как это указано

в п. 8. А именно, достаточно проверить гипотезу, состоящую в том,

что Mv = 0.

Критическая область уровня а для гипотезы Mv = 0

равна

 

1=1

(.

1=1

\

 

1=1

/ J

 

 

где постоянная с0 определяется согласно условию (11.46).

Для

проверки

гипотезы

Mv2

= azv

(0Х ) область

принятия

 

 

 

N

7

N

\ 2

 

 

где постоянные

c l t

с 2 определяются согласно

условию (11.47).

Такие проверки

проводятся

для всех

v (v =

1, /•).

Реализация алгоритма идентификации параметров с помощью

статистической

проверки

гипотез

осуществляется

так, как это

указано

в п. 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценивание неизвестных параметров с помощью метода макси­

мального правдоподобия. Применим метод максимального правдо­ подобия для оценки моментов распределения поля zv (8) при фик­

сированном

значении v (v = 1, г).

 

 

Поле

(0) нормально распределено

с параметрами

т„ (0),

o"zv (в)- Условие (11.71) дает iV независимых выборочных

значений

поля.

 

 

 

Рассмотрим вероятность события

 

 

 

и1 < Z v ( 9 1 ) ^ ы 1 + ^ " l

 

 

"л< < z v (QN) =S UN +

duN

 

Плотность вероятности данного события равна

N

L = П р • (и •),

/ = i

где

Р/ ("/) =

 

'

t"/-'"v(°/)]2

'~F=

е

20-?, (9 . )

В качестве '«у возьмем выборочное значение zvj (6у). Найдем частные производные

ainL

ainL

ainL

(П.77)

dbjvil '

Зшзд '

da;v,- *

84

Согласно методу максимального правдоподобия оценки для неизвестных параметров определяются из условия, состоящего в том, что частные производные (11.77) должны обращаться в ноль. Ркходя из этого, составим функционал

/ . V. II. V

Найдем минимальное значение функционала (11.78) повеем зна­ чениям параметров bjvll, wv0, wvi при условии, что выполнено огра­ ничение (11.73); обозначим минимальное значение функционала через V2m.

Пусть V2m < 8> г Д е е >

0 — заданное

число, характеризую­

щее допустимую точность

в определении

параметров, входящих

в моменты распределения поля X (t, 8). Тогда наилучшими оцен­ ками в смысле среднего квадратического для неизвестных пара­ метров, входящих в моменты распределения поля X (t, 8), будут те значения параметров, при которых функционал (11,78) при­ нимает минимальное значение.

Пусть Vот > в, и допустимую точность в определении неизвест­ ных параметров снизить нельзя. В этом случае следует увеличить число выборочных значений поля X (t, 8). Однако метод макси­

мального правдоподобия

может и не привести с увеличением N

к нужному результату.

Как отмечается в [ 9 ] , оценки, которые

получаются по методу максимального правдоподобия, могут быть даже смещены.

Алгоритм вычислений использует массив статистических дан­ ных Ru = (и1г и2, . . ., «дг), где Uj = zvj (8у ). Массив RK растет с ростом числа выборочных значений поля X (t, 8). Алгоритм не обладает свойством аддитивности относительно обработки стати­ стических данных массива Ru и предъявляет к памяти ЦВМ жест­ кие требования. Реализация алгоритма в случае, когда объем памяти ЦВМ не достаточен для хранения всего массива R,., осу­ ществляется с помощью составных решений (см. п. 5).

Оценка взаимной корреляционной функции. Рассмотрим любых два одномерных поля Xt (t, 0), Xs (t, 8) (t =j= / ) , являющихся коор­ динатами поля X (t, 8). Каждое из полей имеет каноническое раз­ ложение частного вида

где значения неизвестных параметров, входящих в функ­ ции mk (t, 8), covA (8), определены с помощью изложенных методов.

85

Смотрите также файлы