Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Если Vo,„ < е, где е > 0 — допустимая точность в оценивании неизвестных параметров, входящих в корреляционную функцию поля X (t, 0), тогда в качестве значений для неизвестных парамет­ ров wv0, wv[ следует взять те значения параметров, которые до­ ставляют минимум функционалу (11.88).

Так как промежуток времени Т* фиксирован, то если хотя бы одно из условий: либо Vlm < е, либо ] / ш < е — не выполнено, тогда для получения оценок определяющих моменты распределе­ ния поля X (t, 0) с требуемой точностью следует применить методы, изложенные в п. 11. Произведем оценивание неизвестных парамет­ ров с помощью, например, метода выборочных моментов. Заметим, что метод выборочных моментов нечувствителен к длине проме­ жутка времени Т*, точность метода зависит от числа N, определяю­ щего количество интервалов времени, в которых берутся вы­ борочные значения поля X (t, в). Следуя данному методу, соста­ вим величины (11.71), (11.74). Образуем выборочные центральные моменты порядка рг + рг. Составим функционал (11.75). Найдем

Последовательное уточнение моментов распределения. Для наиболее правильного определения режима работы объекта управ­ ления будем последовательно уточнять моменты распределения поля X (t, 6). Для этого зададим у ЦВМ2 убывающую последо­ вательность

е : > е 2 > . . .

характеризующую допустимую точность оценивания моментов

По массиву статистических данных, представляющих собой выборочные значения поля X (t, 0), временной аргумент которого t принадлежит промежутку [0, kT* — б ] , уточняются моменты рас­ пределения поля путем обработки указанного массива статисти­ ческих данных. При этом в качестве допустимой точности берется

будут уточнены априорные значения моментов распределения, либо массив данных недостаточен и априорные данные к указан­ ному моменту времени остаются не уточненными. В первом случае команда, определяющая режим работы объекта управления на

90

Глава III

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ВЫХОДНЫХ КООРДИНАТ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

13. ОЦЕНИВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫХОДНЫХ КООРДИНАТ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ЧАСТНОГО ВИДА

Уравнение линейной динамической системы. Рассмотрим дина­ мическую систему, поведение которой описывается линейным ' дифференциальным уравнениемпорядка п:

где А[ (t) — известные на Т функции; X (t) — входное воздей­ ствие, являющееся случайным процессом из заданного класса процессов; У (t) — выходная координата системы, t 6 Т.

Уравнение ( I I I . 1) запишем в матричном виде

L Y (f) — (п + 1) — мерная матрица-столбец

LnY(t)

LY(t).

"W )

92

где G (t) — любой процесс, имеющий начальные данные, соответ­ ствующие начальным данным процесса Y (t). Уравнение ( I I I . 2 ) в этом случае следует рассматривать относительно выходной коор­ динаты z (t).

В [13] даны условия, обеспечивающие существование и един­ ственность решения уравнения ( I I I . 2 ) .

При исследовании вероятностных свойств выходной коорди­ наты Y (/) будем использовать однородное детерминированное

Постановка задачи. Пусть Y (t), t£T,— измеряемая коор­ дината системы управления. Входное воздействие X (t) является неизмеряемой координатой и представляет собой либо стационар­ ный процесс, либо процесс, имеющий неубывающую дисперсию, причем моменты распределения процесса неизвестны.

Относительно выходной координаты известно: 1) реализация пр.оцесса Y (i), t£7;

2) аналитическая структура математического ожидания

3) построить алгоритм оценивания, обладающий необходимой точностью и предъявляющий-к памяти ЦВМ минимальные требо­

93

тогда выходная координата У (t) является стационарным случай­ ным процессом, следовательно, математическое ожидание про­

реляционной функции определяется исходя из условия стационар­

и получаем для стационарного процесса X (t) массив статисти­ ческих данных Rx = (X (tJ.X (^2)> • • ., X (tm)).

Предположим, что процесс У (t) непрерывен в среднем, для этого достаточно потребовать [13], чтобы корреляционная функ­ ция Ку (t, t) была непрерывной. Аналитическую структуру мо­ ментов распределения процесса определим, исходя из формул (1.13), (1.14):

распределения, определяемая аналитической структурой момен­ тов пгц, Ку {ti, t2). Задача определения неизвестных параметров, входящих в аналитическую структуру, сводится к задаче п. 6.

94

Представим решение уравнения ( I I I . 2 ) в виде ( I I I . 5 ) . Запишем

U

формулу приближенного вычисления интеграла | В (tt, s) X (s) ds

v = 0

где ci'} — коэффициенты квадратурной формулы, значения "ко­ торых известны, так как известно решение В (t, s).

В качестве примера получения коэффициентов cll) рассмотрим, например, численное интегрирование указанного интеграла по формуле трапеции.

Имеем t

кпредыдущему случаю.

Вданном методе не требуется вычислять значения производных У<А ) (/), (k = I , п). Однако аналитически плучить решение В (t, s)

М[У<»> (О)]2 .

Выясним, обладает ли решение уравнения ( I I I . 2 ) свойством,

связанным с независимостью приращений. Предположим для простоты, что X (t) имеет нормальный закон распределения. Ис­ ходя из формулы ( I I I . 5 ) определим разности

95