Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.07.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
отличен от нуля. Отсюда следует, что выходная координата Y (t) не является процессом с независимыми приращениями. Будем предполагать, что процесс Y (f) непрерывен в среднем и аналити ческая структура его моментов распределения задается разложе
ниями ( I I I . 6 ) , |
( I I I . 7 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перейдем к методам определения моментов распределения вы |
|||||||||||||||
ходной координаты У (t).' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Сведение |
к |
случаю |
измеряемого |
входного |
воздействия. |
||||||||||
На основании данных массива |
Ry в ЦВМ вычислим значения про |
||||||||||||||
изводных |
У<*> (t) |
(7г — |
1, |
п) |
и |
левых |
частей |
уравнения |
( I I I . 2 ) . |
||||||
Тогда для |
процесса. X |
(i), |
имеющего |
независимые |
приращения, |
||||||||||
получим |
массив |
статистических |
данных |
Rx |
= |
X (/,), . . . |
|||||||||
. . ., X (tm)). |
Аналитическая |
структура |
моментов |
|
распределения |
||||||||||
процесса |
X |
(t) |
определяется |
заданием |
аналитической структуры |
||||||||||
процессов |
Y |
(I), |
исходя из |
разложений |
( I I I . 6 ) , |
|
( I I I . 7 ) . |
Таким |
|||||||
образом, |
определение |
моментов |
распределения |
процесса |
Y (t) |
||||||||||
свелось к |
задаче, |
изложенной в |
п. |
8. |
|
|
|
|
|
|
2. Получение независимых статистик с помощью вспомога тельных уравнений. Допустим, что сам процесс X (/) п его прира щения нормально распределены.
Наряду с уравнением ( I I I . 2 ) рассмотрим вспомогательные диф ференциальные уравнения
|
|
|
А (0 L i / f (/) = X (0 - |
X |
(*,_,), |
te [t,-u |
|
ы, |
|
(III.9) |
|||||
|
|
|
|
A(i)LWi(t) |
= X.(tL_1), |
|
|
lib |
|
|
|
(ШЛО) |
|||
Уравнение |
( I I I . 9 ) |
рассматривается |
при |
нулевых |
начальных |
||||||||||
данных в момент времени |
ti_x\ |
уравнение (ШЛО) — при |
началь- |
||||||||||||
ных |
данных |
W[k) |
(*,_0 |
= |
Y{k) |
(f,_0 (k |
= |
0, |
1, |
( л — |
1)); |
||||
точки |
tt |
(i |
= |
1, т) |
удовлетворяют неравенству |
(11.34). |
Пусть |
||||||||
измеряемой |
координатой |
системы |
управления |
наряду |
с |
У (t) |
|||||||||
является |
координата |
U, {I); за время, равное |
Т, |
в ЦВМ |
наряду |
||||||||||
с массивом |
R,, образуется |
массив |
статистических |
данных |
R„ |
состоит из взаимно независимых величин.
Действительно, обозначим через В,- (t, s) решение уравнения
96
Вычислим |
момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
М [Ut (tt) - |
mtti |
& ) ] [U, (t,) - |
muj |
(tj)] |
|
|
|
|||||||||
= |
j |
J |
BL |
(tit |
sx) Bj |
(t{, s2) [X (Sl)-X |
|
(t^) |
- |
mx (Sl) + |
mx (/,_,)] x |
||||||||||
|
|
|
X |
[X (s2) - |
X (thl) |
- |
mx |
(S l ) + |
m , (*;_,)] rfSl |
dsa |
= 0, |
( I I I . 11) |
|||||||||
где i ф j , mHk (tk) |
|
ЛША (4) |
(A = |
i, |
j). |
|
|
из |
условия |
( I I I . 11) |
|||||||||||
Так |
как величины |
Uk |
(t) |
нормальны, то |
|||||||||||||||||
следует независимость величин Ut |
(tt), 0,- |
(tj). |
|
|
|
||||||||||||||||
Запишем |
уравнение |
( I I I . 2 ) |
|
в виде |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
A(t)LY(t) |
|
= X(t)-X(ti_1) |
|
|
+ |
X(tl+1), |
i€T, |
|
||||||||
тогда, |
в |
силу |
линейности |
уравнения, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
У |
(i) |
= |
Ut |
(t) + |
|
Wt (t), |
te |
[tt.lt |
tt]. |
|
(III . 12) |
|||||
Равенство |
( I I I . 12) |
показывает, |
что измеряемыми являются не |
||||||||||||||||||
только координаты У (t), |
U\ (t), |
но и для координаты W (1.) в ЦВМ |
|||||||||||||||||||
можно получить массив статистических данных. |
|
|
|||||||||||||||||||
Определим процесс U (/), t £ Т, |
как процесс, |
который на каж |
|||||||||||||||||||
дом промежутке (t{_lt |
|
t£] |
совпадает |
с |
процессом |
Ut (f). |
Будем |
||||||||||||||
считать, что процесс U (I) непрерывен в среднем, для этого до |
|||||||||||||||||||||
статочно |
потребовать |
[13] непрерывность |
корреляционной |
функ |
|||||||||||||||||
ции Ки (t, t). Зададим аналитическую структуру моментов |
ти (t), |
||||||||||||||||||||
Ки (t, |
t) |
аналогично |
разложению |
( I I I . 6 ) , |
( I I I . 7 ) : |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mw(t) |
= |
vS= l Mva(0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K.W (ti,tt)= |
|
|
|
CPv2 Vl) |
<Pv2 ('2), |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где / v 2 |
(t), |
cpv 2 |
(/) — известные |
|
ортонормированные |
на T |
функ |
||||||||||||||
ции; |
6 v 2 , |
|
ODV 2 —-неизвестные |
параметры. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Зададим аналитическую структуру взаимной корреляционной |
|||||||||||||||||||||
функции |
Kyw (ti, t2) |
на основании |
разложения |
(1.53) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Kyw |
(tlt |
t2) = |
|
|
|
|
|
|
cpvl (tx) ф д 2 ( * 2 ) . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МшЛ |
|
|
у CUV1C0m2 |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = l Д=1 |
vi ц- |
|
|
|
|
|
||||||
где |
cpv l (f), ф й 2 (t) — известные |
ортонормированные |
на Т |
функ |
|||||||||||||||||
ции; |
Mxvl, |
|
уу,2 |
— неизвестные |
параметры; |
|
cov l , |
cot l 2 —неизвест |
ные собственные числа соответственно корреляционных функций
Ку (^1> ^2)1 Kw ( ^ i , ^2)-
Таким образом, цроцесс U (f) имеет взаимно независимые зна чения в точках t( (i = 1, m). Аналитическая структура процесса
7 Л . Т. Тарушкнна |
97 |
U (i) определяется заданием аналитической структуры моментов
распределения |
тц, |
Ки (tlt |
/2), |
mw (t), |
Kw |
(tlt t2), |
KIJW |
(tu |
t2). |
||||
Для оценки неизвестных параметров, входящих в аналитичес |
|||||||||||||
кую структуру |
моментов |
распределения процесса U (t), применим |
|||||||||||
методы, изложенные в п. 8. |
|
|
|
|
|
|
Допустим, |
||||||
Оценивание |
с применением |
неравенства |
Чебышева. |
||||||||||
что процесс U (t) с |
вероятностью |
1 ограничен \U (t) |
| ^ |
с < о о . |
|||||||||
Из последовательности (11.34) выделим N непересекающихся по |
|||||||||||||
следовательностей, |
N ^ |
п, где |
п — |
общее |
число |
|
неизвестных |
||||||
одномерных |
параметров, |
входящих |
в |
моменты |
|
распределе |
|||||||
ния ту ((), |
Ку |
( / i , |
t2), mw |
(0, |
Кш (ti, |
t2), |
Kyw |
(tlt |
i2). |
|
|
||
Обозначим |
эти |
последовательности через ti+jN, |
|
где |
i |
(i — |
|||||||
= 1, N) — |
номер |
последовательности; |
(; |
= 0, |
1, /•) — номер |
члена последовательности, число г выбирается максимальным из всех чисел, удовлетворяющих неравенству (11.36).
Составим |
статистики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и1г = |
-у- [Ul |
(tl) + |
Uf/+i |
(t\i.\-l ) + • • • + Щг-\) N+l (t(r-l) |
JV+l)]i |
||||||||
|
"Nr |
|
= — |
[iff, {tN)'+ |
Ub/(tw) |
H |
h UrN |
{trN)\, |
|
||||
Определим |
функционалы |
Vlt |
V2 |
|
согласно формулам |
(11.41), |
|||||||
(11.42). Найдем минимальное значение |
функционала Vx |
по всем |
|||||||||||
неизвестным |
параметрам, |
входящим |
в |
моменты |
распределения |
||||||||
Щ (0> |
niw (t). |
|
Пусть минимальное |
значение равно |
Vlm. |
Найдем |
|||||||
минимальное значение функционала |
V2. по всем неизвестным пара |
||||||||||||
метрам, входящим в моменты распределения |
Ку (ti, |
t2), Кш |
(tlt t2), |
||||||||||
Kyw (2ц |
t2) при условии, что допустимая область параметров cov l , |
||||||||||||
о)д2 определяется неравенствами cov l |
> |
0, |
со> 1 2 > 0. Пусть мини |
||||||||||
мальное значение функционала |
равно V2m. |
Если |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Vim < е , |
V2m |
< е , |
|
' |
(Ш.13) |
||||
где в > |
0 — заданное число, |
характеризующее допустимую точ |
ность в определении параметров, то наилучшими оценками в смы сле среднего квадратического будут те, при которых достигаются
минимальные значения функционалов |
Уъ |
У2. |
Если хотя бы одно |
из неравенств ( I I I . 13) нарушается, |
то |
это |
означает, что либо |
допустимая точность в определении параметров завышена, либо число точек, из которых образованы массивы чисел Ru, Rw, мало. Поэтому следует либо уменьшить допустимую точность, т. е. уве личить число е, либо увеличить время Т измерения наблюдаемых координат Y (t), W (t).
Данный метод оценивания аддитивен относительно массивов
статистических данных R^, |
R ^ и, следовательно, предъявляет |
к памяти ЦВМ минимальные |
требования. |
Идентификация неизвестных параметров, входящих в моменты распределения выходной координаты системы с помощью статис-
98
тической проверки гипотез. Предположим, что известно конечное дискретное множество значений, которое может принимать каж дый из неизвестных параметров, входящих в моменты распреде
ления ту (*), Ку |
t2), mw |
(t), Kw (tlt |
t2), Куш (tu |
t2). |
|
Введем случайные величины щ = |
Ut |
(tt) — mu |
и рассмот |
||
рим статистики |
|
|
|
|
|
|
|
"МЫ': |
|
|
|
Значения vt (i = |
1, т) |
образуют |
независимую |
выборку объ |
ема т, полученную из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине v, имеющей нормальный закон распределе ния v £ N (0, <т0).
Идентификация неизвестных параметров проводится так, как это указано в п. 8. Для гипотезы Mv = 0 критическая область уровня а определяется формулой (11.48). Для проверки того, что ol = М Wi (h) — mu(ti)f, область принятия гипотезы опре деляется формулой (11.49). При этом следует учесть, что формулы
(11.48), (11.49) |
вычисляются'для объема выборки равного т. |
|
||
|
В случае, |
когда входное воздействие является мартингалом |
||
с |
нормальным |
законом распределения и его разности |
X |
— |
— |
X Ц£_±) (i = |
1, т) нормальны, X (t) имеет независимые прира |
||
щения и обработка массивов статистических данных Rx |
с целью |
получения оценки для моментов распределения выходной коор динаты Y (t) проводится так же, как и для процессов с независи мыми приращениями.
Оценка моментов распределения выходной многомерной коор динаты. Уравнение динамической системы ( I I I . 1) приведем к нор мальной системе дифференциальных уравнений.. Для этого по ложим
Ух (0 = У (О, У г (0 = У (f) |
, |
Yn(t) = |
Yln-1)((). |
Тогда система уравнений примет вид
dYi (0 _ у ц\
|
(0 |
v lt\ |
Аг (О |
= ~ Ai-i (t) Уnit) |
AQ (t) У, (0 + X (t). |
Предположим, что в условиях поставленной задачи требуется" определить моменты распределения /г-мерной выходной коор динаты Y (t) = (Y1 (0,, • • Yn(t)).
7* |
99 |