Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Y(t)=

У 6 v l f v l ( 0 +

У

lP=

£Pv! (i),

(Ш.14)

где yv — ортонормированные

случайные

величины,

удовлетво­

ряющие условию

(1.11).

Из разложения

( I I I . 14) определим, что моменты

распределения

процесса У ,

{t)

равны

my»(t)

=

£ 6 v i / v i

(0.

"1

,

,

(У

К

If

i \ —

V

ФУ1 (^)ФУ1

v = l

В данных

разложениях

параметры

6 v l

, cov l

известны, так

как

они оценены

при

определении

моментов

распределения процесса

У

(t)-

и

Взаимная

корреляционная

функция

между

процессами

У х (t)

У 2

(t) равна

/г

U

t \ -

V

ф у. C i K i

ft)

v = l

Аналогично

вычисляются

моменты

распределения

процесса

Yk

(f),

(k =

3,

п)

и

взаимная

корреляционная

функция

между

процессами

Yk

(t),

Yj

(t),

(k 4=

/)•

систему

с

постоянными

Пример.

Рассмотрим

динамическую

коэффициентами

У"

(t)

+

с У

(0

=

X

(0,

t 6

[0,

Т ] ,

(111.15)

где X (t) — процесс,

имеющий

независимые

приращения,

.мо­

менты

распределения

которого

неизвестны;

У (t) — измеряемый

выход системы. Уравнение

( I I I . 15) имеет нулевые начальные дан­

ные в

момент

времени

t = 0.

Требуется определить моменты распределения tny

(t),

Ку

(ti,

tz)

при условии, что задана их

аналитическая структура.

Общее

решение однородного

уравнения

у" (t) +

ay

( 0 - 0

с

нулевыми

начальными

данными

определяется

выражением

у = сх cos

at

+

с 2

sin at,

где с ъ

с2 — произвольные

постоянные.

Выразим общее решение через решение

В (i,

s).

Из условия

В (s, s)

= О,

В'

(s, s) =

1

получаем

сх

cos

as

+

c2as

=

О,

Отсюда

—acjsin as + ac2

cos as =

1.

с, =

sin as,

c2

=

—cos as

и решение В

(t,

s)

равно

B(t,

s) =

-^-sina(t

— s).

Решение

уравнения

( I I I . 15)

дается

выражением

.

K ( f ) =

- i - J s i n a ( / — s)X(s)ds.

(III.16)

о

Предположим, что массив статистических данных

образован

с постоянным шагом

по времени равным At, тогда, исходя из

формулы механических квадратур, для момента времени tx =

At

имеем

у(М)=±с[Л)Х(М);

( I

коэффициент с[1)

известен и выражается по формуле механических

квадратур через решение В (t,

s).

Из формулы ( I I I . 17) определим

значение X

(At).

Для

момента

времени

t2

=

2At

имеем

у (At) =

-

i - [с[2)'х

(At)

- f

42)

X (2

At)],

откуда

получаем

значение

X

(2А{).

Продолжая указанную процедуру, для остальных моментов

времени

определим

массив данных

R* == (X (^),

X (t2), . . .

. . ., X

(tm)). Задача

сводится к определению моментов распре­

деления

процесса

X

(t).

• В данном случае

проще задать аналитическую структуру мо­

ментов распределения процесса X (f) и по ней найти аналитиче­

скую структуру процесса Y (t). Действительно, если

заданы

мо­

менты тх (t),

Кх

t2),

тогда

в

силу формулы

( I I I . 16)

t

my(t)

=

-^-

J sin a(^ —

s)mx(s)ds,

о

Ky ViA)

=

"ST J Js i n

a & — s i ) s i n a

('» — s a)

x

0

0

X Kx

[min (sx ,

s3 ),

m i n (sx ,

s2 )] dsx ds2.

Выход данного звена

является

входом во второе линейное

звено W.->:

А ,

(О L F 2 ( 0

= У At)-

W 1

w 2

ЦВМ

У1

Уг

At(t) =

(Aik(t),

л,0 (0);

Ац {t) — известные

функции;

I

^ . - ( 0 1

LYt

(t) = I

LiQYi

(t)

d'Y,

(()

dli

i

=

1, 2; при

£ = 1

k =

n, при

i =

2 k = m.

Измеряемыми координатами

системы

управления являются

^

i

(0,

У2 (0 .

^ € Т.

Допустим,

что внешнее

воздействие

Х х (t)

является

либо

стационарным процессом,

либо

процессом,

имею­