Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.07.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
уравнении (Ш.31). Учитывая, что моменты распределения ко ординаты X (/) определены так, как указано ранее, запишем приближенную систему уравнений для определения математиче ского ожидания координаты У (t):
|
|
^ |
|
|
= |
Ы (', т „ т у |
п , |
тх1, |
..., |
m,r ). |
(111.32) |
||||||
Линеаризуем |
функции |
fk (t, |
Ylt |
. . ., У„, |
Xlt |
. . ., |
Хг), |
раз |
|||||||||
ложив |
их |
в |
ряд |
Тейлора |
относительно |
величин |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Ус |
= |
Ус — Щ» |
Xt = |
X,. — |
mxl, |
|
|
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fk(t, |
Ух,-.., |
|
Уп, |
Xlt |
..., |
Xr}**fk |
(t, туЪ |
..., |
myn, |
mxl, ..., mxr) |
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1 |
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Систему |
уравнений (III . 31) с учетом (III . 32) представим в виде |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
^T |
= |
t |
Aki (t) У, + S |
5 Л / |
(0 |
Л,, |
(111.33) |
|||||
|
|
|
|
|
|
Q f |
|
1=1 |
|
; = 1 |
|
|
|
|
|
||
где . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
/ |
а |
__ |
д/П^, туи |
• • •, Щп, тхи |
. . ., тхг) |
|
|
||||||
|
|
k |
i |
^ |
' |
|
|
|
|
|
dtriyi |
|
|
' |
|
|
|
|
|
в |
|
/f\ |
_ |
dfk(t, |
ту1 |
. . ., |
туп, |
т х и |
. . ., |
тхг) |
|
|
|||
|
|
°ki |
{> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
||
Решив систему |
( I I 1.32) |
любым |
численным |
методом |
интегриро |
||||||||||||
вания систем обыкновенных дифференциальных уравнений, оп ределим значение математического ожидания выходной коорди наты Y (t).
Система дифференциальных уравнений (III . 33) линейна. Для
определения коореляционных функций Kyiyj |
{ii, t2) (i, |
/ = |
1, n) |
||||
процесса |
Y (t) |
следует использовать метод, |
изложенный |
в |
п. 14, |
||
а также методы |
[16, 23, 31], если только среднее время |
решения |
|||||
алгоритма определения корреляционной функции процесса |
Y (i) |
||||||
не превышает допустимого. |
|
|
|
|
|||
Таким |
образом, |
априорные моменты |
распределения |
про |
|||
цесса Y (t) уточняются путем |
определения |
моментов распределе |
|||||
ния процесса X (t) |
по массиву |
статистических данных Rt . |
|
||||
по
!6. ОЦЕНИВАНИЕ МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ОШИБОК, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ КООРДИНАТ ЦЕНТРА МАСС ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ, ИСХОДЯ ИЗ ПОКАЗАНИЙ АКСЕЛЕРОМЕТРОВ
Ошибки, характеризующие уходы гироскопов. Рассмотрим непо
движную |
систему координат |
х0, yQ, |
z0 |
со |
взаимно |
перпендику |
лярными |
осями. Обозначим через х0, |
у0, |
z0 |
и х0, у0, |
z0 соответ |
|
ственно координаты и скорости центра |
масс |
объекта |
управления |
|||
в системе |
координат х0, yQ, |
z0. |
|
|
|
|
Система управления включает в себя стабилизированную плат форму, на которой расположены три акселерометра со взаимно перпендикулярными осями чувствительности. Оси чувствитель ности образуют ортогональную систему координат х, у, z парал
лельную системе х0, |
у0, z0. Вследствие |
уходов |
гироскопов |
си |
|
стема |
координат х, |
у, г отклоняется от |
системы |
х0, у0, z„ |
на |
углы |
1г, 12, 13. |
|
|
|
|
Чтобы установить связь между составляющими ускорения |
ах, |
||||
ау, аг |
в системе координат х, у, г и углами |
£ ь | 2 , | 3 , сделаем сле |
|||
дующие предположения. Пусть углы \х , \% , \ъ малы и синусы данных углов можно заменить самими углами, а косинусы можно положить равными единице; допустим, что произведениями уг лов, как величинами второго порядка малости, можно пренебречь.
Тогда |
связь |
между |
составляющими |
ускорения |
по |
осям |
х, |
у, |
z |
|||||||
и х0, |
у0, |
zQ |
дается |
соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ах |
= ах0 + Д а Л Г 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
"и = |
а!/о + |
д а ^ г , |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
ал = |
Ого +АОгг. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А а * г |
= а*о6а — йгоЪи |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Aayr |
= az0£,3 |
— axQlt, |
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь |
ах0, |
ау0, |
аг0 |
— составляющие |
ускорения |
центра |
масс |
|||||||||
объекта |
управления в системе х0, |
|
у0, |
z0 ; |
Аахт, |
|
Aayr, |
Аагг |
— |
|||||||
ошибки, |
возникающие |
вследствие |
ухода |
гироскопов. |
|
|
|
|||||||||
В |
п. 9 рассматривался |
вопрос |
о статистическом характере |
|||||||||||||
сигналов |
ах |
(I), ау (/), а2 {(). |
Если время |
работы |
системы |
управ |
||||||||||
ления невелико, то сигналы ах {t), |
ау |
(t), |
az |
(t) являются |
стацио |
|||||||||||
нарными случайными процессами. Если время работы системы
управления |
составляет |
порядок нескольких |
часов, |
то |
сигналы |
||||
ах (t), |
а-у (t), |
аг (t) следует |
рассматривать |
как процессы |
с моно |
||||
тонно |
возрастающей дисперсией. |
|
|
|
|
||||
Будем |
предполагать, |
что |
процессы ах |
{t), |
atJ {t), |
az (t) |
стати |
||
стически |
независимы. |
|
|
|
|
|
|
||
Ш
|
Массив |
статистических |
данных R = |
(a (ix), |
. . ., |
а (£,„)), |
|||||
где a (t) |
= |
(ах |
(t), |
ау (t), аг |
(/)), обработаем так, как |
это |
указано |
||||
в |
пп. 8, |
9. |
Получим |
значения |
моментов |
распределения |
Mai — |
||||
= |
Ша1 (0, |
Kaiaj |
(tlt |
*а) |
(t, / |
= |
X, IJ, Z). |
которые |
не содержат |
||
|
Рассмотрим |
гироскопические системы, |
|||||||||
систематической составляющей. Для таких систем ошибка ухода гироскопов равна нулю, т. е. MAaXT = MAayr — MAazr = 0. Так как корреляционная функция процесса a (t) известна, то известны и составляющие корреляционной функции ухода гиро скопов
I<A0ir |
(h, U) = Mbatr |
(h) |
Aa, r |
(*») = |
J<ai (h, |
(i = x, y, z). |
|||||
Кроме |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MAaiT |
(tj) Aajr(/,) |
|
= |
0 |
(i ф |
j , i, j = x, |
y, z). |
||
Таким образом, в процессе работы системы управления опре |
|||||||||||
деляются |
ошибки ухода |
гироскопов. |
|
|
|
||||||
Уравнения ошибок в определении координат объекта управле |
|||||||||||
ния. Известно |
|
[1 ] , что уравнения ошибок Ах, Ay, Az в определе |
|||||||||
нии координат |
центра масс объекта управления приводятся к сле |
||||||||||
дующей |
системе |
линейных дифференциальных уравнений: |
|||||||||
|
|
|
(р2 4~ Цх) Ах — с\Ау — c2Az = |
Даvp, ] |
|||||||
|
|
- |
|
схАх -(- (р2 |
+ |
% ) Ay — c3Az = |
Аауг, |
(III.34) |
|||
|
|
|
— с.2Ах — csAy |
-f- (р2 |
- f i]2 ) Az = |
Aazr, |
j |
||||
где cx, |
c„, |
c3, |
т)Л., т)у , r\z — |
некоторые |
заданные |
функции. |
|||||
Систему (111.34) будем |
рассматривать при нулевых начальных |
||||||||||
данных. Отсюда следует, что в начальный момент работы системы управления известны точно координаты объекта управления.
Оценка моментов распределения. Исходя из системы уравне
ний |
( I I I . 3 4 ) , получим следующую систему |
для |
определения ве |
||
личины математических |
ожиданий |
|
|
|
|
|
(р 2 -|- i l l ) М Ах — схМ Ay — tyW Az = |
0, |
|
||
|
— c,M ДА- 4 (p2 + цу) M Ay — c3M |
Az = 0, |
(III.35) |
||
|
— c 2 M Ax — c 3 M Ay 4 (p2 4 T) 2 ) M Az = 0 |
|
|||
при |
нулевых начальных |
данных. |
|
|
|
С помощью ЦВМ решим систему (III . 35) любым численным методом интегрирования систем обыкновенных дифференциаль ных уравнений. Получим численное значение для математических ожиданий МАх, МАу, MAz.
112
Возьмем |
Ортонормированную |
систему |
функций |
срй (i) |
на Т |
||||||||
и произведем |
аппроксимацию |
математических |
ожиданий |
МАх, |
|||||||||
МАу, |
MAz. |
В |
результате |
получим, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
г* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MAz |
= |
S |
г*ф*(*), |
|
|
|
|
||
где xf t , |
гЛ •— известные |
постоянные. |
|
|
|
|
|
||||||
От системы |
уравнений (III . 34) перейдем к одному уравнению |
||||||||||||
6-го |
порядка, |
например, |
относительно |
ошибки |
Ах: |
|
|
||||||
или |
Авх |
(t) р« Ах + Аъх |
(Ор6 ДХ + |
. . . |
- |
j - А0Х |
Ах = |
Fx (t), |
|
||||
|
|
|
\x(t)LAx=Fx((), |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где A,,, (t) |
— |
матрица-строка, |
размерность |
которой равна 7; |
коэф |
||||||||
фициенты матрицы однозначно определяются через коэффициенты
уравнения |
( I I I . 3 4 ) ; Fx |
(I) — функция, зависящая от ошибок ухода |
|||||
гироскопов |
и их |
производных. |
|
|
|
||
Так как |
моменты |
распределения ошибок |
ухода |
гироскопов |
|||
Аахг, Аауг, |
|
Аагг |
известны, то известны и моменты распределения |
||||
функции |
Fx |
(t). |
Далее будем использовать |
не функцию Fx |
(f), |
||
а лишь ее моменты распределения. |
|
|
|
||||
Для |
определения |
корреляционной функции |
/СдЛ- (tlt |
i2) |
|||
ошибки Ах воспользуемся результатами п. 14. Построим процесс
Wx |
(t) |
эквивалентный ошибке Ах, для |
которого |
|
|
|
|
|
|
MWx(t) = MAx, |
|
|
|
а |
корреляционная |
функция процесса Wx |
(I) такова, что |
, |
функ |
|
ционал |
(III . 20) |
4 |
|
|
||
тт
|
|
V 8 i |
= |
j * \ j [МАА. |
LWX (^)А, (f2) LWX (t2) - |
|
|
|||
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— MFx(tl)Fx.(t2)\4tldt2 |
|
(111.36.) |
||||
на всем промежутке времени, равном Т, |
имеет значение |
V 2 1 |
•< е, |
|||||||
где |
е > |
0 — допустимая точность в определении" корреляцион |
||||||||
ной |
функции |
ошибки |
Ах. |
|
|
|
|
|
||
Согласно |
формуле |
(III . 28) |
процесс |
Wx {t) определим как |
||||||
где |
Mukx |
= |
xk, |
М [ukx |
— Mukx]2 |
|
— Mvlx; |
значение |
Mvlx |
оп |
ределяется условием |
( I I I . 2 6 ) . |
|
|
|
|
|
||||
8 |
Л . Т. Тарушкпна |
. |
ИЗ |
