Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.07.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
ляются неизвестные |
коэффициенты матрицы A (t), определяю |
||
щие |
уравнение динамической системы |
( I I I . 2 ) . |
|
Отметим, что поставленную здесь задачу иногда называют за |
|||
дачей |
восстановления |
дифференциального |
уравнения. |
Построим алгоритм оценивания неизвестного параметра- q, обладающий необходимой точностью и предъявляющий к памяти ЦВМ минимальные требования.
Случай стационарного входного воздействия. Рассмотрим урав нение ( I I I . 2 ) для случая, когда X (t) — стационарный случайный процесс. При решении поставленной задачи возможны следую щие случаи.
|
1. Матрица А, входящая в уравнение |
( I I I . 2 ) , |
постоянна, тогда |
|||||||||||
выходная |
координата |
У (t) |
является |
стационарным |
случайным |
|||||||||
процессом. |
Зададим аналитическую |
|
структуру |
корреляционной |
||||||||||
функции |
Ку (tlt |
tz) |
процесса |
У (t). |
По |
массиву |
|
статистических |
||||||
данных |
R^,' используя |
результаты, приведенные в п. 6, |
определим |
|||||||||||
оценки, для |
моментов |
распределения |
ту, |
Ку {ti, |
|
to). |
|
|||||||
|
Исходя из уравнения ( I I I . 2 ) , запишем уравнение для математи |
|||||||||||||
ческого |
ожидания |
процесса |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
А Ь М У (Q = MX (0 = тх. |
|
|
|
|||||
|
Учитывая, |
что |
У (t) — стационарный |
процесс, |
получаем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А 0т,у = |
тх, |
|
|
|
|
||
где |
т.у |
= |
MY |
(I). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
Л 0 —неизвестный параметр матрицы |
A |
(t), |
то Л 0 = |
||||||||
= |
tnxrriy~l, |
|
при условии, что- ту, |
являющаяся |
|
статистической |
||||||||
оценкой математического ожидания процесса У (t), отлична от нуля.
Если А о—известный |
параметр |
и А0 |
ф 0, то |
ту = тхАо~* |
||
есть значение математического ожидания процесса У (t). |
||||||
Обозначим через sx (со), sy |
(со) |
соответственно |
спектральную |
|||
плотность процесса X (t) |
и статистическую оценку для спектраль |
|||||
ной плотности |
Sy (со) процесса |
У (t), через с (со) — |
величину ква |
|||
драта модуля |
|
|
|
|
|
|
с (со) = | (ко)» Ап 4- ( к о ) " - Ч - 1 + |
• • • + |
Л 0 1 2 , |
||||
где i — мнимая |
единица. |
|
|
|
|
|
Спектральная плотность входной и выходной координат свя |
||||||
зана известным |
соотношением |
[23, 24]: |
|
|
||
|
с |
(со) su |
(со) = |
sx (со). |
|
|
Зададим полосу частот [ Q 1 ( QoJ, в которой рассматривается спектральная плотность sx (со), и разобьем равномерно указан ный промежуток точками дробления
" . <• • • < cow ^ Q 2 .
119
Общее число |
точек |
соА |
(k = |
1, N) |
должно |
быть не меньше, |
чем |
||||||||
число г, определяющее размерность параметра |
q; |
максимальное |
|||||||||||||
их |
число |
определяется |
допустимым |
временем |
решения |
задачи |
|||||||||
на |
ЦВМ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
sy |
(со) — статистическая |
оценка |
для |
sy |
(со). Составим |
||||||||
функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
V = |
4 r S |
|
| с К ) ^ К . ) - 5 л . К ) | 2 . |
|
(IV.2) |
|||||||
|
Найдем минимальное значение функционала (IV.2) по всем |
||||||||||||||
координатам |
параметра |
q t |
Q (Q — область |
допустимого |
из |
||||||||||
менения параметра). Пусть |
У,„ — минимальное значение функцио |
||||||||||||||
нала (IV.2), |
которое |
достигается |
при |
q |
= |
q m l . |
|
|
|
|
|||||
|
Если |
Vm |
< е, где е > |
0 — заданное |
число, |
характеризующее |
|||||||||
допустимую |
точность в |
определении |
параметров |
матрицы |
A |
(t), |
|||||||||
то наилучшими оценками в смысле среднего квадратического для неизвестного параметра q будут оценки, при которых q = q, n l .
Если Vm > е, то либо допустимая точность в определении параметра q завышена, либо время наблюдения Т над измеряемой координатой У (t) мало. В этом случае следует либо уменьшить допустимую точность оценивания, либо увеличить время наблю
дения |
над |
процессом |
Y (t). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2. Матрица А (/) не является постоянной. На основании дан |
||||||||||||
ных массива |
|
в ЦВМ вычислим значения производных |
У<*> (t) |
||||||||||
(k |
= |
1~Гя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неизвестные функции As |
(i), |
входящие в матрицу A (t), |
имеют |
|||||||||
аналитическую |
структуру,. определяемую |
разложением |
(IV. 1). |
||||||||||
Учитывая это обстоятельство, |
интегралы |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
|
mv = M X ( 0 = |
l i m |
^ |
\X[t)dt = |
Mm |
|
f \(l)LY |
(t) dt, |
||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/C.v(T) = |
lira ~~ J |
[A (t + |
T ) L У {t + |
т) — mx] [A (f) У (*) — mx] dt |
||||||||
|
|
r-3-co |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представим в виде сумм интегралов, значения которых |
известны, |
||||||||||||
с неизвестными параметрами at |
и их |
произведениями |
д,-ау- (i, j = |
||||||||||
= Т 7 7 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Составим |
функционал |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
J |
A{t)LY(t)dt |
— |
mx |
+ |
|
|
|
|
|
N |
Т |
|
т о. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
-т S { г J [ А |
V + т'} |
L Y |
V-+ Т Л - m * ] [ А М L Y W ~ m * ] d t |
~ |
||||||||
|
|
1' =1' |
о |
|
|
|
-КЛъ)}\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV.3) |
||
120
где tnx, Кх (т ) — соответственно математическое ожидание и кор реляционная функция процесса X (t), значения которых известны; xi — точки, в которых определена функция Кх (т), причем N ^ р.
Найдем минимальное значение функционала (IV.3) по всем координатам параметра q 6 Q (О- — область допустимого из менения параметра). Пусть Vm — минимальное значение функцио нала (IV.3), которое достигается при q = q m 2 .
Получение наилучших в смысле среднего квадратического оце нок для неизвестного параметра q аналогично условиям, опре деляющим минимум функционала (IV.2).
Отметим, что с ростом к точность вычисления производных
(t) уменьшается. В этом состоит ограниченность такого способа оценивания.
3. Матрица A (t) не является постоянной, причем для реше ния В (t, s) уравнения ( I I I . 4 ) определена его аналитическая струк тура, неизвестными параметрами которой являются неизвестные параметры матрицы A (i). Имеем
г |
|
|
Y{t.) = \B(ti,s)X(s)ds, |
f , 6 T . |
(IV.4) |
о |
|
|
Для приближенного вычисления интеграла воспользуемся формулой механических квадратур ( I I I . 8 ) . В данном случае коэф фициенты T v ' 1 квадратурной формулы содержат неизвестные па раметры матрицы A (t). В каждый момент времени ti получим значение реализации процесса X (t), в которое войдут неизвест ные значения параметров матрицы A (t).
Аналогично функционалу (IV.3) составим функционал
|
V,= |
±r\X{t)dt |
— tnx + |
+ ^ |
S { + i l X ( f + T ) - ^ " I X ( < ) _ m J d f ~ ^ ( T ) ) ' |
||
в котором неизвестные значения параметров матрицы A (t) войдут через значения реализации процесса X (t).
Получение наилучших в смысле среднего квадратического оце нок для неизвестных значений параметров матрицы A {t) сводится к случаю 2.
Заметим, что методы оценивания неизвестных параметров ма трицы A (t) сводятся к рекуррентным алгоритмам обработки массива R,,. Отсюда следует, что требования, предъявляемые к памяти ЦВМ при обработке массива R,, с целью получения ста тистических оценок для неизвестных параметров матрицы A (t), минимальны.
Случай входного воздействия, имеющего неубывающую дис персию. Рассмотрим уравнение ( I I I . 2 ) , когда входное воздействие
121
X (t) является либо процессом с независимыми приращениями, либо мартингалом с нормальным законом распределения.
Если производные |
У<й> (t) |
(k = |
1, /г) вычисляются в ЦВМ |
||
с требуемой точностью, |
то случайные величины |
||||
г 0 |
= |
А |
(*„) |
L Y |
(*„), |
г,. = |
|
|
|
|
A(ti)LY(ti)-A(tl_1)LY(tl_1) |
|
|
(i = |
1, |
т) |
|
взаимно независимы. Составим статистики (11.38). Образуем функ
ционалы (11.41), (11.42), обозначим их |
соответственно через |
Vxx, |
|||
V12. |
Определение неизвестного |
параметра q, входящего в |
ма |
||
трицу |
A (t), сводится к минимизации |
функционала |
|
||
|
У=Угг |
+ |
Via- |
|
(IV.5) |
Получение наилучших в смысле среднего квадратического оце нок для неизвестного параметра q аналогично условиям, опреде ляющим минимум функционала (IV.2).
Если для решения В (t, s) уравнения ( I I 1.4) определена его аналитическая структура, неизвестными параметрами которой являютсянеизвестные параметры матрицы A (t), то, применяя к интегралу (IV.4) формулу механических квадратур, получим значение реализации процесса X (t) через неизвестные значения
параметров |
матрицы A (t). Образуем случайные величины z0, |
z(- (i = 1, |
in) согласно формулам (11.37). Составим функционал |
(IV.5). Найдем минимум функционала относительно параметра q. Получение наилучших оценок для параметра q аналогично ус ловиям, определяющим минимум функционала (IV.2).
Рассмотрим метод статистического оценивания параметра q, основанный на получении независимых статистик с помощью ре шения вспомогательных уравнений (см. п. 13). Наряду с уравне
нием |
( I I I . 2 ) |
введем |
вспомогательные |
дифференциальные |
уравне |
||||
ния |
( I I I . 9 ) , (ШЛО). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
( I I 1.9) |
рассматривается |
при нулевых |
начальных |
|||||
данных в момент времени |
уравнение |
(ШЛО) — при началь |
|||||||
ных |
данных |
W\k) (fc_i) = Y{k) |
(£_i) (k = |
0, 1, |
(я — |
1)); |
точки |
||
t-t (i |
= 1, Af) |
удовлетворяют |
неравенству |
(11.34). |
Пусть измеряе |
||||
мой координатой системы управления наряду с координатой Y (t) является координата Ui (t). Образуем процесс U (t) так, как указано в п. 13.
Используя результаты п. 13, определим моменты распределе ния выходной координаты Y (t). Для уравнения ( I I I . 2 ) известны моменты распределения входной X (t) и выходной Y (t) коорди нат. Для определения неизвестного параметра q матрицы A (t) применим метод моментов. Исходя из уравнения ( I I I . 2 ) , запишем уравнения для математического ожидания
A (tt) Lmy (tt) = ,пх (tt) |
(IV.6) |
122
